基于问题解决的高中数学情境教学——以“随机抽样”教学为例

文| 付春红，谭昀飞

在高中数学教学中，培养学生的问题解决能力远比单纯记忆公式更为重要。本次情境教学案例以随机抽样为主题，旨在通过实际场景引导学生探究数学在现实中的应用，提升他们的数学思维和统计学技能。

一、利用生活体验问题情境，形成问题意识

创设生活化的问题情境有助于学生形象、直观地理解问题本身的含义，同时便于培养学生在生活中用数学眼光看待实际问题的思维。

以“随机抽样”为例，首先场景设定为学校举办了一次奶茶品尝活动，旨在了解学生对不同奶茶品牌的喜好，以便在学校食堂引入更受欢迎的奶茶。每个学生都有机会品尝来自不同品牌的奶茶，然后投票选择自己最喜欢的。

老师：早上好，同学们！我们今天有一个有趣的活动——一起来品尝不同品牌的奶茶。接下来，我们将借此机会了解大家对奶茶的喜好。如果你是学校食堂负责人，你会怎样了解全校同学对不同品牌奶茶的喜好呢？

学生：我可能会在班级群里发一个投票，看看大家都喜欢哪个牌子。

老师：那是一个好方法，但是你有没有考虑到每个班级的学生口味可能不太一样呢？我们希望能够全面了解整个学校学生的喜好，所以有没有其他更全面的方式呢？

学生：难道要全校所有同学都尝一遍吗？这样好像太费时间了。

老师：不一定需要每个人都尝试，我们可以通过一种“随机抽样”的方法来了解整个学校学生的口味。这样可以更有效地了解大家的喜好。你们知道“随机抽样”是什么吗？

学生：是不是就是从整个群体里随机挑一部分人参与调查？

老师：很好！就是这个意思。这样我们就能够更全面、更客观地了解学校同学的口味，而不仅仅是在一个小范围内。让我们来思考一下，如何设计一个合理的随机抽样方案呢？假设我们只在一个班级里进行投票，会不会得出一个准确反映全校同学口味的结果呢？

学生：可能不太准确，因为每个班级学生的口味可能有差异。

老师：对，你说得很对。如果我们希望了解整个学校的情况，我们就需要考虑到所有班级的差异。那么，如果我们要从每个班级中选择代表性的学生，应该怎么办呢？

学生：我们可以从每个班级中随机选择一些人来参与。

老师：很好，你提到了随机选择，这正是随机抽样的核心。通过随机抽样，我们能够在全体学生中公平地选择代表样本，避免了仅仅在一个班级中进行调查可能导致的片面性。

学生：但是，老师，我们要怎么确保随机抽样的公正性呢？

老师：这是一个很关键的问题。我们可以使用不同的方法，比如使用学生的学号进行编号，然后利用随机数生成器或其他方法进行抽样。这样，每个同学都有平等的机会被选中，确保了抽样的公正性。

学生：原来如此，这样就可以更全面地了解大家的口味了。

老师：是的，通过合理的随机抽样，我们可以在不浪费太多时间的情况下获取更全面、更准确的信息。这也是数学在实际中的应用之一。你们觉得呢？

学生：感觉数学还挺实用的，以前没想到还能这样运用。

老师：数学在解决实际问题中发挥着重要作用，而随机抽样就是其中一个很好的例子。希望大家在日常生活中也能灵活运用数学的思维方式，发现更多有趣的问题。

通过这种生活化的问题情境，学生更直观地理解了随机抽样的概念，并开始思考如何在实际生活中运用这个方法。教师引导学生从不同角度思考问题，培养了他们对问题解决的主动思考意识。

二、设置猜想验证问题情境，探明问题根本

在问题情境中设置猜想并进行验证可以引导学生主动进行问题探究并逐步探明问题的根本。我们继续以“随机抽样”为例进行详细阐述。

通过生活化问题情境的创设，学生对随机抽样的方法产生了兴趣，并且想知道是否存在一种更简单、更直观的方法来进行奶茶品尝调查。他们希望能够通过一种猜想验证的方式探明问题的根本，即是否有一种模式能够更有效地了解全校学生对奶茶的喜好。

老师：那么，同学们，我们现在已经了解到了随机抽样的方法，但是你们有没有想过是否存在一种更简便的方式可用来推断全校学生对奶茶的喜好呢？

学生：可以根据学生的年级来抽样，比如每个年级抽取一些学生。

老师：这是一个有趣的猜想！那么，我们来验证一下这个猜想。你们认为根据年级抽样能够代表全校学生的喜好吗？

学生：如果每个年级学生的口味都相似的话，应该可以吧。

老师：非常好的分析！我们现在来看看之前的奶茶品尝活动记录，整理出每个年级学生对奶茶的喜好情况。我们将根据这些数据来验证你们的猜想。我们先来看看下面这份模拟数据：（见表1）

