如何从E□M◇O-3广义模态三段论推导出其他20个有效的广义模态三段论

卫 龙，张晓君

（安徽大学哲学学院，安徽 合肥 230039）

一、引言

三段论推理是自然语言中常见的推理形式，在自然语言和人类思维中占据着重要的地位，是人工智能的自然语言信息处理、知识表示与知识推理的重要研究内容之一。在自然语言中，存在多种形式的三段论，例如：亚氏三段论（1）、广义三段论（2）、亚氏模态三段论（3）、广义模态三段论（4）、关系三段论（5）、带有动词的三段论（5）、带有形容词的三段论（5）、带有布尔运算的三段论（5），等等。本文聚焦于广义模态三段论的可化归性。

Łukasiewic（1957）（6）、蔡曙山（1988）（7）、张晓君（2014）（8）、Xiaojun 等（2022）（9）、Hui（2023）（10）、Long（2023）（11）、Cheng（2023）（12）研究了亚氏三段论的可化归性。袁兆隆（2018）（13）、王薇（2020）（14）、张晓君和吴宝祥（2021）（15）探讨了广义三段论的可化归性。Cheng（2023）（16）、Long（2023）（17）讨论了亚氏模态三段论的可化归性。

截至目前，国内外几乎还没有广义模态三段论可化归性的文献。本文致力于探讨广义模态三段论E□M◇O-3 与其他广义模态三段论之间的可化归性。其研究思路：首先根据集合论和可能世界语义学，证明广义模态三段论E□M◇O-3的有效性，再利用广义量词理论和模态逻辑，根据E□M◇O-3的有效性，推导出其他20个广义模态三段论的有效性。

二、预备知识

本文中，广义模态三段论的量化语句主要涉及以下8种类型：“所有Z都是K”、“所有Z都不是K”、“有Z是K”、“有Z不是K”、“大多数的Z是K”、“少于一半的Z是K”、“最多一半的Z是K”、“至少一半的Z是K”。它们分别形式化为：all（Z,K）、no（Z,K）、some（Z,K）、notall（Z,K）、most（Z,K）、fewerthan halfofthe（Z,K）、atmosthalfofthe（Z,K）和atleasthalfofthe（Z,K），并且分别简记为A、E、I、O、M、F、H和L（18）。在本文中，Q表示广义量词，Z、G和K表示量化语句中词项变元的集合，|Z|表示集合Z的基数，D表示论域，形式化过程中对论域做省略处理，以使表达更为简洁。

广义模态三段论实例：

大前提：没有美国总统是女性。（形式化为no（G,Z））

小前提：大多数美国总统必然是千万富翁。（形式化为□most（G,K））

结论：并非所有千万富翁都可能是女性。（形式化为◇notall（K,Z））

若设G是论域中所有美国总统组成的集合，Z是论域中全部女性组成的集合，K是论域中所有千万富翁组成的集合，则此广义模态三段论实例可以形式化为：no（G,Z）∧□most（G,K）→◇notall（K,Z）。由于广义模态三段论的格的定义与亚氏三段论类似，因此，这是第三格的E□M◇O式三段论，简记为E□M◇O-3。其他广义模态三段论的记法与此类似。

