在新的Schwarz 定义下的调和函数的Ahlfors-Weill 延拓

王利鑫, 冯小高

(西华师范大学数学与信息学院, 四川 南充 637009)

1 引言

解析函数的Schwarz 导数在证明函数的单叶性和拟共形映射延拓等方面有着非常重要的作用. Nehari 等人通过对解析函数的对数函数和Schwarz 导数的研究取得了很多显著成果[1-2]. 近年来, 很多学者把解析函数的结果推广到调和函数, 研究其单叶性准则和拟共形延拓[3-10].

首先给出一些基本概念. 设φ是单位圆∆={z:|z|<1} 内的局部单叶解析函数,它的对数导数Pφ和Schwarz 导数Sφ分别为

定义其Schwarz 导数的范数为

在文献[11] 中, Nehari 通过对Schwarz 导数的研究得出了在单位圆∆内一个局部单叶解析函数为整体单叶的条件. 随后Ahlfors 和Weill[12]对Nehari 的结果进行进一步的推广, 得出单位圆∆内一个局部单叶解析函数为整体单叶且拟共形延拓到扩充复平面的条件.

下面介绍一些关于调和函数的基本概念. 设f=h+是单位圆∆内的调和函数, 其中h和g在单位圆内解析且g(0) = 0.ω=g′/h′是单位圆内的一个解析函数且|ω| < 1 称为f的第二复特征. 2003 年, Chuaqui, Duren 和Osgood 根据极小曲面理论给出了调和函数的Schwarz 导数和对数导数定义[3]. 随后, Hernández和Martín 从共形度量的角度给出了调和函数的Schwarz 导数和对数导数定义[6].Efraimidis, Hernández 和Martín[14]借助此Schwarz 导数和对数导数的定义构造了一个调和函数的Alhfors-Weill 延拓. 最近, 聂丽萍和杨宗信[9]给出了调和函数f=h+新的Schwarz 导数和对数导数定义. 定义如下: 令调和函数f的Schwarz 导数定义为

其中Pf=(logγ)z为f的对数导数. 又故f的对数导数和Schwarz 导数又可以分别写成

和

定义ω的双曲导数为

及其双曲导数的范数为

注1.1解析映射的对数导数和Schwarz 导数分别记作Pf和Sf, 一般调和映射的对数导数和Schwarz 导数分别记作Pf和Sf.

本文将利用文献[9] 中对调和函数的对数导数(4) 和Schwarz 导数(5) 的新定义,借助Efraimidis, Hernández 和Martín[14]构造的调和函数的Alhfors-Weill 延拓, 利用文献[12] 中对调和函数的对数导数(4) 和Schwarz 导数(5) 的新定义也给出了对应的Alhfors-Weill 延拓.

2 一些引理

本节主要给出后面证明主要定理时要用到的几个引理.

引理2.1[15]设h是单位圆∆内的的局部单叶解析函数, 则有

假设Fλ= {f=h+:h(0) =g(0) = 0,h′(0) = 1,∥Sf∥≤λ}, 由文献[7] 可知单位圆∆内的保向调和映射f=h+的族Fλ是仿射线性不变的. 记Fλ0={f∈Fλ:g′(0)=0} 和Rλ=∥w∗∥, 则有以下引理.

引理2.2[7]limλ→0Rλ=0.

引理2.3假设f=h+是单位圆∆内的调和映射, 其中h解析, 那么

其中k1>0,k2>0.

证明由于

那么

根据三角不等式和Schwarz 导数范数的定义可知

利用文献[7] 的方法, 结合(6) 式有下列几个不等式成立

结合(9)-(13) 式, 可得(8) 式.

3 主要定理及其证明

定理3.1设f=h+是单位圆∆内的局部单叶调和函数, 且f的第二复特征满足|ω(z)|≤d, 其中d∈[0,1),z为单位圆内任意一点. 令τ=Ph或τ=Pf, 存在常数c, 使得当∥Sf∥≤c时, 有

是f的拟共形延拓, 且拟共形延拓到, 其中

注3.1在文献[14] 中, Efraimidis, Hernández 和Martn 通过计算函数f的延拓公式Ef(ζ) 的Beltrami 系数来分别讨论τ=Ph和τ=Pf的情况, 并得到了上述定理. 本文将通过分别计算τ=Ph和τ=Pf两种情况下Beltrami 系数来证明在新的Schwarz 导数定义下依旧成立.

证明下面分两种情况来证明.

当τ=Ph时, 由文献[14] 的(21) 式得到, 此时F(z) 的Beltrami 系数可以写作:

其中,

结合(2) 式和引理2.3 的(8) 式, 有

于是,

由Schwarz-Pick 引理, 有下式成立

又根据引理2.1 可得

结合上述几个式子, 那么|µF| 可以写作成

由(16) 式和引理2.2 可以看出, 当λ趋近于0 时, |µF| 趋近于d, 从而推出F拟共形延拓到

当τ=Pf时,F(z) 的Beltrami 系数为:

其中

由|α|,|β| 的范围可知下面两式成立:

结合(4) 式, 引理2.1 和引理2.3 得

则M的分子部分的范围为

同理N的分子部分的范围为

综上所述,

由(18) 式和引理2.3 可知, 当λ趋近于0 时, |µF| 同样趋近于d, 因而可以推出F拟共形延拓到.