环的finitistic 内射维数

熊涛

(四川文理学院数学学院, 四川 达州 635000)

1 引言

本文恒设R是有单位元的交换环,n是非负整数. 对R- 模N, 分别用idRN,pdRN和fdRN表示模N的内射维数, 投射维数和平坦维数. 用E(N) 表示N的内射包. 用In(或Fn) 表示内射维数(或平坦维数) 不超过n的R- 模类,用gl.dim(R)(或w.gl.dim(R)) 表示R的整体维数(或弱整体维数). 对于未解释的概念和符号, 可参考文献[1-2].

自从巴斯在文献[3] 中引入finitistic 内射维数

以来, 它就在环刻画中发挥了重要作用, 因而也受到了广泛关注. 例如文献[3] 中的定理7.1 和推论7.14 证明了, 环R有FID(R)=0 当且仅当每个内射R- 模E都是某个投射模的子模M的内射包, 即E=E(M); 当且仅当每个内射R- 模E都同构于R的一些主理想Pi直和的内射包, 即E=E(⊕Pi); 当且仅当每个R- 模M≠0 都存在子模0≠N

在经典同调理论中, 环R的整体维数是所有模的投射维数(或者内射维数) 的上确界; 弱整体维数w.gl.dim(R) 是模的平坦维数的上确界. 在相对同调理论中, 环R的Gorenstein 整体维数也是所有模的Gorenstein 投射维数的上确界, 或者Gorenstein内射维数的上确界; Gorenstein 弱整体维数是所有模的Gorenstein 平坦维数的上确界.然而, 环的有穷内射维数FID(R) 不是像经典同调理论和相对同调理论那样, 建立在整个R- 模范畴上, 而是建立在内射维数有限的子范畴上. 对任给一个模M, 在判定其内射维数是否有限时, 存在技术上的困难.

已知, 经典的同调维数, 比如整体维数, 弱整体维数, 均有换环定理, 也能利用环的元素,理想等来刻画环的内部结构. 比如,环R满足gl.dim(R)≤1(或w.gl.dim(R)≤1)当且仅当它的每个理想是投射(或平坦) 理想. 相对同调理论中的Gorenstein 整体维数和Gorenstein 弱整体维数, 也有对应的结论, 此处不再赘述.

因此, 迫切地希望作为一种同调维数的FID(R) 能像经典同调理论中的整体维数和弱整体维数那样能够利用环的元素, 理想等来刻画环的内部结构, 能够给出换环定理.这需要利用一种新的度量工具来精确计算FID(R), 并且要保证这种度量工具不能局限在内射维数有限的子范畴上. 换言之, 需要找到一种建立在整个R- 模范畴上的同调计算方法来计算FID(R).

文献[3] 还引入了环R的finitistic 平坦维数

和finitistic 投射维数

要用同调的方法刻画FFD(R) 和FPD(R), 同样也遇到上述类似困难的困扰. 不过, 文献[4] 借助文献[5] 中提出的n- 无挠模的概念, 定义一种模的n- 无挠分解及相应的n- 无挠维数及环R的n- 无挠弱整体维数, 给出了FFD(R) 的同调刻画; 文献[6]借助模的n- 余挠分解及相应的n- 余挠维数, 以及环R的n- 余挠整体维数, 给出了FPD(R) 的同调刻画. 本文延续上述思路, 借助文献[4] 中的n- 投射模等概念,引入了环R的n- 投射整体维数n-gl.dim(R), 并证明了环R有FID(R) ≤n当且仅当(n+1)-gl.dim(R)≤n,通过该结果,将对FID(R)的计算转换成对(n+1)-gl.dim(R)的计算.

2 n - 投射模与整体n - 投射维数

定义2.1[4](1)R- 模Q称为n- 投射模, 是指对任何内射维数不超过n的模H,都有Ext1R(Q,H)=0;

(2) 设M是R- 模.M的n- 投射维数m≥0, 记为n-pdRM≤m, 是指存在这样的最小整数m, 满足序列

是正合列, 这里每个Qi是n- 投射模. 如果这样的m不存在, 则记n-pdRM=∞.

