“等差数列”教学设计

文| 张 娜

等差数列是一个古老的数学课题，在数学发展早期已有许多人研究过数列这一课题。古埃及数学文献《莱因特纸草书》中就有相关的问题。其中一个问题的大意是：

把100 个面包分给5 人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的七分之一是较小的两份之和，则最小的一份为多少？

在巴比伦晚期的《泥板文书》中也有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：

10 个兄弟分100 两银子，长兄最多，依次减少相同数目。现知老八分得6 两，问相邻两兄弟相差多少？

印度数学家婆罗摩笈多在公元7 世纪末给出了求末项公式。在我国公元5 世纪写成的《张丘建算经》中，也曾得出这个公式。自张丘建之后，我国对等差数列的计算日趋重视，特别是在天文学和堆栈求积等问题的推动下，从对一般的等差数列的研究发展成为对高阶等差数列的研究。在北宋沈括的《梦溪笔谈》中，“垛积术”就是第一个关于高阶等差数列的求积法。东汉时期的刘徽在《九章算术》中已经提出求等差数列各项以及已知首项、末项和项数求公差的问题。南宋数学家杨辉丰富和发展了沈括的成果。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》和《算学启蒙》中得到一系列重要的高阶等差数列求和公式。朱世杰的垛积根差术，全面地推进了宋元数学家在这方面的研究工作。

【教学目标】

（1）通过生活中的实例理解等差数列的概念和通项公式的意义，知道等差中项的概念。（2）能在具体的情境中发现数列的等差关系，能判断一个数列是否为等差数列。（3）会利用定义推导等差数列的通项公式，体会等差数列与一元一次函数的关系。

【教学重点】

等差数列的概念和通项公式。

【教学难点】

（1）通过运算发现等差数列的规律以及规律的符号化表达。（2）等差数列通项公式的归纳。

【教学过程】

环节一：创设情境，形成概念

在前面的学习中，我们已经了解了数列的定义、表示方法，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列。

请看下面几个问题中的数列。

情境1：北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9 圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为

情境2：S，M，L，XL，XXL，XXXL 型号的女装上衣对应的尺码分别是

情境3：测量某地垂直地面方向上海拔500 m 以下的大气温度，得到从距离地面20 m 起每升高100 m处的大气温度（单位：℃）依次为

情境4：某人向银行贷款a 万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为

问题1：对于情境1 中的数列，你能通过运算发现其中的取值规律吗？

对于数列{9，18，27，36，45，54，63，72，81 }，学生可能很自然地想到“9+9=18，18+9=27…72+9=81”，我们把这种表达方式改成了“18－9=9，27－18=9，81－72=9”，并在教科书“边空”的提示中指出“改变表达方式使数列的取值规律更突出了”。然后，用字母代替数列中的具体项，得到a2-a1=9，a3-a2=9，a4-a3=9…从而使“规律”呈现出了一般性，由此就容易概括出这个数列的取值规律：从第2 项起每一项与它的前一项的差都等于同一个常数9。紧接着我们追问：你能仿照数列①的运算规律写出情境2、3、4 中数列的一般规律吗？

在这个过程中，学生要自己验证，发现其共同的规律：从第2 项起每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。我们在此强调同一个常数。

在上述基础上，我们引导学生进行共性归纳，然后再用严谨的数学语言抽象出等差数列的概念。

问题2：你能描述等差数列的概念吗？

我们得到了等差数列的定义：一般，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作公差，通常用字母d表示。

在教学中，教师要引导学生得出定义，并体会定义中的关键词，让学生把握定义的关键点，为等差数列的判断提供依据和方法。

追问1：你能从等差数列的定义中得出等差数列相邻两项的递推关系吗？

我们从定义中可以发现等差数列相邻两项的递推关系：an-an-1=d（n＞1）或an+1-an=d。我们用数学符号表示了等差数列，得到了递推关系。

追问2：你能从等差数列的定义中得出等差数列相邻三项的递推关系吗？

学生经过分析也可以得出相邻三项的递推关系：an-an-1=an+1-an（n＞1）即2an=an+1+an-1（n＞1）。在教学过程中，我们要强调n的范围，让学生形成习惯，为之后数列的进一步学习奠定基础，体现数学的严谨性。

接着，从一般到特殊，我们研究只含三项的等差数列，给出了“等差中项”的定义及其性质。

问题3：若三个数a，A，b成等差数列，你能得到a，A，b的关系吗？

如果a，A，b成等差数列，根据等差数列的定义，我们可以得出A=，我们称A为a，b的等差中项，由此我们引入了等差中项的概念。从数值上看，等差中项等于首项与末项的算术平均数，这可以看成等差数列的一个重要性质。这里要特别强调“两个数的算术平均数”在等差数列研究中的重要意义。实际上，对于一般的等差数列中的相邻三项，满足2an=an+1+an-1（n＞1），与追问2 一致。

