二维耗散准地转方程在Lorentz 空间的正则性准则

魏巍, 王艳青

(1. 西北大学数学学院, 陕西 西安 710127;2. 郑州轻工业大学数学与信息科学学院, 河南 郑州 450002)

1 引言

本文研究如下具有耗散项的二维准地转方程:

其中θ(x,t) 是在(x,t) ∈R2×[0,∞) 处的温度标量函数,θ0(x) 是初始温度,v(x,t) 是流体的速度场,κ>0 表示扩散常数,α∈(0,1], 分数阶算子Λα定义为

微分算子∇⊥=(-∂x2,∂x1). 显然, 若θ(x,t) 是准地转方程(1) 的解, 则对任意λ>0,

也是方程(1) 的解.

二维准地转方程对气象学与海洋学的理论研究和数值计算起着至关重要的作用, 是描述地球物理流体力学的一个基本模型[1-2]. 1994 年, Constantin-Majda-Tabak 在文献[1] 中指出二维准地转方程与著名的Euler 方程和Navier-Stokes 方程具有相似的特点. 事实上, 将微分算子∇⊥作用到方程(1) 第一式的两边, 可以得到

该方程形式上与Navier-Stokes 方程的旋度方程一致. 因此, 文献[1] 将二维准地转方程视为Navier-Stokes 方程的低维模型并将Euler 方程著名的Beale-Kato-Majda 爆破准则推广到了该模型, 即当

时, 解θ(x,t) 在(0,T] 上光滑. 此后, 二维准地转方程的正则性问题受到了众多数学家的广泛关注并取得了一系列重要的研究进展, 参见文献[3-15].

其中具有代表性的一项工作是, Chae[7]在Lebesgue 空间中对二维准地转模型(1)建立了满足自然尺度变换(2) 不变性的爆破准则, 即当

时, 解θ(x,t) 在(0,T] 上是正则的. 不久后, Dong-Chen[9]在齐次Besov 空间的框架下研究了二维准地转方程(1), 并将正则性准则(3) 改进为

继而, Yuan[10]在最大的负指数Besov 空间中建立了如下爆破准则

注意到上述各已知结果集中在关于空间变量的Lebesgue 空间与Besov 空间, 而均未涉及Lorentz 空间. 尤其是时空型Lorentz 空间中二维准地转方程的爆破准则, 至今尚未有已知文献对此加以研究.

为此, 受笔者关于三维Navier-Stokes 方程正则性的前期工作[16]启发, 本文通过将Bosia-Pata-Robinson 的一个改进版Gronwall 型引理[17]推广为引理2.1, 率先在时空型Lorentz 空间的框架下对二维耗散准地转方程(1) 建立了如下正则性准则:

定理1.1设0 <α≤1,κ> 0,θ(x,t) 是以θ0∈H2(R2) 为初值的准地转方程(1) 在t∈[0,T) 上的局部光滑解. 如果存在p∈[2/α,∞) 和q∈(1,∞] 使得∇⊥θ∈Lq,∞(0,T;Lp,∞(R2)), 则必存在正数ε, 使得当

时, 解θ(x,t) 在有限时刻T不发生爆破.

利用嵌入关系Lq,ℓ(0,T)˛→Lq,∞(0,T) (0 <ℓ< ∞), 以及Lorentz 空间Lq,ℓ(0,T)范数的绝对连续性, 可得如下推论:

推论1.1设0<α≤1,κ>0,θ(x,t) 是以θ0∈H2(R2) 为初值的准地转方程(1)在t∈[0,T) 上的局部光滑解. 如果存在p∈(2/α,∞),q∈(1,∞) 和ℓ∈(0,∞), 使得θ(x,t) 满足

则解θ(x,t) 在有限时刻T不发生爆破.

注1.1当2/p+α/q=α时, 正则性条件(6) 与(7) 中的范数在准地转方程(1) 的自然尺度变换(2) 下具有尺度不变性, 这与爆破准则(3)-(5) 类似.

注1.2根据函数空间的嵌入关系Lp˛→Lp,ℓ(p≤ℓ), 可知: 爆破准则(7) 改进了(3) 中的结果.

注1.3注意到正则性条件(3) 不包含端点情形p= 2/α, 而爆破准则(6) 对于p=2/α依然成立, 这补充了(3) 中的结果.

最后, 受Zhou-Lei[18]关于Navier-Stokes 方程对数型爆破准则的启发, 给出本文的另一个主要结论如下:

定理1.2设0<α≤1,κ>0,θ(x,t) 是以θ0∈H2(R2) 为初值的准地转方程(1)在t∈[0,T) 上的局部光滑解. 如果存在p∈(2/α,∞) 和q∈(1,∞), 使得θ(x,t) 满足

则解θ(x,t) 在有限时刻T不发生爆破.注1.4因为成立以下两组不等式

与

所以完成定理1.2 的证明, 可以在Lorentz 空间中另外得到三个新的对数型爆破准则,并且均改进了(3) 中的结果.

2 预备知识

为了便于定理1.1 与定理1.2 的证明, 本节将回顾Lorentz 空间的定义及其若干常用性质, 并给出两个主要引理.

约定记号C表示一般的正常数, 记号∥g∥H2(Rn)= ∥Λ2g∥L2(Rn)+ ∥g∥L2(Rn)且H2(Rn) 表示赋以范数∥· ∥H2(Rn)的非齐次Sobolev 空间, 集合Ω⊂Rn的n维Lebesgue 测度用|Ω| 表示. 对于集合Ω 上的可测函数f, 令其分布函数f∗为如下定义于区间[0,∞) 上的函数:

对于0

则称所有满足条件∥f∥Lp,q(Ω)< ∞的可测函数f构成的集合为Lorentz 空间Lp,q(Ω).易知Lebesgue 空间Lp(Ω)=Lp,p(Ω), 且当0

类似地, 对于0

其中, 映射f:t∈[0,T)f(t) ∈X为定义于区间[0,T) 上并取值于Banach 空间X中的抽象函数.