自然地, 任何R- 模都是0 - 投射模. 对任何整数n≥1, 投射R- 模都是n- 投射模, 反之未必成立. 为了举出反例, 回顾如下概念: 称模M为n- 合冲模, 是指存在正合列

其中P0,P1,··· ,Pn-1是投射模, 换言之,M是某个模X的第n-1 次合冲.

命题2.1(1)n- 合冲模是n- 投射模. 从而对任何模M与任何非负整数n, 都有n-pdRM≤n.

(2) 若m≥n, 则m- 投射模一定是n- 投射模.

证明(1) 设M是n- 合冲模, 则有正合列(2) 式. 设H∈In, 则有

因此,M是n- 投射模.

(2) 由In⊆Im即得.

现在给出n- 投射模不是投射模的例子.

例2.1设Q 是有理数域,x,y是Q 上的未定元, 构造整环R= Q[x,y]. 取R的由正则序列a1,a2生成的理想J, 则pdRJ= 2. 由正合列0 →J→R→R/J→0知J是1 - 投射模. 显然J不是投射模.

命题2.2对R- 模Q, 以下陈述等价:

(1)Q是n- 投射模;

(2) 对任何H∈In, 任何整数k≥1, 都有ExtkR(Q,H)=0;

(3) 任何正合列0 →A→B→Q→0, 其中A∈In, 是分裂的;

(4) 设0 →A→B→C→0 是正合列, 其中A∈In, 则序列是正合列.

证明(2)⇒(1)⇔(3)⇔(4) 是显然的, 只证(1)⇒(2).

由定义2.1 可得Ext1R(Q,H) = 0. 现设k> 1. 设0 →H→E→C→0 是正合列, 这里E是内射模. 则ExtkR(Q,H)=(Q,C) 成立. 注意,C∈In, 故对k用归纳法, 可得ExtkR(Q,H)=0.

定理2.1设0 ≤m≤n. 则对R- 模M, 以下陈述等价:

(1)n-pdRM≤m;

(2) 对任何H∈In, 都有(M,H)=0;

(3) 对任何H∈In, 及i≥1, 都有(M,H)=0;

(4) 设0 →Qm→Qm-1→Qm-2→··· →Q0→M→0 是正合列, 其中Q0,Q1,··· ,Qm-1是n- 投射模, 则Qm是n- 投射模.

(5) 设0 →Qm→Qm-1→Qm-2→··· →Q0→M→0 是正合列, 其中Q0,Q1,··· ,Qm-1是投射模, 则Qm是n- 投射模.

证明(3)⇒(4)⇒(5)⇒(1) 是显然的, 下证(1)⇒(2).

由于n-pdRM≤m, 故有正合列(1), 其中每个Qi是n- 投射模. 从而对每个H∈In,

(2)⇒(3). 对任何H∈In, 存在正合列0 →H→E→C→0, 其中E是内射模.显然C∈In, 故有对i用归纳法即可得证.

现在给出环的n- 投射整体维数.

定义2.2对环R, 称gl.dimn(R) = sup{n-pdRM|M是R- 模} 为环R的整体n- 投射维数.

由命题2.1, 以下命题是显然的.

命题2.3对任何环R, 总有

(1) gl.dimn(R)≤n, 于是gl.dimn(R) 一定是有限非负整数;

(2) gl.dimn(R)≤gl.dim(R);

(3) 若n≤m, 则gl.dimn(R)≤gl.dimm(R).

定理2.2设0 ≤m≤n. 对环R, 以下陈述等价:

(1) gl.dimn(R)≤m;

(2) 对任何M∈In, 都有n-pdRM≤m;

(3)In=Im;

(4) 对R的任何理想I,n-pdRR/I≤m;

(5)In⊆Im.

证明(1)⇒(2). 显然.

(2)⇒(4). 设I是R的理想. 由文献[7] 可知, (⊥In,In) 是完备的余挠理论, 故存在正合列0 →R/I→E→C→0, 其中E∈In,C是n- 投射模. 由条件,n-pdRE≤m,故对任何H∈In, 由定理2.1 和命题2.2, 有正合列

(4)⇒(5). 设H∈In. 则由定理2.1 有(R/I,H) = 0. 故idRH≤m,即H∈Im. 故In⊆Im成立.

