基于比较 用好教材 助力发展

郑玉琴

【摘   要】教材是重要的教学资源。以三个版本教材中“商不变性质”的相关内容为基础，结合对比分析与实证研究，发现：丰富多彩、适度开放的情境有利于学生抽象出数学问题；举例验证过程的完整性有利于学生提高推理能力；对观察顺序等具体问题进行引导有利于学生进行数学表达。

【关键词】商不变性质；教材比较；实证研究

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）提出的“三会”核心素养，为数学课程实施指明了方向。但实际教学中，教材是教学活动中最重要的基础资源，在“新教材”出版前，如何用好现有教材体现新课标理念，是教师在当下要重点关注和研究的内容。

一、比较教材异同，提出研究问题

小学数学中有很多规律性知识的学习内容。如运算定律和性质、整除的特征和规律等。“商不变性质”是规律性知识的典型内容，在国内各个版本教材中，通常都安排在“三位数除以两位数的除法”单元。本文选择了较有代表性的三个版本教材（以下分别称为A版、B版、C版）进行比较，发现不同版本教材在呈现本节课内容时整体的编排思路基本一致，都是引入新课后，让学生通过对典型例子的观察得到猜想，并举例验证，然后概括出商不变的规律。但不同版本教材在引入新课、探索规律与总结规律时的呈现方式均有所不同。

（一）结合引入方式提出研究问题

引入新课时，A版、B版采用了数学情境引入的方式，直接呈现除法算式；C版则从汽车行驶速度不变、路程随时间改变而改变的生活情境引入。在本节课中，采用数学情境引入与采用生活情境引入对学生的学习兴趣会有影响吗？生活情境是否比数学情境更有利于学生抽象出数学问题？

（二）结合数据呈现方式及数据本身提出研究问题

三个版本教材呈现数据的方式与具体的数据各不相同。A版用一组竖着排列的除法算式呈现数据，被除数和除数依次乘整十、整百、整千（如图1）；B版用一张表格呈现除法算式，被除数和除数依次乘除2和4（如图2）；C版先通过情境呈现被除数、除数扩大至3倍、6倍后的数据（如图3），再让学生自己“写几个含有乘数3的乘法算式，并把每个乘法算式改写成商是3的除法算式”。

从以上内容中可以看出，各版本教材问题开放度的差异较大。A版直接呈现了一个大问题“你发现了什么规律”引导学生思考；B版采用了相对比较具体的“被除数和除数怎样变化，商怎样变化，你有什么发现”引导学生思考；C版先说明被除数和除数都变了但商不变，然后用问题“被除数和除数的变化有什么规律”引导学生展开探索。

以上三个版本教材，教师会更喜欢哪一个版本的编写方式？为什么喜欢？数据与数据的呈现方式会对学生探索商不变性质产生影响吗？学生经历探索过程以后，会怎样概括商不变性质？他们会自发地关注到0吗？怎样的内容更有利于学生的归纳、推理、表达？他们如何表达发现的规律？这些问题都值得深入研究與思考。

二、展开实证研究，分析研究结果

基于对教材比较分析后的思考，笔者选取部分问题，有针对性地在师生中进行了实证调研。

（一）教师调研的结果

在一次教研活动中，请43位教师用20分钟时间独立分析三个版本教材特点后，选择出三个版本中自己最喜欢的一套教材，并说一说喜欢的理由。教师选择的结果如表1。

有60.4%的教师最喜欢C版。他们的理由是：（1）这版教材更开放，学生自己写算式，更容易发现和理解商不变性质；（2）学生可以从多角度探索商不变的规律，探究的空间更大，更适合学生合作学习；（3）学习素材源于学生，用于课堂，更具真实性，学生的研究兴趣也会提高。

有32.6%的教师最喜欢A版。他们的理由是：（1）教学素材简单明了，引入直接，干扰较少，学生更容易通过观察数据发现规律；（2）竖着排列的一组算式可以直观地引导学生从上往下看和从下往上看，更有利于学生表达被除数和除数的变化规律。

选择B版的3位教师认为，互逆的乘除算式同时呈现更有利于学生进行知识的迁移，表格式呈现方式让数据更直观，学生会更喜欢。

调查可见，C版更受教师欢迎。但这个版本的教材真的利于学生发现、理解和概括商不变性质吗？教师的喜好与学生实际学习的情况是否一致？为了更精准地了解学情，有必要对学生进行测查，以了解学生的真实情况。

