代表性启发式交易者市场微观结构

2023-02-05黄东新周德清

纯粹数学与应用数学 2023年4期

黄东新, 周德清

(1. 纽约大学坦顿工程学院, 纽约 11201;2. 中央财经大学金融学院, 北京 100081)

1 引言与综述

代表性启发已被心理学家记录为行为偏差的一种类型[1-2]. 人们经常使用代表性启发法来做决策. 文献[1] 表示“遵循这种启发法的人评估一个不确定事件或样本的概率, 依据的是: (i) 与其母体的基本属性相似的程度; (ii) 反映其产生过程的显著特征的程度”.

代表性启发往往与价格的过度反应联系起来, 被用来解释动量效应和反转效应. 文献[3] 认为, 大多数人会违反贝叶斯规则, 倾向于对意想不到和戏剧性的新闻事件反应过度. 具有代表性启发式的投资者在评估股票价值时更看重当前信息的重要性. 与过度反应假说的预测一致, 先前的输家的投资组合表现优于先前的赢家. 文献[4] 构建一个投资者情绪的状态转换模型, 使投资者在保守型偏差和代表性启发式之间转换. 该模型依赖代表性启发式解释资产价格对新信息的过度反应. 文献[5] 认为资产价格对新信息反应过度, 因为动量交易者根据过去的价格推断未来的价格, 从而推动过去赢家的价格高于他们的基本价值. 文献[6] 建立一个类似的模型, 来考察代表性启发是如何导致资产价格对好消息或坏消息反应过度或反应不足的. 文献[7] 提出了一个诊断性期望产生的信用周期模型, 一种基于代表性启发式的信念形成机制. 在他们的信贷周期模型中,信贷息差波动过度, 对新闻反应过度, 而且容易发生可预测的逆转. 文献[8] 使用基于代表性启发式的信念形成模型来解释, 为什么分析师预测最乐观的长期收益增长的股票的回报率远低于那些预测最悲观的股票. 在这个模型中, 分析师对新闻的反应过度, 夸大了客观上更有可能发生的情况的可能性.

一些学者设计了试验来检验代表性启发对于股票价格的影响. 文献[9] 设计实验和调查, 以证明非专家预计过去明显的价格趋势将继续. 在实验和调查中, 投资者都预期在过去价格上涨之后, 未来价格会更高. 文献[10] 设计实验来检验投资者对盈余信息的过度或不足反应的代表性和锚定调整, 以及这对盈余估计和股票估值的影响. 研究结果证实, 这种过度反应行为是由代表性启发式偏见造成的. 文献[11] 使用来自蓝筹股调查和专业预测者调查的数据, 调查专业预测者对信息的反应, 并发现对于单个预测者来说,对信息的过度反应是常态. 文献[12] 证明了过度自信会增加公共信息对股价的冲击, 并且正向影响交易量.

代表性启发投资者可以与理性投资者共存, 甚至获取更高的利润. 文献[13] 证明启发式交易者可以与知情的贝叶斯交易者共存, 因为启发式交易者对私人信息反应过度,交易更积极, 从而使他们获得更多的信息租金. 文献[14] 构建了代表性启发式交易者与理性交易者竞争的动态竞争市场模型, 发现由于噪声交易者造成的错误估值, 启发式交易者能够比理性交易者产生更高的预期利润.

本文基于文献[15] 的一般均衡模型, 描述了代表性启发式交易者的最优行为及其对市场的影响. 在第二节, 分析了一个所有交易者都是代表性启发式的市场. 在第三节中, 使用文献[16] 方法, 扩展本文的模型来内生化噪音交易, 以进一步研究代表性启发式对市场均衡的影响.

2 启发式交易者和有价信息

2.1 模型的基础设置与市场均衡的形成

文献[17] 基于文献[14] 的理性预期模型, 考虑了一个所有交易者都过度自信的市场, 发现过度自信增加了预期交易量, 增加了市场深度, 降低了过度自信交易者的预期效用. 它对波动性和价格质量的影响取决于谁过于自信.

本模型参考了文献[17] 的方法, 研究了投资者全部具有代表性偏差的市场. 市场上存在着风险资产和无风险资产. 假设无风险利率为0; 风险资产的每股支付, 其中在交易前, 风险规避的交易者决定是否为有关风险资产终值的新信息支付成本c. 购买信息的人会收到一个公共信号其中以及,是相互独立的. 然后市场会同时进行一轮的交易.

市场的参与者包括购买信息的交易者(知情交易者), 不购买信息的交易者(不知情交易者) 和不考虑价格或价值的噪音交易者(本文中的交易者包括知情交易者和不知情交易者, 而噪音交易者被明确地称为噪音交易者). 交易者是一个[0, 1] 连续统, 因此每个交易者都正确地假设自己的需求不会影响价格. 每个交易者被赋予f0I的无风险资产和x0I的风险资产. 为方便起见, 假设噪声交易者对每个（非噪声）交易者的需求是, 其中因此,是每个交易者的风险资产供应量. 在均衡状态下,λ是选择购买信息的交易者的比例.

根据新信息, 知情交易者更新其对于风险资产终值的均值和方差的预期. ˜v的条件均值和方差的正确估计如下:

其中下标a表明其为实际值.