(5)⇒(3). 显然有Im⊆In. 故(3) 成立.

(3)⇒(1). 设M是任何R- 模. 对任何H∈In, 由于In=Im, 故idRH≤m, 从而有ExtmR+1(M,H)=0. 仍由定理2.1,n-pdRM≤m. 故gl.dimn(R)≤m.

推论2.1gl.dimn(R)=sup{n-pdRR/I|I是R的理想}.

现在给出环R的FID(R) 和gl.dimn(R) 的关系.

定理2.3对环R, 以下陈述等价:

(1) FID(R)≤n;

(2) gl.dimn+1(R)≤n;

(3) FID(R)=gl.dimn(R);

(4) 对任何正整数m≥n, 都有gl.dimm(R)≤n;

(5) 对任何正整数m≥n, 都有gl.dimm(R)=FID(R).

证明记k=FID(R),s=gl.dimn(R). 则由命题2.3, 可得s≤n.

(1)⇒(3). 由条件,k≤n. 设H∈In, 自然有idRN<∞. 由条件,k=FID(R)≤n成立, 故idRN≤k, 从而有In⊆Ik. 由定理2.2,s=gl.dimn(R)≤k. 设N是R- 模,且idRN<∞. 则还由条件, FID(R)≤n成立,N∈In. 故由定理2.2, 有N∈In=Is.故k=FID(R)≤s. 因此得到FID(R)=gl.dimn(R).

(3)⇒(2). 设H∈In+1. 由假设, FID(R) = gl.dimn(R) ≤n, 从而有H∈In.故In+1=In. 由定理2.2 可得gl.dimn+1(R)≤n.

(2)⇒(1). 设N是R- 模, 且t:=idRN<∞. 若t>n, 为导出矛盾, 不失一般性,设t=n+1. 于是N∈In+1. 由于gl.dimn+1(R) ≤n, 引用定理2.2 有In+1=In, 从而有idRN≤n, 矛盾. 故t≤n, 从而有FID(R)≤n.

(1)⇒(4). 设N∈Im. 由假设, idRN≤n. 从而有In=Im. 由定理2.2, 可得gl.dimm(R)≤n.

(4)⇒(2). 显然.

(3)⇒(5). 由条件, FID(R) ≤gl.dimm(R) ≤n. 由定理2.2,Im=In, 因此有gl.dimm(R)=gl.dimn(R)=FID(R).

(5)⇒(3). 取m=n即得.

注2.1在已知FID 有限的条件下来计算环的FID 时, 从原始定义需要考虑内射维数有限的子范畴. 在实际操作中, 判定模H是否满足idRH<∞时有一定困难. 由定理2.3, 可以选择充分大的正整数m, 通过计算gl.dimm(R) 来得到FID.

回顾模M称为无挠模, 是指由ux= 0, 其中x∈M,u是R的非零因子, 能推出x= 0. 等价地, 对R的任何非零因子u, 有TorR1(M,R/uR) = 0. 再回顾文献[5]中将M称为n- 无挠模, 是指对任何N∈Fn, 都有TorR1(M,N) = 0. 显然若n> 0,则n- 无挠模都是无挠模. 对给定的模N, 记其特征模Hom(N,Q/Z) 为N+.

命题2.4(1) 设n≥1,M是n- 投射模, 则M是n- 无挠模, 从而是无挠模;

(2) 设n-pdRA=m, 则存在n- 投射模M, 且M∈In, 使得ExtmR(A,M)≠0.

证明(1) 设N∈Fn, 则N+∈In. 由于M是n- 投射模, 故

于是有TorR1(M,N)=0, 故M是n- 无挠模.

(2) 由n-pdRA=m, 则存在H∈In, 使得ExtmR(A,H)≠ 0. 由于(⊥In,In)是完备的余挠理论, 故有正合列0 →B→M→H→0, 其中M是n- 投射模,B∈In. 于是还有M∈In. 由于ExtmR(A,H)≠ 0,(A,B) = 0, 以及正合列ExtmR(A,M)→ExtmR(A,H)→(A,B)=0, 故ExtmR(A,M)≠0.

