点燃数学史之灯 照亮提素养之路*——以“数列”教学为例

黄力江 夏 宇

安徽省宿城第一中学

1 导语

数学家M·克莱因在《古今数学思想》中提到“历史上数学家遇到的困难，正是学生会遇到的学习障碍，因而数学史是教学的指南”[1].在数学发展过程中，很多概念的形成，定理、公式的发现都不是一蹴而就的，数学家们经过长时间的探索、积累、扩充，才形成教材中这些简洁、漂亮、完备的知识体系.但是这些“冰冷”的知识并不容易被学生理解和接受，“以史为鉴，可以明得失”，如果能把数学史融入课堂教学，利用人的认知过程与数学发展历程的一致性，通过引入数学史让学生了解问题的来源和解决方法的形成，会获得更好的教学效果.下面笔者就以“数列”为例，谈谈对此的认识.

2 案例分析

教材是按照一定的逻辑结构和课标要求编撰的知识体系，编写时舍弃了大量数学概念和方法的形成过程，但这并不利于学生的消化吸收.教师要通过查阅历史文献，进行辨析和筛选，整理出数列发展简史.数列简史的整理，不是碎片化的知识点或历史事件的堆砌，而是按照一定的主线，将所有知识点及其历史有序地组织起来，与数列教学的各个环节相融合.结合数学史提出驱动性问题，从而依次从数列概念的起源阐述“是什么”，从数列的应用解释“为什么”，从数列的发展探究“怎么样”.

2.1 从数列概念的起源阐述“是什么”

数列相关知识点较多，如果将概念、通项公式、性质等直接呈现给学生，学生难免会感觉枯燥乏味，也不明白这些“数字游戏”的意义.通过在教学中追溯数学史中数列的起源，可以激发学生的兴趣和探索欲，从而阐述数列是什么这一基本问题.如：

展示一张月食图片(如图1)，设置情境：大家知道月食是怎样一个过程吗？

图1

师：在地球上看到被太阳照亮部分的月球的不同形象就是月相变化.苏轼词里“人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”也描述着月相的变化.在很早之前就有月相的记载了.通过课件展示巴比伦泥版K90(新亚述时期，公元前7世纪)上记录月相变化的一列数，如表1.

表1 月相变化

古巴比伦人将月盘平均分成240个部分.我们把月亮每天可见的部分按日期顺序排成一列数，代表月亮的变化过程，可得

师：大约公元前1650年，古埃及祭司阿莫斯抄录了一本书(莱茵得纸草书)[2]，里面记载着“问题79”，是一张财产表如图2所示.故事是这样的，一位富人有七间房屋，每间房屋有七只猫，每只猫捉了七只老鼠，每只老鼠吃了七棵麦穗，每棵麦穗上都有七粒麦粒.问房间、猫、老鼠、麦穗、麦粒各有多少？

学生容易回答：7,72,73,74,75.

图2

师：以上情境中的两组数有什么共同特征？

生：都是一列数，并且有一定的次序.

接下来在学生最兴奋的时候引导他们总结出数列的概念.通过有趣的数学史，激发学生的好奇心，达到了很好的教学效果.

2.2 从数列的应用解释“为什么”

数列的发展历程表明数列源于生活，承载着人们生活的方方面面.数学史中数列的广泛应用体现其重要性，从而解决为什么要学习数列的疑惑.如：

师：数列在生活中的应用相当广泛，同学们是否还听说过其他与数列相关的故事呢？

学生可以各抒己见，自由探索.

图3

师：大家有没有玩过汉诺塔游戏？该游戏起源于印度的神话传说，据说上帝创造世界时做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按大小顺序摞着64片黄金圆盘(如图3).上帝命令婆罗门把圆盘同样从下往上按大小顺序重新摆放在另一根柱子上.但在三根柱子之间每次只能移动一个圆盘，而且在小圆盘上不能放大圆盘.据说，这件事完成时，宇宙就会在一瞬间闪电式毁灭.那么，宇宙会闪电式毁灭吗？我们该怎么样去找到答案呢？

生：用数列知识.

