多圆柱上全纯函数的积分均值

刘华,陈娟

(1.上海电子信息职业技术学院,上海 201411;2.天津中德应用技术大学,天津 300350)

1.引言

设f是复平面C中单位圆D上的全纯函数.对任意1 ≤p<∞,f的均值积分定义为

经典的Hardy凸定理指出Mp(f,r)对r ∈[0,1)是严格增的而logMp(f,r)是对数凸的[1].

Hardy凸定理是复分析和调和分析尤其是Hardy函数空间理论的重要工具.XIAO和ZHU在文[2]中讨论了这些结果在体积分情形的推广.实际上他们考虑的是更一般的单位球上的问题,即设

这里α是一个实数而dvα(z)=(1−|z|2)αdv(z)是单位球上的带权测度.文[2]指出,虽然Mp,α(f,r)对r ∈[0,1)是严格增的,但logMp,α(f,r) 却不是对数凸的.具体地说,logMp,α(f,r)是对数凸函数还是对数凹函数依赖于参数α的具体选取.进一步,他们猜想,当α≤0时,logMp,α(f,r)是对数凸函数,反之则是对数凹函数.

本文在多圆柱P2={z=(z1,z2)∈C2,|z1|<1,|z2|<1}上讨论这个问题.由于多圆柱的特征边界的拓扑与单位球有很大差别,其上的函数空间性质也存在较大的差别.[3]

设1 ≤p <∞,f(z)是P2上的全纯函数,dσ(z)是单位圆盘上标准化的Borel测度,我们定义f(z)的带权体积分均值为

其中dvα,β(z)=dσα(z1)dσβ(z2)且

我们在本文中仅讨论α=β情形,此时vα,α记为vα,其它符号同样处理.特别地,当p=∞时,可以按通常意义下理解为

当α >−1,1 ≤p <∞时,带权Bergman空间是P2上全纯函数空间H(P2)和Lp(P2,dvα)的交集.上的范数是

我们还需要Hardy空间的一些知识.对任意1 ≤p <∞,单位多圆柱P2上的Hardy空间Hp包含P2上满足下列条件的全纯函数:||f||p=sup{Mp(f,r):0 ≤r <1}<∞,其中

是f的面积分均值,而dσ(ζ)是特征边界∂cP2的标准化Lebesgue测度即,这里需要指出的是,多圆柱上的Hardy空间与球上情形有较大差别,如n维复球上Hardy空间的函数的范数是在实2n −1维球面上积分,而n维多圆柱上的Hardy空间的函数的范数是在实n维环面上积分.

我们将在本文讨论Mp(f,r)=Mp(f,r,r)和Mp,α(f,r)的单调性质及其对数函数的对数凸问题.由于多圆柱的对称性不如单位球,文[2]中的方法并不能简单平移过来.我们需要重新寻找新方法予以证明,同时,也会有一些新的结论.

2. Mp(f,r)及Mp,α,β(f,r)的单调性及其应用

我们在下面的定理叙述中并不提及Hardy空间或Bergman空间,但证明中需要用到这两个空间性质.原因在于,如果f是单位圆盘上全纯函数,则f(rz)(0

定理1设1 ≤p <∞,且f是P2上非常值的全纯函数.那么体积积分均值函数(f,r)在[0,1)上是严格递增函数.

证文[4]已经证明了单位圆盘上的相同定理.这个多圆柱上的问题并不容易转化到单位圆盘上.也不同于文[2]中单位球上情形,多圆柱的的对称性不足以使用片函数(slice),我们需要另外的处理.

由f(z)=f(z1,z2)不是常值函数,则或者fz1(z2)=f(z1,z2)对几乎处处的z1∈S1是z2的非常值全纯函数,或者fz2(z1)=f(z1,z2)对几乎处处的z2∈S1是z1的非常值全纯函数.不妨设为前者.我们不直接处理Mp(f,r),转而先研究二元实函数[5]

其中0 ≤r1,r2<1.固定r2和ζ2时,(2.1)中的内层积分

就是作为一元全纯函数fz2(z1)=f(z1,z2)对应的.因此关于r1是递增函数,即

同样,关于r2是递增函数,特别地,由于fz2(z1)=f(z1,z2)是非常值全纯函数,关于r2是严格增的,故

即Mp(f,r)是严格递增函数.

定理2设1 ≤p<∞,α是实数,且f(z)是P2上非常值的全纯函数.函数(f,r)在[0,1)上是增函数,特别地,当f不是常值函数时,它还是严格递增的.

证我们先做一些变形

这里等号成立当且仅当f是常函数.

由(2.4),(2.7),(2.8)和上式,我们有

而且由前面仅当f是常函数时(2.9)中等号成立.故(f,r)或Mp,α(f,r)是r的增函数,如f不是常函数,它还是严格递增的.

3.对数凸性

定理3设1 ≤p <∞,且f(z)是P2上非常值的全纯函数,则函数logMp(f,r)是logr的凸函数.

证类似于文[4]中定理1.6的证明,对任意实数λ,设

令0

由次调和函数与调和函数之间的关系有

对u(r1,r2)求二阶混合偏导数,并交换求积分和偏导秩序得

上式中∂n1表示第一个变量的法向导数且ds1=r1dθ1.由格林公式和U是调和函数,(3.3)的内层积分的值与r1无关,因此它是r2eiθ2的一元函数.对这个一元函数继续同样操作,我们得到式等于

其中ds1=r′dθ1,ds2=r′dθ2.

由(3.4)知,u(r1,r2)为如下形式的函数

因此,我们得到

上式显然是logr的凸函数.由(3.2),我们有

即mp(f,λ,r,r)是对数凸的与文[2]中的讨论类似,由(3.7)和文[4]中的第10页可得logMp(f,r)也是logr的凸函数,证毕.

定理3的证明与文[2]证明单位球情形有所不同,除了证明中提到的多圆柱上对称性不足导致片函数工具不能使用之外,从(3.6)还可以看出,这里的证明并不能处理三元多圆柱的情形.

受文[2]中定理3及不带权积分均值Mp(f,r)的凸性启发,XIAO和ZHU很自然地提出单位球上体积积分均值Mp,α(f,r)对logr的对数凸性问题.他们发现此时对数凸问题要复杂得多,即对某些α,logMp,a(f,r)是logr的凸函数,而对另一些α它则是凹的.在多圆柱上,由于两个参数α,β相互关联,问题变得更为复杂.我们来看看下面的一些例子.

例1设f是P2上的全纯函数.如果1≤p<∞,则logMp,0(f,r)是logr的凸函数.

证首先我们有

继续改写为

由定理3,(3.8)的最内侧积分的对数是对数凸的,从而由[6]中的方法知道logMp,0(f,r)是logr的凹函数.

例2设f是P2上的全纯函数.如果p=2,α=1且f(z)=z1z2,则logMp,α(f,r)是logr的凸函数.

证由文[2]中例10,单位圆盘上的体积均值积分Mp,α(z1,r)和Mp,α(z2,r)的对数都是logr的凹函数,而简单的计算给出logMp,α(f,r)=logMp,α(z1,r)+logMp,α(z2,r),故它也是logr的凹函数