命题2.5设0 →A→B→C→0 是正合列, 则有

(1)n-pdRC≤1+max{n-pdRA,n-pdRB};

(2) 设n>0. 若B是n- 投射模,C是(n-1) - 投射模, 则A是n- 投射模.

证明(1) 不妨假定上式右端是有限值. 设n-pdRA≤m,n-pdRB≤m. 对任何N∈In, 由定理2.1, 有正合列

(2) 设N∈In, 0 →N→E→L→0 是正合列, 其中E是内射模. 则L∈In-1.则有正合列0 = Ext1R(B,N) →Ext1R(A,N) →Ext2R(C,N) →Ext2R(B,N) = 0. 于是有Ext1R(A,N)=Ext2R(C,N)=Ext1R(C,L)=0. 故A是n- 投射模.

命题2.6设M是R- 模.

(1) 若n-pdRM≤m, 则对任何N∈Fn有(M,N)=0;

(2) 设R是凝聚环,M是有限表现模. 若对任何N∈Fn有(M,N) = 0,则n-pdRM≤m.

证明(1) 由N+∈In与自然同构即得.

(2) 设N∈In. 则有正合列0 →N→E0→···→En-1→En→0, 其中每个Ei是内射模. 从而0 →E+n→→··· →E+0→N+→0 也是正合列. 由于R是凝聚环, 由文献[8], 每个E+i是平坦模. 从而N+∈Fn. 由假设, 有(M,N+)=0.再由文献[8],从而由定理2.1 有n-pdRM≤m.

对n≥1, 现在看什么时候每个n- 投射R- 模是投射模.

定理2.4对环R, 则gl.dim(R)≤n当且仅当每个n- 投射R- 模是投射模.

证明设gl.dim(R) ≤n. 设M是n- 投射R- 模,H是任意R- 模. 由假设,idRH≤n, 故Ext1R(M,H) = 0, 即M是投射模. 反之, 对任何R- 模M, 考虑正合列0 →K→Pn-1→Pn-2→···→P0→M→0, 其中每个Pi是投射模. 由命题2.1(1),K是n- 投射模. 由假设,K是投射模, 故pdRM≤n. 从而有gl.dim(R)≤n.

3 finitistic 内射维数的换环定理

这一节, 先给出n- 投射维数的换环定理, 进而给出FID(R) 维数的换环定理.

定理3.1设ϕ:R→T是环同态,m=fdRT<∞. 若M是(n+m) - 投射R-模,则是n- 投射T- 模.

证明设N是T- 模, 且idTN≤n. 由内射维数换环定理可知idRN≤n+m. 由假设, Ext1R(M,N)=0 成立. 设0 →N→E→C→0 是T- 模正合列, 其中E是内射T- 模. 则有如下两行是正合列的交换图

这里X是上核. 由相伴同构定理, 以及对所有T- 模Y, 都有HomT(T,Y)=Y.故左端两个垂直箭头是同构. 因此有θ是单同态. 由于Ext1R(M,N) = 0, 故有即是n- 投射T- 模.

推论3.1(1) 设M是n- 投射R- 模, 则M[x] 是n- 投射R[x] - 模;

(2) 设S是R的乘法封闭集,M是n- 投射R- 模, 则MS是n- 投射RS模;

(3) 设a是R中心的元素, 且既不是零因子也不是单位. 如果M是n- 投射R-模, 且u不是M的零因子, 则M/uM是(n-1) - 投射R/uR- 模.

证明在定理3.1 中分别令R=R[x],T=RS与T=R/uR即得.

引理3.1设ϕ:R→T是环同态, 且T作为R- 模是n- 投射模.

(1) 设N∈In(R), 则idTHomR(T,N)≤n;

(2) 若L是n- 投射T- 模, 则L也是n- 投射R- 模.

证明(1) 设0 →N→E0→E1→···→En-1→En→0 是N的内射分解. 由于T是n- 投射R- 模, 故对任何i>0, 有ExtiR(T,N)=0, 因此

是正合列. 故idTHomR(T,N)≤n.