表1

学生：我们还需要考虑到每个年级的学生人数可能会不一样。怎么处理这个问题呢？

老师：很敏锐的问题！我们可以考虑按照每个年级学生人数的比例进行抽样，这样可以更公平地代表每个年级学生的喜好。你们觉得怎么样？

学生：好像挺合理的，这样每个年级学生的喜好就能够比较均衡地反映出来。

通过这个猜想验证情境，学生在老师的引导下思考了根据年级抽样的可能性，并且在实际数据处理中考虑了人数的差异。

三、融入数学史故事情境，升华问题内涵

在问题解决的背景下，高中数学教师在创设数学情境中应当积极融入数学史故事情境。这样不仅可以激发学生的学习兴趣，还能帮助学生更加深入地了解数学历史。

如在随机抽样中，老师决定通过一个数学史故事情境来深入探讨随机抽样的问题，激发学生对数学学习的兴趣。故事的背景：20 世纪初，数学家阿伦·图灵在研究计算机科学的过程中提出了著名的“随机数生成器”概念。他意识到在计算机中引入一定的随机性可以增加算法的复杂性和不可预测性。

老师：今天，我们要谈论一个数学史上的故事，它涉及计算机科学奠基人之一——阿伦·图灵。在20世纪初，他提出了一个非常有趣的概念——随机数生成器。这个概念是如何帮助计算机更好地完成任务的呢？

学生：随机数生成器是用来生成随机数的工具，但计算机怎么可能生成真正的随机数呢？

老师：很好的问题！实际上，图灵意识到真正的随机数在计算机中是很难实现的，因此他提出的是伪随机数生成器。这个生成器通过一种算法产生看似随机的数字序列。现在，我们把这个概念与我们之前讨论的随机抽样联系起来。

学生：难道这和我们平时在调查中用的随机样本有关系吗？

老师：正是如此！图灵的想法启发了我们在统计学和调查中使用随机抽样的方法。现在，我们来思考一下，如果图灵在当时要进行一个有趣的实验，如研究当时英国人对茶的口味偏好，他可能会如何设计随机抽样实验？

学生：也许他可以从不同地区随机选取一些家庭，然后询问他们对茶的喜好。

老师：很好的点子！这就是一个应用随机抽样的例子。图灵可以通过从不同地区随机选择一些家庭，了解到不同地区人们的口味偏好，而不仅仅是在一个地方调查。这样，他就可以更全面地了解整个英国的人们对茶的口味。

学生：那我们能不能自己设计一个实验，使用图灵的伪随机数生成器来进行随机抽样呢？

老师：有趣的提问！实际上，我们可以尝试使用伪随机数生成器来设计一个实验，了解同学们对不同学科的兴趣。通过这样的实践，我们可以更好地理解图灵的思想，并将其应用于解决实际问题。

老师：我们刚才讨论了图灵的伪随机数生成器，他在当时的计算机科学领域产生了深远的影响。现在，我们来思考一下随机抽样和随机数生成器在当代科技中的应用。有没有同学知道一些现实中使用到随机性的例子？

学生：是不是密码生成器用到了随机数？

老师：很聪明！没错，密码生成器通常会使用伪随机数生成器来增加密码的复杂性，提高安全性。

学生：在计算机游戏中，有些随机事件的发生也可能用到随机数吧？

老师：没错！在游戏中，为了增强趣味性，设计者会使用随机数来决定一些事件的发生，如道具的出现、敌人的行动等，使游戏更富挑战性和变化性。

通过融入数学史故事情境，学生不仅了解了数学的历史，还将数学理论与实际问题相结合，拓展了对随机抽样的理解，提高了应用数学知识的兴趣。

四、开展活动创设问题情境，丰富问题内容

为了加深学生对随机抽样的理解并提升学生对知识的实际应用能力，教师决定开展一场实际的随机抽样活动，以构建问题情境，丰富问题内容。学生将在活动中亲身体验随机抽样的过程，从而更深刻地理解相关概念。

老师：大家好！今天我们将进行一次实际的随机抽样活动，通过这个活动来感受随机抽样的过程，也让我们的学习更生动、有趣。

学生：好期待这个活动！

老师：首先，我们要决定我们调查的主题。你们有什么感兴趣的话题可以进行样本调查呢？

学生：我们可以调查同学们对不同种类零食的喜好。

老师：非常好！那么，我们将这个话题作为我们的调查对象。接下来，我们要确定如何进行随机抽样。有什么好的建议吗？

学生：我们可以写下同学们的名字，然后随机从中抽取。

老师：好主意！现在请你们一起动手，写下同学们的名字，并准备进行随机抽样。

（学生动手写下名字，教师辅助并提供指导。）

学生：我们写好了，接下来呢？

老师：现在，我们进行抽样。我将使用这个装有名字的容器，摇一摇，然后抽出一个名字。这位同学将成为我们的样本。

（教师进行抽样，抽出一个名字）

学生：好刺激啊！这样抽样感觉很公平。

老师：是的，随机抽样的过程就是这么简单又有趣。接下来，你们可以分组进行实地调查，收集同学们对不同零食的喜好数据。

（学生分组进行实地调查。）

学生：老师，我们可以用什么图表来展示我们的调查结果呢？

老师：这是一个很好的问题！你们可以使用柱状图、饼图等清晰地呈现同学们的喜好。这将是一个很有趣的展示环节。

通过这个活动，学生在实践中深入理解了随机抽样的过程，同时也培养了团队合作和数据分析的能力。这样的问题情境构建使学习更加具体而生动。学生在生动有趣的情境中不仅理解了随机抽样的原理和方法，还培养了逻辑思维、团队协作能力和数据分析的能力。数学不再是单纯的公式和符号，而是解决现实问题的利器。这种基于问题解决的教学方法旨在培养学生的创造力和实际运用能力，使他们在未来能够运用数学思维灵活应对各种挑战。