定义1（量化语句和模态量化语句的真值定义）：

（1）all（Z,K）为真，当且仅当，Z⊆K为真；

（2）no（Z,K）为真，当且仅当，Z∩K=∅为真；

（3）some（Z,K）为真，当且仅当，Z∩K≠∅为真；

（4）notall（Z,K）为真，当且仅当，Z⊈K为真；

（5）most（Z,K）为真，当且仅当，|Z∩K|≥0.6|Z|为真；

（6）□all（Z,K）为真，当且仅当，all（Z,K）在任意可能世界中为真，当且仅当，Z⊆K在任意可能世界中为真；

（7）□no（Z,K）为真，当且仅当，no（Z,K）在任意可能世界中为真，当且仅当，Z∩K=∅在任意可能世界中为真；

（8）□some（Z,K）为真，当且仅当，some（Z,K）在任意可能世界中为真，当且仅当，Z∩K≠∅在任意可能世界中为真；

（9）□notall（Z,K）为真，当且仅当，notall（Z,K）在任意可能世界中为真，当且仅当，Z⊈K在任意可能世界中为真；

（10）□most（Z,K）为真，当且仅当，most（Z,K）在任意可能世界中为真，当且仅当，|Z∩K|≥0.6|Z|在任意可能世界中为真；

（11）◇all（Z,K）为真，当且仅当，all（Z,K）在至少一个可能世界中为真，当且仅当，Z⊆K在至少一个可能世界中为真；

（12）◇no（Z,K）为真，当且仅当，no（Z,K）在至少一个可能世界中为真，当且仅当，Z∩K=∅在至少一个可能世界中为真；

（13）◇some（Z,K）为真，当且仅当，some（Z,K）在至少一个可能世界中为真，当且仅当，Z∩K≠∅在至少一个可能世界中为真；

（14）◇notall（Z,K）为真，当且仅当，notall（Z,K）在至少一个可能世界中为真，当且仅当，Z⊈K在至少一个可能世界中为真；

（15）◇most（Z,K）为真，当且仅当，most（Z,K）在至少一个可能世界中为真，当且仅当，|Z∩K|≥0.6|Z|在至少一个可能世界中为真。

定义2（内否定定义）：Q¬（Z,K）=defQ（Z,D-K）。

定义3（外否定定义）：¬Q（Z,K）=def并非Q（Z,K）。

事实1（some和no的对称性）：（1）some（Z,K）↔some（K,Z）；（2）no（Z,K）↔no（K,Z）。

事实2（内否定事实）：

（1）all（Z,K）=no¬（Z,K）；

（2）no（Z,K）=all¬（Z,K）；

（3）some（Z,K）=notall¬（Z,K）；

（4）notall（Z,K）=some¬（Z,K）；

（5）most（Z,K）=fewerthanhalfofthe¬（Z,K）；

（6）fewerthanhalfofthe（Z,K）=most¬（Z,K）；

（7）atmosthalfofthe（Z,K）=atleasthalfofthe¬（Z,K）；

（8）atleasthalfofthe（Z,K）=atmosthalfofthe¬（Z,K）。

事实3（外否定事实）：

（1）¬notall（Z,K）=all（Z,K）；

（2）¬all（Z,K）=notall（Z,K）；

（3）¬no（Z,K）=some（Z,K）；

（4）¬some（Z,K）=no（Z,K）；

（5）¬atmosthalfofthe（Z,K）=most（Z,K）；

（6）¬most（Z,K）=atmosthalfofthe（Z,K）；

（7）¬fewerthanhalfofthe（Z,K）=atleasthalfofthe（Z,K）；

（8）¬atleasthalfofthe（Z,K）=fewerthanhalfofthe（Z,K）。

事实2和事实3可以分别利用定义2和定义3加以证明。

令Q（Z,K）是一个直言命题，由于可能模态词（◇）与必然模态词（□）互为对偶，因此：◇Q（Z,K）=def¬□¬Q（Z,K）；□Q（Z,K）=def¬◇¬Q（Z,K）（19）。下面的事实4可据此来证明。