(2) 设N∈In(R). 设0 →N→E→C→0 是正合列, 其中E是内射R- 模. 由于T是n- 投射R- 模, 故

是正合列. 由(1) 有idTHomR(T,N)≤n. 由于L是n- 投射T- 模, 则有

考虑下面的两行是正合列的交换图:

由相伴同构定理, 左端两个垂直箭头是同构, 从而右端垂直箭头是同构. 因此有Ext1R(L,N)=0, 故L作为R- 模是n- 投射模.

定理3.2设ϕ:R→T是环同态,T作为R- 模是n- 投射模. 设L是任何T-模, 则n-pdRL≤n-pdTL成立.

证明记k=n-pdTL. 则有正合列0 →Fm→Fm-1→···→F1→F0→L→0,其中F0,F1,··· ,Fm-1,Fm是n- 投射T- 模. 由引理3.1(2) 知n-pdRL≤n-pdTL.

引理3.2设n>0,u∈R是非零因子非单位元素,=R/(u).

(1) 设P是u- 无挠模. 若P∈In(R), 则/uP≤n-1;

(2) 设Q是(n-1) - 投射- 模,≤n-1. 则存在n- 投射R- 模P,idRP≤n, 使得Q是P/uP的直和加项.

证明(1)对任何- 模A, 由Rees 定理, 有故/uP≤n-1.

(2) 由于(⊥In,In) 是完备的余挠理论, 故有正合列0 →B→P→Q→0, 其中P是n- 投射模,B∈In(R). 由内射维数的换环定理, idRQ≤+1 ≤n. 因此有idRP≤n. 由uQ=0 知uP⊆B. 则有正合列0 →uP/uB→B/uB→B/uP→0.由(1) 与命题2.4,uB≤n-1. 由于uP/uB=P/B=Q, 且≤n-1,故/uP≤n-1. 由于0 →B/uP→P/uP→Q→0 是正合列, 且Q是(n-1) -投射- 模, 故此正合列分裂, 从而Q是P/uP的直和加项.

推论3.2设u∈R是非零因子非单位元素,=R/(u). 设A是- 模,且m=<∞. 则idRA≥m.

证明由于A不是内射R- 模, 故m= 0,1 时已有idRA≥m. 设m> 1,0 →A→E→C→0 是正合列. 其中E是内射- 模. 于是=m-1. 由归纳假设, idRC≥m-1. 由文献[9], idRE=1, idRA=idRC+1 ≥m.

定理3.3设n>0,u∈R既不是零因子也不是单位, 记=R/(u). 则有

(1) 设A是- 模, 则n-pdRA=(n-1)-+1;

(2) gl.dimn(R)≥gl.dimn-1()+1;

(3) FID(R)≥FID()+1.

证明(1) 记m=(n-1)-. 由命题2.4 中(2), 存在(n-1) - 投射R- 模Q,使得Q∈In-1(), 且(A,Q)≠0. 由引理3.2 中(2), 存在n- 投射R- 模P, 使得idRP≤n,且Q是P/uP的直和加项.由于由Rees定理,从而有k:=n-pdRA≥m+1.

若k>m+1, 即k-1 >m, 仍由命题2.4, 则存在n- 投射模F,F∈In(R), 使得ExtkR(A,F)≠ 0. 由引理3.2 中(1),再次引用Rees 定理, 得到(A,F/uF)≠0. 故m≥k-1, 矛盾. 因此有k=m+1.

(3) 不妨设m:= FID(R) < ∞. 先证明否则存在- 模An,使得由推论3.2, idRAn≥n, 从而有FID(R)=∞, 矛盾. 故可选取充分大的n, 使得n>m,k. 由定理2.3, gl.dimn(R)=FID(R)=m, gl.dimn-1()=k. 由(2)得到m≥k+1.

设x1,x2,··· ,xm是未定元. 众所周知, 环的整体维数和弱整体维数都有所谓的合冲定理, 即有

在文献[9] 的定理3.10.3 和文献[4] 的命题3.5 中分别指出环的finitistic 投射维数FPD(R) 和finitistic 平坦维数FFD(R) 也有合冲定理. 下面来证明关于FID(R) 的合冲定理.