（二）对学生的测试及分析

2021年9月10日，笔者对不知道商不变性质的129名四年级学生进行了测试。测试方式为将学生分为三组，每组43人，请三组学生用20分钟的时间分别自学三个版本教材，第一组自学A版，第二组自学B版，第三组自学C版，然后对学生的自学情况进行测试。测试后，用回答问题的方式对测试结果进行分析。

1.怎样的情境更利于学生的数学抽象？

能根据数据发现规律，体现的是数学抽象的能力。不同的引入情境，学生发现规律的水平会有差异吗？生活情境和数学情境到底哪种情境更利于学生发现和概括商不变性质呢？我们可以根据学生通过自学是否能关注到被除数、除数、商的变化，能否发现其变化的规律寻找答案。

学生自主发现规律的水平可以划分为四个层次。测试结果如表2。

从表2的数据中可以发现，自学C版后能够抽象出数学问题、发现商不变性质的学生，其占比是三个版本教材中最少的。由此，可以获得很多启示。首先，在教师调研中，选择C版的教师人数是最多的，而使用C版自学后，能自主发现规律的学生人数却是最少的。这说明，教师的喜好与学生的实际学习效果未必一致，做实证研究很有必要。其次，C版从生活情境引入教学，但调研结果显示，情境并没有起到助力学生学习的作用。这说明，虽然引导学生用数学的眼光观察现实生活是教师的教学目标，但教学所提供的生活情境必须是贴近学生、为学生所熟悉的。最后，C版让学生自己提供学习素材的想法是很好的，但受经验和能力的限制，学生很难提供适合本内容后继学习所需的素材，所以不一定是最好的学习方式。这说明，太开放的素材很可能反而不利于学生发现规律。

结合A版和B版的测试结果可知，在学习“商不变性质”时，提供有明显倍数关系的数据（如A版），或呈现的数据存在丰富的倍数关系（如B版），都更利于学生观察、比较，从而在情境中抽象出数学问题。

2.哪些因素会影响学生的数学推理？

“三会”中的数学思维主要聚焦于推理，即能够根据已知事实或原理，合乎逻辑地推出结论，构建数学的逻辑体系。学习“商不变性质”这一内容，学生要通过运算、观察比较、提出猜想、举例验证等一系列探究活动得到结论。哪些因素会影响学生对商不变性质的探索？怎样的引导过程有利于学生进行推理？我们可以继续在测试数据中寻找答案。

（1）数据特征对学生是否能发现规律有显著影响

从教材比较得知，A版呈现的数据中，被除数和除数是按照整十、整百、整千扩大的。自学A版的学生在发现和概括规律时，有60%用“增加1个0”“多几个0”等语言来表达被除數和除数的变化。B版呈现的数据是按2倍、4倍扩大的，且乘、除同时可见。自学B版的学生在概括规律时，有16.7%能将规律规范地表达为“被除数、除数乘几或除以几，商不变”，是三组中能规范表达规律的学生占比最多的一组。C版要求学生自己提供数据，这导致只有18.6%的学生写出的除法算式组容易看出倍数关系，另外81.4%的学生都是按顺序写除法算式，很难发现被除数之间或除数之间的倍数关系。因此在表达规律时，有37.2%的学生写的是“被除数都是三个三个大起来，除数都是一个一个大起来”或“被除数一直加3，除数一直加1”。可见数据特征对学生是否能发现规律有显著影响。

（2）观察顺序是否有引导对学生的探究有显著影响

A版呈现了观察顺序的引导语“从上往下观察”和“从下往上观察”，B版和C版没有观察顺序的引导。因此在表达规律时提及有序观察的学生人数差异较大。测查结果如表3。

观察是推理的基础。以上数据表明，有无观察顺序的引导，会显著影响学生探究规律的结果。这一结果还提醒教师，在呈现学习素材时，看起来微不足道的因素或许会对学生的探索活动产生较大的影响，这必须引起教材编写者、教材使用者的共同重视。比如，本内容中数据特征、观察顺序的引导，会影响学生的观察和探究活动。有了丰富的数据，以及直观提示和引导，学生就更容易进行观察比较和规律概括。

3.怎样的呈现方式更利于学生表达规律？

新课标中的数学语言主要表现之一为模型意识或模型观念。学生要逐步学会用数学语言表达现实世界中的数量关系、规律及性质，并解释表达的合理性。学生学习“商不变性质”这一内容，要尝试用语言概括被除数、除数与商之间的关系。那么怎样的呈现方式更利于学生的语言表达呢？

（1）学生表达能力测试结果分析

要清晰地分析学生用语言表达商不变性质的水平，需先建立水平分析框架。笔者根据书面语言表达的准确性、完整性和规范性三个方面，建立了学生表达商不变性质的水平框架（如表4）。

