浅谈如何借助“意外”打造高质数学课堂

张 洁

湖北省大冶市第一中学

在新课改的推动下，数学课堂逐渐向多元化发展，更加关注学生主体作用的发挥，“自主、合作、探究”已成为高效数学课堂不可或缺的三要素，其在数学教学中发挥着不可估量的作用.为了提升数学课堂有效性，使课堂更加高效，教师在数学课堂上需要打破单一的、保守的“讲授式”教学模式，将数学课堂打造成开放的动态课堂[1].为了打造高效动态的数学课堂，在教学中就需要引导学生经历自主学习和合作探究，虽然在此过程中可能会出现一些不确定的因素，但这些“不确定”往往可能就是隐藏的意外惊喜.为此，在教学中，教师要鼓励学生进行交流和探究，使不同思维碰撞出耀眼的火花，彰显数学之美.

为了激发学生的积极性和探究欲，将课堂引入更深处，笔者结合教学中出现的“意外”，浅谈了探究在数学教学中的重要意义，以期共鉴.

1 教学实录

为了加深学生对圆锥曲线与方程的理解，教师在复习阶段结合对下面一道例题的引导，以让学生通过类比进一步实现知识的内化.

例已知两定点F1(-2,0)，F2(2,0)，试分别求满足下列条件的动点P的轨迹E的方程.

(1)|PF1|=|PF2|;

(2)|PF1|+|PF2|=6;

(3)|PF1|-|PF2|=2;

按照课前预设，该过程由小组探究合作完成，探究后学生板演求解过程，借助不同解题思路交流解题经验，进而拓宽思维广度.按照预期学生顺利地完成了预设目标，教师想继续进行下面的复习内容时，听见有几个学生在窃窃私语，他们在讨论满足|PF1|·|PF2|为固定值的动点P的轨迹方程该是什么样子.面对教学中产生的这个“意外”，若教师选择与学生一起探究可能会影响课程计划，不利于教学目标的实现，但若置之不理将抹杀学生探究的积极性，不利于学习能力的提升，为此，教师选择充分利用这次“意外”，让学生通过探究消除疑惑，深化理解[2].

师：我们完成了前面四个题目，有些同学似乎又有新想法，我们一起来听一听.(教师引导学生大胆说出自己的疑惑.)

师：很好！确实我们上面只关注了|PF1|与|PF2|的“和、差、商”，忽视了“积”，那么这样的曲线到底是什么呢？

师：现在大家思考一下|PF1|·|PF2|这个定值该如何表示？其与动点P到定点F1和F2的距离大小又有什么关系？(为了给学生指引探究的方向，教师将探究分成若干小问题，以淡化问题的抽象感，激发学生探究的热情.)

生2：结合问题(2)和问题(3)，设定值为a2，并且将a分成a>2，a=2，a<2三种情况进行比较.

师：很好！那么我们就从特殊值入手，看看从这三种特殊情况中能否发现一般规律.取a=1，2，3这三个特殊值来探究曲线的图形.即|PF1|·|PF2|=12，|PF1|·|PF2|=22，|PF1|·|PF2|=32三种情况.那么我们该如何进行探究呢？

生3：应根据特殊值a=1，a=2，a=3分别求出曲线方程，接下来结合曲线方程的几何性质逐一进行探究.

师：我们常用哪些几何性质来探究呢？

生3：对称性、顶点坐标、x的取值范围等.

师：很好！看来大家已经掌握了研究解析几何的精髓，实现“数”与“形”的相互转化.现在一共三种情况，分三个大组进行探究，探究后请各小组参照表1的要求填写求解结果.(教师根据学生反馈设计了表1，以让学生更好地将各种情况进行类比，进而使计算结果更加清晰明了，便于学生观察和理解.)

表1 曲线的图形与性质

通过小组合作探究，各小组都顺利地求解并绘制出了草图.在关于对称性的探究中，有些学生出现了思维障碍，教师借助师生交流的方式为学生释疑.

师：对于对称性你们是怎么验证的呢？

生4：设点P(x,y)在曲线上，若点P关于x轴对称，则对称点P′(x,-y)也应在曲线上，代入后即可验证曲线是否关于x轴对称.同理，通过该方法还可以进一步验证曲线是否关于y轴和原点对称.

师：很好！我们根据x的取值范围并结合曲线的对称性绘制出了草图，若我们想进一步精确绘制曲线图形还需要知道什么？

生5：需要知道y的范围.

师：那么y的范围如何求解呢？

生6：可以利用求函数值域的思路求解.(生6的思路给出后，学生提出了质疑.)

生7：函数中x值与y值是一一对应的，曲线方程不能满足这一条件，因此其转化不等价，不能这样求解.

师：那该如何实现等价转化呢？

生8：刚刚已经知晓该曲线方程关于x轴，y轴和原点对称，那么我们在求解时可以仅考虑第一象限的图形，第一象限的图形绘制完成后利用对称性完成整个图形的绘制.第一象限的x值与y值显然是一一对应的，这样就可以应用值域的思路求解了.

师：说的太好了！利用曲线方程的对称性完成了函数与曲线方程的转化，这样，我们后期就可以利用研究函数的思路进一步研究曲线.

为了实现特殊向一般的转化，教师引导学生借助曲线方程的一般形式继续探究，其一般形式为[(x+c)2+y2][(x-c)2+y2]=a4(a>0).

探究至此，学生可以结合图形性质绘制出图形.本节课虽然并未按照预期的效果完成预定教学目标，但通过利用“意外”学生收获多多.通过类比探究不仅深化了对知识的理解，在此过程中函数与方程、特殊与一般的转化也应用得淋漓尽致，大大地提升了课堂有效性.

2 教学反思

2.1 让预设与生成同步发展

在教学设计阶段，教师要善于从学生的角度进行思考，预判学生可能提出的问题，从而提前做出教学预案，这样即使课堂中出现一些突发“小意外”时，教师也可以掌控教学方向，统筹全局.当然，只有教师课前精心地做好预设，课上才能及时捕捉这些“小意外”，实现精彩演绎.可见，预设与生成既对立又统一，教学中必须应用好这一对对立统一体，促进多元、动态课堂生成.

2.2 让尊重扎根课堂

教学中要利用好思维差异的优势，多鼓励学生从不同角度提出问题，尊重学生的新想法和新思路，引导学生积极探究，进而达到发散思维、培养创新意识的目的.同时，教师要为学生营造平等、民主的学习氛围，切勿只关注学优生的新思路而对学困生的问题置之不理，久而久之，势必会挫伤学困生的积极性和自信心，不利于实现全员发展.

2.3 让探究贯穿课堂始终

在新课改的推动下，学生的学习模式逐渐实现了由“接受式”向“探究式”的转化，学生的学习模式也由“被动接受”向“主动建构”逐渐过渡，有助于课堂有效性的提升.同时，经历探究使学生敢于联想、勇于质疑、勤于思考，进而使学生的学习态度更加严谨，思维更加灵活，有助于学生自主学习习惯的形成.另外，通过探究，让学生亲身经历知识生成的过程，有助于学生实践能力和创新能力的提升.为此，在教学中，教师要鼓励学生参与探究，去发现、去解决、去反思、去创新，进而使课堂变得生动又高效.

总之，课堂生成性资源是宝贵的教学资源，教师在教学中切勿只追求进度而忽视课堂生成性资源的利用，要鼓励学生进行多角度、全方位地思考，引导其提出有价值的问题，让学生在交流、合作、探究中不断成长，进而培养学生良好的数学品质和数学素养，促进学生综合能力全面提升.