事实4：（1）¬□Q（Z,K）=◇¬Q（Z,K）；（2）¬◇Q（Z,K）=□¬Q（Z,K）。

以下事实5至事实8是模态逻辑（20）和广义量词理论（21）的基础知识，其证明从略。

事实5：├□Q（Z,K）→Q（Z,K）。

事实6：├□Q（Z,K）→◇Q（Z,K）。

事实7：├Q（Z,K）→◇Q（Z,K）。

事实8：（1）├all（Z,K）→some（Z,K）；（2）├no（Z,K）→notall（Z,K）。

广义模态三段论逻辑是亚氏三段论逻辑的扩展，后者是经典命题逻辑的扩展逻辑，因此以下经典命题逻辑的推理规则仍然适用于广义模态三段论，其中q，p，r和s是命题变元。

推理规则：

（1）替换规则：假设q是从p“通过把一个变元统一替换为另一个变元”而得到的，那么从├p可推导出├q；

（2）双重否定规则：从├¬¬p可推导出├p，反之亦然；

（3）前件互换规则：从├（p→（q→r））可推导出├（q→（p→r））；

（4）后件弱化规则：从├（p∧q→r）和├（r→s）可推导出├（p∧q→s）；

（5）反三段论规则1：从├（p∧q→r）可推导出├（¬r∧p→¬q）；

（6）反三段论规则2：从├（p∧q→r）可推导出├（¬r∧q→¬p）。

三、E□M◇O-3与其他20个有效广义模态三段论的化归

以下定理1证明了广义模态三段论E□M◇O-3的有效性；定理2中的“（1）E□M◇O-3⇒E□M◇O-4”表明：根据E□M◇O-3的有效性，可以推导出广义模态三段论E□M◇O-4的有效性。换言之，这两个广义模态三段论之间具有可化归关系。其他三段论之间的可化归关系采用类似的表示方法。

定理1（E□M◇O-3）：广义模态三段论no（G,Z）∧□most（G,K）→◇notall（K,Z）是有效的。

证明：假设no（G,Z）和□most（G,K）为真，根据定义1 的量化语句的真值定义（2）可知：no（G,Z）⇔G∩Z=∅；根据定义1 的模态量化语句的真值定义（10）可知：□most（G,K）为真，当且仅当，most（G,K）在任意可能世界中为真，当且仅当，|G∩K|≥0.6|G|在任意可能世界中为真。因此，至少存在一个可能世界，使得G∩Z=∅且|G∩K|≥0.6|G|，因此K⊈Z。这可以通过反证法加以证明。假设K⊈Z不成立，那么K⊆Z，而G∩Z=∅，所以G∩K=∅，这与“|G∩K|≥0.6|G|在任意可能世界中为真”矛盾，因此，至少存在一个可能世界，使得K⊈Z，再根据定义1模态量化语句的真值定义（14）可知：◇notall（Z,K）为真。即有：no（G,Z）∧□most（G,K）→◇notall（K,Z）是有效的，即：E□M◇O-3是有效的。证毕。

