隐喻类比：指向数学创造的高阶思维

邹 伟

(邳州市建设路小学， 江苏 邳州 221300)

康德曾经说过，每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进[1]。《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出要能运用归纳或类比发现数学关系与规律，提出数学命题与猜想[2]。可见类比是人们认识新事物、发现新规律的有效途径，是分析问题、解决问题的重要思维方法。在中小学数学学习中，可以把新知识、新问题与学生已有的相似经验进行类比，找到解决问题的方法，实现知识和方法的迁移，进而提高解决问题能力。但在实际运用中发现，由于有些知识之间的相似性比较隐蔽，学生不易找到两类知识之间的关联；有时因学生对目标域概念的体验较少，认知不清晰，无法在源域概念与目标域概念间建立完全映射；有时先给出类比对象要素之间的对应关系，而忽视学生类比源的检索过程，致使学生类比方法迁移能力发展滞后，概念认知浅层化现象凸显。把类比思维与隐喻这两种运行机制相似的思维相结合，提出基于具身体验的隐喻类比是对类比思维在实践中的有益补充，可以给中小学数学类比学习一定的启示。

一、隐喻类比的内涵及特点

类比(analogy)一词源于古希腊语，本义为比例，类比的目的在于指出两个不同对象或不同领域之间关系的相似性，具体来说就是，A与B之间的关系正如C与D之间的关系[3]。与类比功能相似，隐喻也是在两类不同的事物(本体和喻体)之间进行含蓄地比较以表明相似或类似的关系，是一种类比思维的语言表现形式[4]。霍利约克(Holyoak)认为隐喻是一种特殊的类比，其始源域与目标域在语义上的距离非常远[5]。由于隐喻和类比都基于概念系统的映射关系，因此我们在研究问题求解时可以采用“大隐喻观”的立场，更多地关注语义距离较远的案例，并兼顾语义距离较近的典型类比[6]。据此提出隐喻类比的概念，隐喻类比是指在对目标域概念的多维体验与整体把握中激发学生的具身经验，提取熟悉的源域概念，通过把两个对象并置映射，寻找相似性，推出它们的其他属性也相同，从而找到解决问题的方法。显然，隐喻类比是一种蕴含数学创造的高阶思维，它具有四大特点：一是具身性，由于隐喻类比既需要激发已有的具身经验(源域概念)，提取相关的知识和方法，又需要对新事物有深刻体验与整体把握，因此具有较强的具身性。二是相似性，隐喻类比是基于事物之间的相似性，这种相似性可能是不同事物或领域之间业已存在的，通过一种直觉的洞察所把握，也可能是依据某种明确指向性被创造出来的相似性，使得科学理论的整体性建构和关联成为可能[7]。三是创新性，隐喻类比作为一种思维形式，把概念、知识进行创造性联结和解释，由此及彼进行思考、联想，可以获得新颖独特的思维方式和问题解决方法。四是或然性，由于隐喻类比是一种基于具身经验和体验的假设、推测，是一种合情推理，并未得到数学的严谨证明，所以结论不一定为真。

二、隐喻类比的作用

(一)从表层到实质：纵向层次的认知推进

知识的表层结构是看得见、摸得着的显性的经验现象，深层结构则是隐藏在文本中的深刻内涵和思想，是在更深层次上反映现象本质。人们需要借助隐喻类比实现知识从表层到深层实质的认知推进。比如教学“用数对确定位置”，很多教师把教学重心放在练习描述位置，用数对表示给定的点、根据数对找对应的点上。如果把此知识与中学的平面直角坐标系进行隐喻类比，我们会发现，在小学数学中，把现实情境抽象成带有数字的网格图，用数对确定平面上的点，其实质就是对坐标几何的初步学习，其价值并不仅仅在于能够描述位置，更重要的是为以后学习平面直角坐标系提供直观认识。由此可见，这部分内容的深层实质是初步认识坐标系和有序数对，重点应该是引导学生经历选取参照点、在方格纸上标注两个方向的刻度、规定数对中两个数的顺序等过程，体会可以把平面上的点和一对实数建立起一一对应的关系，从而把空间形式的研究转化为容易驾驭的数量关系的研究。这样的系统认知可以让数学学习从表层到实质，实现对概念的深度理解。