引理3.3设M是R- 模. 则有n-pdR[x]M[x]≤n-pdRM.

证明记m=n-pdRM, 则存在正合列

其中每个Pi是n- 投射R- 模. 由正合列

与推论3.1 可得n-pdR[x](M[x])≤m.

引理3.4设FID(R)<∞, 则FID(R[x])<∞.

证明记m=FID(R). 设N是R[x] - 模, idR[x]N<∞. 由文献[9] 的习题3.14,每个内射R[x] - 模也是内射R- 模, 故idRN≤m. 首先设N是x- 可除模. 则由正合列0 →R[x]→R[x]→R→0 得到正合列

设0 →N→E0→E1→···→Em-1→Em→0 是N的R- 内射分解. 由于R[x] 是自由R- 模, 则正合列

是HomR(R[x],N) 的内射R[x] - 分解. 于是有idR[x]HomR(R[x],N) ≤m. 由正合列0 →N→HomR(R[x],N)→HomR(R[x],N)→0 得到idR[x]N≤m+1.

现在考虑一般情形. 设0 →N→E→N1→0 是正合列, 其中E是内射R[x] -模. 于是N1是x- 可除模, 且idR[x]N1≤m+1. 从而有idR[x]N≤m+2.

定理3.4设R是交换环,x1,··· ,xm是R上的未定元. 则

证明只须证明m= 1 时, 结论成立即可. 设s:= FID(R) < ∞. 由引理3.4,t:=FID(R[x])<∞. 取充分大的n>Max{s,t}. 则由定理2.3, 有

由定理3.3, gl.dimn+1(R[x])≥gl.dimn(R)+1. 从而t≥s+1. 现在设M是R[x] - 模,由文献[2] 的引理9.29, 有R[x] - 模正合列0 →M[x]→M[x]-→M→0. 由引理3.3和命题2.5, (n+1)-pdR[x]M≤1+(n+1)-pdR[x]M[x] ≤1+(n+1)-pdRM≤1+s.故gl.dimn+1(R[x])≤1+s, 从而t≤s+1. 因此可得FID(R[x])=FID(R)+1.

若R是Noether 环, 则环R的整体维数有如下的局部化表现:

下面来证明, Noether 环的FID(R) 维数也有局部化表现.

引理3.5设R是凝聚环,M是有限表现R- 模. 则有

证明设n-pdRM=k, sup{n-pdRmMm| m 取遍R的全部极大理想} =s. 由命题2.6, 存在R- 模N, 满足fdRN≤n, 且TorRk(M,N)≠0. 由于

定理3.5设R是Noether 环. 则有

证明由于R是Noether 环, 则有限生成模是有限表现模. 由引理3.5 与推论2.1即得.

4 finitistic 内射维数对环的刻画

本节沿用经典同调代数中的分别称满足gl.dim(R) = 0 与gl.dim(R) ≤1 的环为半单环和遗传环, 称遗传整环为Dedekind 整环的做法, 也分别称满足FID(R) = 0与FID(R) ≤1 的环为finitistic 半单环和finitistic 遗传环, 称finitistic 遗传整环为finitistic Dedekind 整环. 先来刻画finitistic 半单环.

定理4.1对环R, 以下陈述等价:

(1)R是finitistic 半单环;

(2) gl.dim1(R)=0, 即每个R- 模是1 - 投射模;

(3)I1=I0.

证明由定理2.3 可得.

半单环是finitistic 半单环. 反之未必成立. 下面将举出反例. 回顾环R称为QF 环是指每个投射R- 模是内射模.

命题4.1所有的QF 环是finitistic 半单环.

证明设R是QF 环, 且设M是R- 模满足M∈I1, 则存在正合列是正合列, 这里E0,E1是内射模. 由文献[10] 的定理5.3,E1是投射模. 则该正合列是分裂的. 从而M是内射模, 即M∈I0. 由定理4.1 和定理2.3,R是finitistic 半单环.

