创新解题方法 培养创新能力——以一道比较大小的选择压轴题为例

操厚亮

湖北随州二中

《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出“四能”,即发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力的总目标.数学中的创新往往始于问题，发现问题是创新的基础.数学家们常说：发现问题往往比结论更重要.因此，教师应适时、适度引导学生发现、提出一些数学问题，进而分析和解决问题，培养学生的数学学科核心素养和创新能力.

1 试题呈现

A.a

C.a

2 观察发现问题，不断创新解法，培养创新能力

2.1 观察发现1

观察四个数，不难发现0.1这个数高频出现，可以尝试构造函数，自变量x在包含0.1的一个区间内，如果这些函数在该区间内大小关系确定，那么在x=0.1处的函数值大小关系也确定.这体现了数学中的一种共性与个性的关系，一般与特殊的数学思想方法.

解法一：构造函数+放缩法.

故d(0.1)-b(0.1)>d(0)-b(0)=0,即d>b.

f′(x)=ex(cos2x-sin 2x)

=ex(-sin2x-sin 2x+1).

设g(x)=x-sinx,则g′(x)=1-cosx≥0,从而g(x)=x-sinx为增函数.

所以x∈[0,0.1]时，g(x)≥g(0)=0,即x≥sinx.

故f′(x)≥ex(-x2-2x+1)=ex[-(x+1)2+2],当x∈[0,0.1]时f′(x)>0,f(x)=excos2x-1为增函数,有f(x)≥excos20-1=0,从而当x∈[0,0.1]时,y=b(x)-c(x)为增函数.

故b(0.1)-c(0.1)>b(0)-c(0)=0,即b>c.

综上，d>b>c>a.

2.2 观察发现2

由解法一不难发现，上述构造的这些函数是常见的函数，借助图象，观察图象的上下关系进而比较数值间的大小关系，优化解法一则得下面的解法二.

解法二：图象+构造函数+放缩法.

图1

设f(x)=sinx-(ex-1)cosx，则

f(0)=0，f′(x)=(ex-1)(sinx-cosx).

于是tanx

故a

2.3 观察发现3

由解法二不难发现，这些构造的函数图象比较相似，接近幂函数在区间(0，1)上的图象，由此联想泰勒展公式的功能，可以借助泰勒展开式来估算.

推荐理由:本书辑录了著名经济学家厉以宁从中国改革开放至今的40篇代表性论文，篇目由厉以宁先生亲自审定。内容主要涉及中国经济体制改革，中国在经济发展过程中的探索与创新，中国经济的机遇与挑战，中国的农业、工业改革，以及与经济发展密切相关的教育、管理等方面的见解。这些文章都是厉以宁对中国经济发展时期的精辟论断，是他对中国经济自改革开放以来40年的不间断思考与研究精华，对中国今后的经济改革与发展具有重要的启示意义。

评：本题还可以用[2,2]阶帕德逼近来比较大小，但帕德逼近相对泰勒展开式来讲是一种精度更高的分式函数逼近，此处略去.有兴趣的读者可自行研究.

2.4 观察发现4

继续观察构造的这些函数的图象，不难发现，这些函数在0处的函数值均相同，不同的是其增长速度快慢有别.那么通过增长速度的快慢比较大小是一种创新的解法，到此完美突破难点.

解法四：研究函数在x=0处的增长速度，通过增长速度快慢比大小.

设g(x)=ex-1，则b=g(0.1).

设h(x)=tanx，则c=h(0.1).

又f(0)=g(0)=h(0)=k(0),

所以d最大.

又f″(0)≤h″(0)≤g″(0)，所以a

综上可知，d>b>c>a.

3 巩固提高

A.a

C.c

A.a

C.c

C.x>yD.2ex>y

答案：(1)C； (2)B； (3)D.

4 结束语

众所周知，比较大小的试题每年高考都有出现，尤其是近两年，精度越来越高，难度越来越大，方法越来越灵活多样.作差、作商、插值，以及简单的构造函数利用单调性比较已经不能解决变化着的新问题.如何快速突破此类问题刻不容缓，必备基本功除了不等式的性质、基本不等式，还需要熟悉常见的不等式，如，糖水不等式、对数糖水不等式、泰勒展开式(函数不等式：切线放缩、曲线放缩等)，了解帕德逼近等知识.对本道题而言，容易想到的方法是构造函数作差求最值比较大小，体现了一般到特殊的思想方法，对用导数的方法研究最值和计算求解能力要求较高，而用泰勒展开式和帕德逼近来估算的话，思维降维了，但站位较高，这些都是高等数学里的知识.但通过函数在某点处的增长速度来比较大小确实是一种创新解法，学生易接受.

在函数与导数教学与学习的过程中，对一些难题，应微专题分析，引导学生观察发现问题，不断创新解题方法，进而培养学生的探究与创新精神.Z