(二)从形似到神似：横向领域的知识转移

(三)从低阶到高阶：学科系统的整体建构

在隐喻的观点下，数学就是一个由数学的概念或意义同数学之外的实物或经验之间、数学概念或意义之间形成的复杂的隐喻网络系统[9]。皮亚杰认为，全部数学都可以按照结构的建构来考虑，而且这种建构始终是开放的，可以由更强的结构来予以结构化[10]。而隐喻类比可以帮助学生用整体的、联系的、发展的眼光看问题，激发学生的数学想象力和数学直觉，以知识间的关联相似性切入，通过与已有属性相似的数学概念、定理、方法的类比，从而解决新问题，并在新知与旧知之间架起桥梁，合纵连横，形成结构功能良好的数学认知结构，发展高阶思维，实现学科系统的整体建构。比如，整数、小数和分数运算，可以引导学生运用隐喻类比，进行计算方法迁移，理解整数、小数、分数的四则运算都要在相同计数单位下进行，是相同计数单位的累加或递减，从而感悟数的运算的一致性，实现数与运算的法理融通与整体建构。

三、隐喻类比的实施策略

(一)先行组织，搭建隐喻类比桥梁

丰富的具身经验是学生隐喻类比的源泉，学生进行隐喻类比学习的前提是其原有认知结构中具备了同化新知识的适当的上位概念或相似概念。面对新问题，学生与之相关的具身经验如果没有及时提取出来，那么相应的隐喻类比学习就难以顺利展开，新知识、新方法就无法与原有认知结构中的类似观念产生关联及“化学反应”。可以说，学生个体隐喻类比能力与他经验中的有关知识的多少及其组织结构有极大的关系。据此，教学中教师要合理组织教材，对要学习的数学概念、公式的原发现过程进行教学法加工，于新知学习前呈现给学生一种密切相关、极具包容的引导性材料，使学生以此为框架或线索，迅速、准确地从大脑中检索、提取与任务相关的知识方法，从而在已知与未知间搭建桥梁。

例如教学“反比例的意义”，可以用正比例学习经验作为先行组织者，搭建正反比例意义类比学习的桥梁。课始通过“学习正比例研究了哪些内容？采用了哪些方法？经历了哪几个步骤”等问题，引导学生回忆正比例意义的研究框架和具身学习经验，从正比例的定义、图像与判定等角度或言语描述，或画图表征，或举例表达。在此基础上，引出核心问题“类比正比例的研究，你认为可以怎样研究反比例？”在正、反比例隐喻类比的指引下，学生运用提取的具身经验和方法，对反比例大胆推测、举例验证、画图研究，自主类比构建出研究反比例的内容、方法和步骤。而对正、反比例的定义、图像与判定的表征与对比，将真正促进学生对新旧知识的深刻理解和相似关联认知，并形成一种稳定而又有活力的知识结构。

(二)原型启发，助力隐喻类比抽象

原型启发是指从生活中的事物本质特征受到启发，产生新的设想和创意。认知心理学研究表明，小学阶段学生处于从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段，初中阶段主要是以经验型为主的抽象逻辑思维，而数学知识的抽象过程是从事物的相似性开始，在分析事物之间某些相似特点的基础上，再以它们为标准对事物进行分类，从而获得对一类事物的认识。基于中小学生长于具身经验和直观思维的认知心理特点，教学中教师应重视向学生提供熟悉的实物原型，引发隐喻类比和“数学再发现”，促进学生实现对数学知识的抽象与概括。

比如，教学“认识射线”。生活中并不存在严格意义上的射线，学生仅仅依靠想象，很难建立概念的准确表象。运用学生熟悉的激光笔发出的光线进行原型启发、隐喻类比，则能产生意想不到的效果。先用激光笔向身边物体上投射一条光线。此时，这条光线可以看作一条线段。线段一端在光源，另一端在物体上。接着，再将激光笔的光线射向无边无际的天空，引导学生比较这条光线和之前射出的光线，有什么相同和不同？学生在具身体验、启发想象中，与线段隐喻类比，感受到这条光线与线段的不同之处：它只有一个端点，是无限长的。学生画图表征时，有的将线段向一端延长到纸的边缘，直至无法再画表示；有的在画出的线段一端点上方用省略号表达……虽然方法多样，但其相似性或共同点是不约而同地都在图中强调了射线“一个端点、无限长”的特点。这样射线的概念及特点于“数学再创造”中逐渐抽象出来，在学生头脑中建立了清晰、深刻的表象。当学生在数学学习中进行创造性想象时，往往会从生活中事物原型得到启发，从而找到解决问题的方法和途径。所以教学中教师要善于寻找与新知教学有相似联系的“生活原型”，引发学生隐喻类比，形成一定的经验性认知，并加以数学抽象，经历简化的数学“再创造”过程，发展数学抽象、反思、创造等高阶思维能力。