例4.1设R= Z4, 这里Z 是整数集合. 则R是QF 环. 由命题4.1, 故R是finitistic 半单环. 由于gl.dim(R)=∞, 故R不是半单环.

众所周知, 整环R是半单环当且仅当它是域. 事实上, 也有

定理4.2整环R是finitistic 半单环当且仅当它是域.

证明充分性是显然的. 现在设R是finitistic 半单整环. 则FFD(R) = 0. 由文献[11] 的定理4.2 可得R是域.

现在来刻画finitistic 遗传环和finitistic Dedekind 整环. 运用定理2.3 得如下定理:

定理4.3对环R, 以下陈述等价:

(1)R是finitistic 遗传环;

(2) gl.dim2(R)≤1, 即2 - 投射模的子模是2 - 投射模;

(3) 投射模的子模是2 - 投射模;

(4) 若N∈I2, 则有idRN≤1;

(5)R的每个理想I是2 - 投射模.

众所周知, 经典同调理论中, 整环R是Dedekind 整环当且仅当对每个非单位0≠u∈R, 都有R/(u) 是半单环. 对于finitistic 内射维数, 也有如下定理.

定理4.4整环R是finitistic Dedekind 整环当且仅当对每个非单位0≠u∈R,都有R/(u) 是finitistic 半单环.

证明由定理3.3 可得必要性. 下证充分性. 设I≠0 是R的理想. 记M=R/I.取0≠u∈I, 记=R/uR. 则uM= 0, 且M是- 模. 由定理4.1, 1-= 0.由定理3.3 中(1) 证明过程可得2-pdRM≤1, 即I是2 - 投射模. 运用定理4.3 可得FID(R)≤1. 故R是finitistic Dedekind 整环.

已知, 遗传环是凝聚环, 但凝聚环未必是遗传环. 事实上, 凝聚环也未必是finitistic遗传环.

例4.2构造环R=Z[x], 这里Z 是整数集,x是Z 上的未定元. 显然,R是凝聚整环. 如果R是finitistic Dedekind 整环, 则由定理4.4 可得R/xR是finitistic 半单环. 而Z=R/xR. 故由定理4.2 可知Z 是域. 这显然是个矛盾. 所以R不是finitistic Dedekind 整环.

事实上, finitistic 遗传环也未必是凝聚环.

例4.3构造环R=Q+XR[[X]]. 则R是finitistic Dedekind 整环. 由于

故由文献[12] 的定理4.11 可知R不是凝聚环.

凝聚的finitistic 遗传环也未必是Noether 环.

例4.4设R满足gl.dim(R) ≤2 的伞环,P是R的非有限生成的极大理想,取0≠a∈P. 则R/(a) 是满足FID(R)≤1 的非Noether 的凝聚环.

现在来看Krull 维数和FID(R) 的关系.

定理4.5设R是Noether 环. 则FID(R) ≤dim(R). 故一维Noether 环都是finitistic 遗传环.

证明设dim(R) =m≥0. 取n>m, 设N∈Fn. 由Jensen 引理[13],fdRN≤pdRN≤m. 于是对任何R- 模M,(M,N) = 0. 然后，由命题2.6,n-pdRM≤m. 于是有FID(R)=gl.dimn(R)≤m.

一般情况下, FID(R) 与FPD(R) 并无确定的大小关系. 但在Noether 环条件下,借助定理4.5, 可得如下推论:

推论4.1设R是Noether 环, 则FID(R)≤FPD(R).

环R是完全环是指每个R- 模都有投射盖, 等价地, 每个平坦R- 模是投射模. 文献[14] 证明了R是完全环当且仅当FPD(R) = 0, 满足FPD(R) = 1 的凝聚整环R是Noether 环. 结合推论4.1, 有如下命题:

命题4.2R是满足FPD(R) ≤1 的凝聚整环. 则R是Noether 的finitistic Dedekind 整环.

并非所有凝聚环都有FPD(R)≤1.

例4.5设X是Q 上的未定元. 构造环R=Z+XQ[X]. 则由文献[12]的命题4.4和定理4.12 可知R是非Noether 的凝聚整环.故R不是APD 整环.从而FPD(R)≤1不成立.