定理2：根据E□M◇O-3可以推导出以下20个有效的广义模态三段论：

（1）E□M◇O-3⇒E□M◇O-4

（2）E□M◇O-3⇒□A□MI-1

（3）E□M◇O-3⇒□AE◇H-2

（4）E□M◇O-3⇒A□M◇I-3

（5）E□M◇O-3⇒A□M◇I-3⇒□MA◇I-3

（6）E□M◇O-3⇒□A□MI-1⇒□M□AI-4

（7）E□M◇O-3⇒□A□MI-1⇒□E□MO-1

（8）E□M◇O-3⇒□A□MI-1⇒□E□MO-1⇒□E□MO-2

（9）E□M◇O-3⇒□AE◇H-2⇒□AE◇H-4

（10）E□M◇O-3⇒□AE◇H-2⇒□EA◇H-2

（11）E□M◇O-3⇒A□M◇I-3⇒□MA◇I-3⇒□EA◇H-1

（12）E□M◇O-3⇒□A□MI-1⇒□E□MO-1⇒□E□MO-2⇒□A□FO-2

（13）E□M◇O-3⇒□A□MI-1⇒□E□MO-1⇒□E□MO-2⇒□A□FO-2⇒□FA◇O-3

（14）E□M◇O-3⇒□A□MI-1⇒□A□M◇I-1

（15）E□M◇O-3⇒□A□MI-1⇒□A□M◇I-1⇒□E□M◇O-3

（16）E□M◇O-3⇒□A□MI-1⇒□A□M◇I-1⇒□E□M◇O-3⇒□E□M◇O-4

（17）E□M◇O-3⇒□A□MI-1⇒□M□AI-4⇒□M□A◇I-4

（18）E□M◇O-3⇒□A□MI-1⇒□E□MO-1⇒□E□M◇O-1

（19）E□M◇O-3⇒□A□MI-1⇒□E□MO-1⇒□E□MO-2⇒□E□M◇O-2

（20）E□M◇O-3⇒□A□MI-1⇒□E□MO-1⇒□E□MO-2⇒□A□FO-2⇒□A□F◇O-2

证明：

（1）├no（G,Z）∧□most（G,K）→◇notall（K,Z）（即E□M◇O-3）

（2）├no（G,Z）↔no（Z,G）（根据事实1的（2）

（3）├no（Z,G）∧□most（G,K）→◇notall（K,Z）（即E□M◇O-4，根据（1）和（2）

（4）├¬◇notall（K,Z）∧□most（G,K）→¬no（G,Z）（根据（1）和反三段论规则2）

（5）├¬◇notall（K,Z）=□¬notall（K,Z）（根据事实4的（2）

（6）├□¬notall（K,Z）∧□most（G,K）→¬no（G,Z）（根据（4）和（5）

（7）├¬notall（K,Z）=all（K,Z）（根据事实3的（1）

（8）├¬no（G,Z）=some（G,Z）（根据事实3的（3）

（9）├□all（K,Z）∧□most（G,K）→some（G,Z）（即□A□MI-1，根据（6）、（7）和（8）

（10）├¬◇notall（K,Z）∧no（G,Z）→¬□most（G,K）（根据（1）和反三段论规则1）

（11）├□¬notall（K,Z）∧no（G,Z）→◇¬most（G,K）（根据（10）和事实4）

（12）├¬most（G,K）=atmosthalfofthe（G,K）（根据事实3的（6））

（13）├□all（K,Z）∧no（G,Z）→◇atmosthalfofthe（G,K）（即□AE◇H-2，根据（7）、（11）和（12）

（14）├no（G,Z）=all¬（G,Z）（根据事实2的（2）

（15）├notall（K,Z）=some¬（K,Z）（根据事实2的（4））

（16）├all¬（G,Z）∧□most（G,K）→◇some¬（K,Z）（根据（1）、（14）和（15））

（17）├all（G,D-Z）∧□most（G,K）→◇some（K,D-Z）（根据（16）和定义2）

（18）├all（G,Z）∧□most（G,K）→◇some（K,Z）（即A□M◇I-3，根据（17）和替换规则）

（19）├all（G,Z）∧□most（G,K）→◇some（Z,K）（即□MA◇I-3，根据（18）和事实1的（1）

（20）├□all（K,Z）∧□most（G,K）→some（Z,G）（即□M□AI-4，根据（9）和事实1的（1）

（21）├all（K,Z）=no¬（K,Z）（根据事实2的（1）

（22）├some（G,Z）=notall¬（G,Z）（根据事实2的（3）

（23）├□no¬（K,Z）∧□most（G,K）→notall¬（G,Z）（根据（9）、（21）和（22）

（24）├□no（K,D-Z）∧□most（G,K）→notall（G,D-Z）（根据（23）和定义2）

（25）├□no（K,Z）∧□most（G,K）→notall（G,Z）（即□E□MO-1，根据（24）和替换规则）

（26）├□no（Z,K）∧□most（G,K）→notall（G,Z）（即□E□MO-2，根据（25）和事实1的（2））