师：我们发现，如果只有一片圆盘，最少移动1次；如果两片，需移动3次.以此类推，得到如下数列：1,3,7,……,2n-1.所以，如果有64片圆盘，需移动264-1=184 467 440 737 095 516 15次，即使移动一次只用一秒，也需要大约600亿年呀！

2.3 从数列的发展探究“怎么样”

人的认知过程与数学的发展过程具有一致性，学习数列的发展史，是领悟其中数学思想的有效方式.教师结合数学史，将数列知识的推导演绎过程呈现给学生，让学生亲历知识的发现过程，用自己深刻的体验形成经验，用积极的思维构建知识体系，学会怎么样学习数列，怎么样应用数列.如：

图4

印度泰姬陵是印度莫卧儿王朝的皇帝为他的爱妃所建，传说陵寝中有一个三角形图案(如图4)，以相同大小的圆宝石镶饰而成，奢华漂亮，此图案共100层，每层宝石的个数依次是1,2,3，……，100，正好构成一个等差数列.大家能否计算出一共有多少颗宝石？

多数学生熟知高斯的故事，高斯十岁时用下面的方法迅速算出：1+2+3+……+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=50×101=5 050.

教师再展示图片(如图5)，并给予引导，学生很容易受到启发，通过类比得到解决问题的方法.

图5

S=1+2+3+……+100，

①

S=100+99+98+……+1.

②

①+②，得

2S=(1+100)+(2+99)+……+(100+1)=101×100.

师：类比以上推导过程，你能得到等差数列的前n项和Sn吗？

156＊＊＊＊5491：喜欢一个姑娘 WJY近 12年了，不知道应不应该对她表白。如果能够上墙我就去表白！

生：等差数列的前n项和

Sn=a1+a2+a3+……+an，

③

Sn=an+an-1+an-2+……+a1.

④

由等差数列性质，可得

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……=an+a1.

师：我们把上述方法叫做倒序相加法.再把an=a1+(n-1)d代入，能得到什么形式的公式？

利用泰姬陵的宝石图案引出我们要研究的问题，推导出求和公式.数学史融入课堂，既增添了趣味性，又渗透了数学思想.

3 教学反思

学党史，悟思想，开新局.同样，学习数学史，体会千百年来沉淀下来的理性智慧，不仅有助于新知的探索，更有助于数学素养的提升.下面，笔者结合教学实践对数学史融入课堂教学谈一些感悟.

3.1 “学史明理”，数学史是思想方法的重要载体

要深刻领会数学知识中蕴含的数学思想，学生需要发现、探索数学知识的形成过程，查阅相关数学史，然后在驱动性问题探索活动中提高自主学习能力、内化数学思想[3].比如，在等比数列求和教学中，除了用错位相减法外，还可以介绍古希腊数学家欧几里得《几何原本》中用合比定理推导等比数列求和公式的方法.一段数学史本身也是一种思想方法的体现.结合数学史教学，学生更能明白所学知识的道理，把握其丰富内涵.

3.2 “学史增信”，数学史是高效课堂的重要工具

数学概念不仅抽象，还往往具有丰富的起源“背景”.教师可以在数学史中找到我国相关数学知识发展的重要历史事件和数学家的趣事等史料并将其添加到数学教学中.比如,在等差数列的教学中，教师可以引用《周髀算经》中“七衡图”的例子.这样不仅让课堂高效，还可以增强学生的民族自豪感和社会责任感，提升文化自信.

3.3 “学史崇德”，数学史是德育价值的重要体现

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》指出：“数学是人类文化的重要组成部分.数学课程应适当反应数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神.”历史上，数学家为了论证某个结论通常会花费大量的时间，经历巨大的困难与挫折，但是他们依然孜孜不倦，上下求索，这种精神是值得学习的.

3.4 “学史力行”，数学史是高考评价的重要形式

教育部考试中心发布的《中国高考评价体系》由“一核”“四层”“四翼”组成，其中“四翼”指高考的考查要求为“基础性、综合性、应用性、创新性”.数学文化是高考的热点，数学史是数学文化的重要组成部分.数学史正是反映了“应用性、创新性”的考查要求，因此在教学中，教师应力所能及地介绍数学史中的问题，这不仅符合高考的要求，而且有利于学生数学素养的提升.

4 结束语

数学史融入课堂教学可以让课堂更加生动、有趣，激发学生的好奇心.按照一定的主线，将数学知识与相关数学史结合，不断提出驱动性问题，从而促使学生层层递进，一步一步深入探索数学知识.这样，数学史把对知识的感知、理解、巩固、应用融为一体，很好地呈现了知识的生成过程，加深学生对知识的理解.学生在学习知识的同时感受前人的智慧，努力培养自己的务实和理性精神，从而不断地提升数学素养.