满足FPD(R)≤1 的环也未必是凝聚环.

例4.6设C 是复数域,X是C 上的未定元. 构造环R= Q+XC[X]. 由于C是Q 的扩域, 故R是APD 整环, 自然满足FPD(R)≤1. 但由于[C:Q]=∞, 则由文献[12] 的定理4.11 可得R不是凝聚环.

遗传环是finitistic 遗传环, 但finitistic 遗传环未必是遗传环.

例4.7构造Gorenstein Dedekind 整环R= Q[x,y]/(x2+2y2) 如文献[15] 的例3.10, 这里Q 是有理数域,x,y是Q 上的未定元. 由于R是Gorenstein Dedekind整环, 自然有FID(R)≤1. 由于R不是整闭整环, 故gl.dim(R)=∞.

满足gl.dim(R)=∞的finitistic 遗传环R也未必是整环.

例4.8构造QF环R=Z4如例4.1. 显然,R不是整环.

并非所有满足gl.dim(R)=∞的环都是finitistic 遗传环.

例4.9构造环如R=Z4[X,Y], 这里X,Y是环Z4的未定元. 则gl.dim(R)=∞.但是, FID(R)=2.

也并非所有满足gl.dim(R)<∞的环都是finitistic 遗传环.

例4.10设C 是复数域,X,Y是C 上的未定元, C(X,Y) 是多项式整环C[X,Y]的商域,Z是C(X,Y) 上的未定元. 则m=(Z) 是C(X,Y) 的极大理想. 构造环

则gl.dim(R1)=3. 从而FID(R1)=3.

现在来刻画满足FID(R) ≤1 的凝聚整环. 称R- 模D为可除模, 如果对任何a∈R, 有Ext1R(R/aR,D) = 0; 称R- 模M为h- 可除模, 如果存在正合列E→M→0, 这里E是内射模. 注意, 内射模和h- 可除模都是可除模. 称R-模M是无挠模是指对x∈M及非零因子非单位a∈R, 能由ax= 0 推出x= 0. 注意, 平坦模是无挠模.

定理4.6对凝聚整环R, 以下陈述等价:

(1)R是finitistic Dedekind 整环;

(2) 如果A是可除R- 模满足idRA<∞, 则A是内射模;

(3) 如果A是可除R- 模满足idRA≤1, 则A是内射模.

证明(1)⇒(2). 设A是可除模满足idRA< ∞. 对任意的0≠a∈R, 由文献[2] 的定理9.5, TorR1(R/aR,A+)= Ext1R(R/aR,A)+= 0 成立, 故A+无挠模. 则存在正合列这里每个Ki=K. 则序列0 →C+→B+→A++→0 正合. 由假设,n= idRA< ∞, 故存在正合列0 →A→E0→··· →En-1→En→0, 这里每个Ei是内射R- 模.从而也是正合列, 且由文献[8] 的定理2.2.13,每个E++i是内射模,即idRA++≤n. 注意,B+是内射模,故idRC+≤n+1.由假设, idRC+≤1. 故A++是内射模. 再由文献[8] 的定理2.2.13,A+++是平坦模,则A+是平坦模. 仍由文献[8] 的定理2.2.13,A是内射模.

(2)⇒(3). 显然.

(3)⇒(1). 设N是R- 模满足idRN≤2. 则存在正合列0 →N→E→C→0,这里E是内射模, 且idRC≤1. 注意,C是h- 可除模, 自然是可除模. 由条件,C是内射模, 即idRN≤1. 因此由定理4.3, FID(R)≤1 成立.

以如下反例结束本文. 已知, 对任何环R, 总有w.gl.dim(R) ≤gl.dim(R). 但一般情况下, 未必有w.gl.dim(R)=gl.dim(R). 文献[3] 表明了对任何环R都有FFD(R)≤FID(R). 现在给出FFD(R)≠FID(R) 的环的例子.

例4.11构造环R1= C[X,Y]+ZC(X,Y)[Z]m如例4.10. 则FFD(R1) = 2,FID(R1)=3.