根据以上得分标准，学生自学各版教材后，用语言表达商不变性质的水平如表5。

从以上测查可以看出，三个版本教材中，C版得分为0的学生最多，共有13人（占30.2%），B版最少。并且只有使用B版自学的学生中有3人（占7.0%）得到了最高（5分）的分数。对比表5和表2可以发现，学生的抽象水平与语言表达水平并不完全一致。如A版有3人的抽象水平到了最高层次，但表达水平均没有到达最高层次；B版有7人的抽象水平到了最高层次，而表达水平只有3人到了最高层次。总体上，学生表现出的语言表达能力不及抽象概括能力。

（2）学生表达能力差异的归因分析

①教材中呈现的“被除数、除数和商”，会成为学生概括规律时的语言表达支架。在三个版本教材中，A版没有提到除法算式的名称，B版清楚地呈现了除法算式的三部分名称，C版只提到“商”这个名称。测查发现，学生使用三版教材自学后，其表达能力与教材呈现的清晰程度之间呈正相关。由此可知，学习素材中出现“被除数、除数和商”这样的名称，有助于学生用语言表达商不变性质。

②呈现具体的引导语对学生的语言表达有明显的提升作用。学生自学教材，写好自己发现的规律后，教师增加了“被除数和除数怎么变，商不会变？如果你有新的发现，请在旁边重新写一写”这样有针对性的引导语，使学生的表达获得了较大进步。其中使用A版自学的学生进步最大，有将近一半的学生能写出较高层次的规律。

三、回顾研究过程，思考教学启示

随着新课程改革的深入，很多教师在教学研究时都会采用实证研究，通过问卷、访谈等方式对学生进行测查。但是，如果在实证之前没有对教材文本进行深入的比较和分析，没有确定实证的目标和具体问题，往往会走很多弯路。本研究先对教材内容进行遴选，找到适合研究的内容，并对商不变性质这一内容的所有教材进行查阅，找出有代表性的三个版本教材，对它们的文本进行对比分析，找到研究问题后，才开始进行实证研究，并通过实证得到以下教学启示。

（一）丰富多彩、适度开放的情境有利于学生抽象出数学问题

三个版本教材提供的情境的开放度不同、呈现的数据不同，这些都会影响学生发现和概括规律。新课程改革以来，我们一直推崇让学生在较开放的空间中独立进行探究，从教师对教材的喜好程度中也可以看出，约60%的教师喜欢开放的素材。但是测查发现，过于开放、没有针对性的数据不利于学生发现、概括和表达商不变性质。因此，教师在选择情境时，需要根据新知识的特点，在了解学生真实认知水平和学习经验的基础上，选择恰当的、丰富的素材进行教学，以提高教学的效率。

（二）举例验证过程的完整性有利于学生提高推理能力

从测查中发现，在129名被测学生中，没有一名学生在表达规律时提到“0除外”。对于这一难点，教师教学时可不要求学生自主概括，但应该在教学过程中自然引出“乘0”或“除以0”，以便学生关注到这一特例。比如，在举例验证时，可以提问“乘的数或除以的数最小可以是什么数”，引出0以后，再引导学生讨论、理解为什么同时乘或除以的数要把“0除外”，把商不变性质补充完整。

（三）对观察顺序等具体问题进行引导有利于学生进行数学表达

从测查中发现，在学生通过观察一组除法算式发现规律时，只有极少数的学生（A版只占8.5%，B版占16.7%，C版没有）能从整体关注除法算式的变化，说明学生整体观察一组算式的学习经验较少，能用准确、规范、完整的语言表达商不变性质的学生更少。因此，教师在教学规律性知识的内容时应引导学生理解，找规律就是找变中的不变，并对观察方法进行指导，如“横着看，竖着看”“从上往下看、从下往上看”“从左往右看、从右往左看”等，让学生积累观察的经验以及用语言描述规律的经验。

无论是对文本进行比较与分析，还是对学生展开全面的测查，最终的目的都是有效促进学生的发展。在完成文本比较和实证之后，教师要对教学目标、重难点作出一些调整，选择更利于学生学习的素材进行教学，从而提高课堂学习效率。本文受篇幅限制，对教学设计不再展开叙述。但实证的数据必定是教学设计的重要基础。

参考文献：

［1］郜舒竹.小学数学这样教（第2版）［M］.上海：华东师范大学出版社， 2021.

［2］吴亚萍.小学数学教学新视野［M］.上海：上海教育出版社，2006.

［3］白灵.“乘法分配律”中美教材自学效果比较研究［J］.教学月刊·小学版（数学），2021（7/8）.

（浙江省杭州市临安区晨曦小学）