环节二：利用概念，推导通项

研究了等差数列的概念与递推公式之后，紧接着我们就想去探究一下等差数列的通项公式。

问题4：设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，你能从等差数列的定义出发推出等差数列的通项公式吗？

推导1

a2=a1+d

a3=a1+2d

a4=a1+3d

...

an=a1+（n-1）d

这是一种迭代的思想，属于归纳推理，其正确性需之后的数学归纳法进一步验证。

推导2

a2-a1=d

a3-a2=d

a4-a3=d

...

an-an-1=d（n≥2）

累加：an=a1+（n-1）d

当n=1 时，a1亦满足上式，所以an=a1+（n-1）d。

环节三：典例分析，形式特征

我们得到了等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d，在教学中我们引导学生分析通项公式，探究通项公式中涉及的量，引导学生知三求一，引导学生明确首项a1和公差d为两个基本量，为之后建立方程的思想做准备。在这个过程中，我们可以通过具体例题加以体现基本量的方法。

例1.（1）已知等差数列{an}的通项公式an=5-2n，求{an}的公差和首项及a5；

（2）求等差数列{2，5，8}… 的第20 项及通项公式；

（3）已知数列{an}的通项公式an=6，求{an}的公差d和首项及a5；

（4）-401 是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

学生借助等差数列的定义及通项公式，可以得到：

（1）d=an+1-an=5-2（n+1）-5+2n=-2，a5=-5；

（2）由题知a1=2，d=a2-a1=3，

所以通项公式为an=2+（n-1）3=3n-1，a20=59；

（3）d=an+1-an=0，a1=6，a5=6；

（4）由题知a1=-5，d=a2-a1=-4，

所以通项公式为an=-5+（n-1）（-4）=-4n-1，

令-4n-1=-401，得n=100，所以-401 是这个数列的项，是第100 项。

问题5：观察上述（1）（2）（3）（4）4 个等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？

学生通过表达式分析得到与一次函数有关，但又区别于一次函数，首先是数列这个特殊函数的定义域导致的区别，函数图象是一系列点，但这些点分布在一条直线上。其次我们发现（3）这个常数列的通项公式不是一次函数。我们将通项公式做变形为an=dn+（a1-d），类比于一次函数y=dx+（a1-d），我们发现当d≠0 时，{an} 就是一次函数的自变量取正整数时的函数值（如图1）。

图1

例2.判断下列数列是否为等差数列：

（1）1，1，2，3，4…

（2）1，1，1，1，1…

（3）1，3，1，3，1，3…

（4）1，3，5，7，9，…2n-1…

（5）a1=1，an-an-1=2（n≥2）

（6）a1=1，an-an-1=n（n≥2）

（7）an=an+b（a，b为常数）

（8）2an=an-1+an+1（n≥2）

（9）an=（-1）n

通过此题学生可以进一步理解等差数列的定义及通项公式的形式特征，并总结判断等差数列的方法：定义法、等差中项法、通项公式法。

环节四：当堂检测，课堂小结

1．已知等差数列{an}中，a10=10，a12=16，则这个数列的首项是（ ）

A．-6 B.6

C.-17 D.17

2．等差数列{an}中，已知a1=，a2+a5=4，an=33，则n等于（ ）

A．48 B．49

C．50 D．51

3.已知数列{an}中，a1=，数列an=2-，（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn=n∈N*），求证数列{bn}是等差数列。

课堂小结：通过本节课的学习，学生理解了等差数列的概念，可以判断一个数列是否是等差数列并能解决等差数列的相关问题。

环节五：课后作业

教材P15（练习）第1、2、3、4、5 题。

环节六：课后反思

在本节课中，我通过具体例子引导学生发现数列相邻两项的关系，进而直接得出等差数列的概念，在给出概念之后，引导学生对概念的关键字进行标注并解释，由上节课所学的递推关系提问学生两项间的递推关系，从而得出数学表达式，提问三项间的递推关系得到等差中项的概念。在这节课中，我们可以先给出一道例题，让学生完成填空，并提出更高的要求，求出数列的第20 项，甚至第2023 项。这时提出：“要有通项公式该有多好啊！”进而引导学生进行通项公式的推导。这样的设计可能更为自然流畅，在推导过程中学生容易进行归纳总结，所以在此需要强调归纳总结之后的结果需要进行验证，在推导过程中，给出迭代和累加两种方法，这也是数列中处理问题比较重要的方法。