（27）├□all（K,Z）∧no（Z,G）→◇atmosthalfofthe（G,K）（即□AE◇H-4，根据（2）和（13））

（28）├□no¬（K,Z）∧all¬（G,Z）→◇atmosthalfofthe（G,K）（根据（13）、（14）和（21））

（29）├□no（K,D-Z）∧all（G,D-Z）→◇atmosthalfofthe（G,K）（根据（28）和定义2）

（30）├□no（K,Z）∧all（G,Z）→◇atmosthalfofthe（G,K）（即□EA◇H-2，根据（29）和替换规则）

（31）├¬◇some（Z,K）∧all（G,Z）→¬□most（G,K）（根据（19）和反三段论规则1）

（32）├□¬some（Z,K）∧all（G,Z）→◇¬most（G,K）（根据（31）和事实4）

（33）├□no（Z,K）∧all（G,Z）→◇atmosthalfofthe（G,K）（即□EA◇H-1，根据（32）、事实3的（4）和（6））

（34）├no（K,Z）=all¬（K,Z）（根据事实2的（2）

（35）├most（G,K）=fewerthanhalfofthe¬（G,K）（根据事实2的（5）

（36）├□all¬（Z,K）∧□fewerthanhalfofthe¬（G,K）→notall（G,Z） （根据（25）、（34）和（35）

（37）├□all（Z,D-K）∧□fewerthanhalfofthe（G,D-K）→notall（G,Z） （根据（36）和定义2）

（38）├□all（Z,K）∧□fewerthanhalfofthe（G,K）→notall（G,Z）（即□A□FO-2，根据（37）和替换规则）

（39）├¬notall（G,Z）∧□fewerthanhalfofthe（G,K）→¬□all（Z,K）（根据（38）和反三段论规则2）

（40）├¬notall（G,Z）∧□fewerthanhalfofthe（G,K）→◇¬all（Z,K）（根据（39）和事实4的（1）

（41）├all（G,Z）∧□fewerthanhalfofthe（G,K）→◇notall（Z,K）（即□FA◇O-3，根据（40）、事实3的（1）和（2）

（42）├some（G,Z）→◇some（G,Z）（根据事实7）

（43）├□all（K,Z）∧□most（G,K）→◇some（G,Z）（即□A□M◇I-1，根据（9）、（42）和后件弱化规则）

（44）├¬◇some（G,Z）∧□most（G,K）→¬□all（K,Z）（根据（43）和反三段论规则2）

（45）├□¬some（G,Z）∧□most（G,K）→◇¬all（K,Z）（根据（44）和事实4）

（46）├□no（G,Z）∧□most（G,K）→◇notall（K,Z）（即□E□M◇O-3，根据（45）、事实3的（4）和（2）

（47）├□no（Z,G）∧□mos（tG,K）→◇notal（lK,Z）（即□E□M◇O-4，根据（46）和事实1的（2）

（48）├some（Z,G）→◇some（Z,G）（根据事实7）

（49）├□mos（tG,K）∧□al（lK,Z）→◇some（Z,G）（即□M□A◇I-4，根据（20）、（48）和后件弱化规则）

（50）├□no（K,Z）∧□mos（tG,K）→◇notal（lG,Z）（即□E□M◇O-1，根据（25）和事实7）

（51）├□no（Z,K）∧□mos（tG,K）→◇notal（lG,Z）（即□E□M◇O-2，根据（26）和事实7）

（52）├□al（lZ,K）∧□fewerthanhalfofthe（G,K）→◇notal（lG,Z）（即□A□F◇O-2，根据（38）和事实7）

证毕。

至此，根据广义模态三段论E□M◇O-3的有效性，并且利用广义量词理论和模态逻辑的相关定义和事实，推导出了其他20个有效的广义模态三段论。这一过程充分说明了E□M◇O-3与这20个广义模态三段论之间存在着可化归关系。

四、结束语

本文的主要工作和结论如下：首先根据集合论和可能世界语义学给出直言命题和模态直言命题的真值定义，证明广义模态三段论E□M◇O-3的有效性；然后，在广义量词理论和模态逻辑的基础上，充分利用广义量词的内否定与外否定事实、some与no的对称性、模态词□与◇之间的对偶关系、后件弱化规则、反三段论推理规则等化归运算，根据E□M◇O-3的有效性，推导出了其他20个有效的广义模态三段论。事实上，反复利用这些化归运算，还可以推导出更多的有效广义模态三段论。

本文的研究方法不仅为其他种类的三段论（如亚氏三段论、亚氏模态三段论、广义三段论）的可化归性，提供了统一的数学研究范式，而且为人工智能领域的知识表示与知识推理提供了理论支撑，顺应了大数据时代“对自然语言信息的形式化转换的”需求，具有重要的理论和实践价值。