(三)相似联想，提出隐喻类比猜测

隐喻类比的基础是事物之间的相似性，这种相似性在很多现象和理论中都存在。能够发现两个或两个以上研究对象之间的关联或相似，进而进行直觉联想、隐喻类比发现事物的本质属性，对于个体而言，就是一种创造。人们正是由于成功地运用了隐喻类比的思维方法，从具身经验中找到了事物间被隐藏起来的相似性，或者创造相似性，才对客观事物的认识不断走向深入。中小学数学教材中存在许多具有内在联系的知识，引导学生发现知识之间的关联相似性，有利于引发隐喻类比，跨过错综复杂的现象和盘根错节的关系，直接领悟到现象的本质，从而提出猜想，找到解决问题的“捷径”，起到化繁为简、重整知识结构的效果。

例如，要找出一个均匀四面体的重心，这是一道相对复杂的问题，我们能直觉联想到一个平面几何的相对简单的题目：找出一个均匀三角形的重心。这两个问题具有内在的相似性：让四面体的一条高趋于0可以把四面体“压”成平面图形三角形。进一步地，再设想让三角形的一条高趋于0而把三角形“压”成一条线段，从而把三角形的重心问题直觉类比为线段的重心问题。这时问题化繁为简，线段的重心就是它的中心。而线段“垒”成的三角形，因为每一条线段的重心都在中心，那么三角形的重心一定在中线上，于是三角形的重心就是三条中线的交点。三角形“垒”成四面体，于是它的重心在顶点与对面三角形重心的连线上，因此四面体的重心就是这些连线的交点。这样一道复杂问题通过相似联想，直觉猜测，一步步简化，运用隐喻类比轻松解决。一般来说，数学研究的对象越陌生、越抽象，就越需要拿熟悉的东西和经验进行隐喻类比，许多在质上虽然不同的现象，只要它们符合相似的规律，运用隐喻类比的方法进行研究，可以激发学生的直觉猜想、顿悟迁移与数学创造，找到一条解决问题的简捷路径，提升解决问题的能力。

(四)演绎修正，证实隐喻类比猜想

隐喻类比是依据两个对象之间具有属性相似性，从而推出它们其他属性也相同的一种合情推理，这种相似性可能是现象的相似，也可能是本质的类同；可能是偶然的巧合，也可能是必然的联系。正因为此，隐喻类比推出的结论具有或然性，需要通过演绎证明或者实践检验，进一步规避失误。在中小学数学学习中，运用隐喻类比拓展解决问题思路，运用归纳和演绎推理进行证明、检验，修正研究思路，这种敏锐直觉与严格推理的巧妙结合，能够培养学生迅速把握事物主要关系的能力，养成客观公正而又坚定不移的品格，形成洞察事物本质、把握问题全局、明辨是非的高阶思维。

例如，学习“平行四边形的面积”，学生自然会隐喻类比已有长方形的具身经验：长方形的面积=长×宽，把平行四边形的底当成长方形的长，把平行四边形的邻边当成长方形的宽，错误地类推出平行四边形面积=底×邻边。面对学生的错误思路，教师大可不必失措，可以顺着学生的思路，通过实验验证，演绎推理，来纠正探索的方向。引导学生做平行四边形框架，动手拉一拉，感受拉的过程中平行四边形底边和邻边有没有发生变化？面积有没有变化？继而发现无论如何拉伸，平行四边形的底边和邻边的长度不变，底与邻边的乘积是一个定值，但面积却在发生变化，由此推理出平行四边形的面积不等于底×邻边。接着因势利导，“平行四边形的面积到底和什么有关呢？”让学生的思路再出发，引向通过割、补、拼的方法把平行四边形转化成长方形，利用长方形的面积公式推出平行四边形的面积公式。这里运用演绎推理既纠正了错误的隐喻类比思路，又重新瞄准正确方向，寻找到探索解决问题的有效路径。当然，从错误中学习和不断修正自己的认识正是通往成功的必经之路。教学中我们可以引导学生通过归纳、演绎推理及反例揭示猜想中的不合理成分，让学生充分经历验证过程，对推理结论进行修正和完善，逐步养成不盲从，不人云亦云的独立思维，发挥隐喻类比在数学探索过程中的最大价值。

正是由于隐喻类比注重具身经验和多维体验的结构与特征，使它成为一种在真实数学情境中富于创新的方法，在科学认知中起着十分重要的作用。中小学数学教学中，我们可以引导学生循此继进、隐喻类比，抓住知识间相似性关联，大胆猜想，勇于探索，达到对数学世界准确、深刻、结构化的认知，从而发展指向数学创造的高阶思维。▲