下列为Lorentz 空间的一些常用性质:

• Lorentz 空间上的Hölder 不等式[19]:

• Lorentz 空间关于指数q的单调性[20]:

当0

• 有限测度集上Lorentz 空间的嵌入关系[19-20]:

当1 ≤m

• Lorentz 空间上的Calderón-Zygmund 不等式[21]:

其中, 1

• Lorentz 空间上的Sobolev 不等式[19]:

其中

• Lorentz 空间上的Gagliardo-Nirenberg 不等式[22]:

当1 ≤p,p2,q,q1,q2<∞, 0<α

其中

本文主要结论的证明过程也需要用到以下两个关键引理:

引理2.1设ϕ是定义于闭区间[0,T] 上的正可测函数. 若存在三个正常数µ,ϱ和τ0, 使得对于所有τ∈(0,τ0) 以及a.e.t∈[0,T], 均成立不等式

其中非负函数λ∈L1,∞(0,T) 满足

则函数ϕ在区间[0,T] 上有界.

注2.1该Gronwall 型引理推广了Bosia-Pata-Robinson 在文献[17] 的引理3.1中仅对于情形ϱ=2 所证明的结果. 引理2.1 对时空型Lorentz 空间中的Navier-Stokes方程[16]和本文中准地转方程正则性准则的研究起着至关重要的作用, 其结论可以进一步应用到其它流体力学方程组在Lorentz 空间的研究当中, 例如广义的准地转方程等.

证明当0<τ<1 时, 由条件µ∥λ∥L1,∞(0,T)<1/ϱ可得

从而有

再结合limτ→0ϕ-ϱτ(0)=1, 可知: 存在正常数δ, 使得当正参数τ充分小时, 成立

继而, 当t∈[0,T] 时, 对不等式(15) 变形并从0 到t积分可以推出

由此可得

引理2.2设2/p+α/q=α, 其中0 <α< ∞且1

证明由条件2/p+α/q=α可得

将上式代入(16) 的第二式, 可以推出

结合(16) 的第一式可得

再由(17) 式, 可知:qτ=q+τ-qτ. 故结论得证.

3 定理1.1 的证明

根据有限区间(0,T) 上的Lorentz 空间嵌入关系, 只需对情形2/p+α/q=α证明定理1.1 即可. 在证明过程中, 分两种情况考虑:p∈(2/α,∞) 和p=2/α.

情形1: 当p∈(2/α,∞) 时, 将方程(1)1与Λ4θ在全空间R2上作L2内积, 并运用分部积分可得

其中

接下来, 对(18) 式右边的I与J分别进行估计. 应用分部积分, 可推导出

这里

对于I2, 由分部积分和关系式divv=0, 计算出

对于I1, 当4/α≤p<∞时, 有

(Gagliardo-Nirenberg 不等式或Sobolev 不等式)

当2/α

(Sobolev 不等式和Gagliardo-Nirenberg 不等式)

为了估计J, 应用分部积分可得

继而由Calderón-Zygmund 不等式可知: 不等式

对于所有q∈(1,∞) 成立. 类似于I1的估计, 同理可得

将I与J的上述估计式联立代入(18) 式, 整理得到

进而对满足引理2.2 的每一对正指数(pτ,qτ), 同理可得

再结合Gagliardo-Nirenberg 不等式

则有

从而, 当∥∇⊥θ∥Lq,∞(0,T;Lp,∞(R2))充分小时, 由引理2.1 可以推出

于是, 当t∈[0,T] 时, 利用准地转方程(1) 的标准能量估计

并结合Calderón-Zygmund 不等式和Gagliardo-Nirenberg 不等式, 可推导出

即∇⊥θ∈L∞(0,T;Lp(R2)). 故由正则性准则(3), 可知定理1.1 在p∈(2/α,∞) 时成立.

情形2: 当p=2/α时, 应用Hölder 不等式, Sobolev 不等式和Calderón-Zygmund不等式可得

类似于I1的估计, 同理可得

进而有

将I与J的上述估计式联立代入(18) 式, 整理得到

从而, 当∥∇⊥θ∥Lq,∞(0,T;Lp,∞(R2))= ∥∇⊥θ∥L∞(0,T;L2/α,∞(R2)) 充分小时, 对于所有t∈[0,T] 均有

由此可得

再结合Calderón-Zygmund 不等式, Gagliardo-Nirenberg 不等式以及标准能量估计(20) 式, 可以推出

即∇⊥θ∈L∞(0,T;L3/α(R2)). 故由正则性准则(3), 可知定理1.1 在p=2/α时成立.

至此, 完成定理1.1 的证明.

4 定理1.2 的证明

由Hölder 不等式可知, 只需对情形2/p+α/q=α证明定理1.2 即可.

于是, 根据估计(10) 式, (19) 式与(20) 式, 并结合Calderón-Zygmund 不等式,Gagliardo-Nirenberg 不等式和Young 不等式, 可以推出

进而, 当t∈[0,T] 时, 由Gronwall 不等式可得

则有

再结合Calderón-Zygmund 不等式, Gagliardo-Nirenberg 不等式以及标准能量估计(20) 式, 可推导出

即∇⊥θ∈L∞(0,T;Lp(R2)). 故由正则性准则(3), 可知定理1.2 得证.