然而, 正如心理学文献中所讨论的, 拥有代表性启发的交易者过于重视新的信息,从而高估了新的信息与风险资产终值之间的相关性. 换句话说, 启发式交易者会根据以下方式更新其均值和方差:

其中h表示启发式交易者的信念,m是一个启发式偏差参数,m> 1. 参数m越高, 启发式偏差越大. 此外, 为了确保Varh[|]>0, (3) 式和(4) 式意味着

在这个模型中, 所有交易者都是启发式交易者. 每个人都高估了新信息的重要性,但一些人认为信息的成本仍然太高, 选择成为不知情交易者. 不知情的交易者根据风险资产的价格P更新其均值和方差. 正如心理学文献中所讨论的, 他们还高估了P和终值之间的相关性, 如下所示:

交易员i对风险资产的禀赋为x0I, 对无风险资产的捐赠为f0I. 他对风险资产的需求为x1I, 对无风险资产的需求为f1I. 因此, 他最后的财富是W1I=x1I+f1I. 他的效用函数是U(W1I) = -Exp(-aW1I), 其中a是共有的绝对风险规避的系数. 他通过选择是否购买信息来实现预期效用的最大化, 然后根据他的信息在预算约束下选择最优需求. 也就是说, 如果他是知情交易者, 他就会解决

如果他是不知情交易者, 他解决

条件均值和方差可以计算得

知情交易者对于风险资产的需求为

不知情交易者对于风险资产的需求为

风险资产的价格可以计算为

把(10) 式和(11) 式带入(12) 式可以得到

把(14) 式代入(13) 式可以得到

其中

如果λ≠ 0, 那么P是的线性方程, 并且这两个在信息上是等价的.是两个正态分布随机变量的组合, 本身是正态分布的. 因此,基于投资者的信念是正态分布的.其中包含信息的方差部分, 包含噪音的方差部分然后, 可以计算不知情交易者对风险资产终值的条件均值和方差为

在均衡状态下, 即当0 <λ< 1 时, 知情交易者和不知情交易者的预期效用之间没有差异, 因此

也可以计算出(具体证明过程见附录)

从(15) 式和(16) 式可得

如果D<0,ru0, 那么因为所以可发现

2.2 市场的特征与投资者的行为

命题2.1存在一个均衡, 其中知情交易者的比例为

其中

命题2.2当λ∈(0,1), 随着m增加, 价格的信息性Vara(v|P)-1增加.

因为市场均衡满足, 基于启发式交易者的信念, 知情交易者和不知情交易者具有相同的预期效用,ru=e2acrh. 随着m的增加, 交易者将高估新信息与风险资产终值之间的相关性, 从而低估条件方差rh. 交易员认为, 更多的终值信息被纳入价格P, 因此基于价格的条件方差ru应相应减小.

所以可以轻松地计算出

并且随着m增加,S会增加, 噪音部分D将减少.

因此随着m增加, Vara(|P) 降低并且价格的信息性增加.

命题2.3当λ∈(0,1) 并且如果

λ降低随着m增加; 否则,λ先增加后减少(证明见附录).

m以两种方式影响λ: 首先, 启发式交易者高估了和市场价格P之间的相关性,导致λ减少; 其次, 启发式交易者高估了和新信息之间的相关性, 这导致λ增加.

如果hϵ相对较小, 即私人信息的质量较差, 则m的增加会导致交易员在很大程度上高估私人信息的价值, 因此λ先增加后减少. 否则,λ单调递减.

命题2.4当λ∈(0,1) 时, 对于许多特定的参数集(可能是所有参数集), 当交易者高估有价信息的重要性时, 知情交易者的期望效用低于不知情交易者(证明见附录).

启发式程度m对市场均衡的影响体现在很多方面.m的增加导致投资者对˜v的条件均值增加, 条件方差减小, 因此P的价格分布、知情交易者和非知情交易者的交易量以及知情交易者λ的比例都发生了变化.

因为交易者高估私人信息价值导致的λ的增加对知情交易者造成了更大的损害,所以知情交易者的预期效用低于不知情交易者.

通过数值模拟, 验证了对于满足市场均衡的许多参数, 不知情交易者的实际预期效用高于知情交易者.

命题2.5当λ=1 时, 即所有交易者为知情交易者, 他们相当于做市商, 掌握有关风险资产终值的一些信息, 并将供应计划设置为

随着m的增加, 价格的波动性Vara(P) 增加. 如果=y0> 0, 则价格的条件均值Ea(P|y0) > Ea(|y0); 如果=y0< 0, 则价格的条件均值为Ea(P|y0) < Ea(|y0).因此, 风险资产的价格对新信息反应过度.

当新信息的成本c很小, 或者绝对风险规避系数a很大, 或者噪音交易的方差很大时, 每个人都会选择成为知情交易者. 知情交易者将风险资产的价格设定为

价格由两部分组成: Eh(|) 反映了交易者基于新信号对风险资产最终价值的预期,反映了噪声交易者的需求.

这种过度反应特征也被认为是导致价格反转的原因之一. 比如, 文献[17] 解释了经历极端长期收益或损失的股票的系统性价格反转, 与投资者过度反应的行为假设一致. 这篇的后续论文报告了支持过度反应假说的额外证据, 这与基于公司规模和由CAPM-betas 衡量的风险差异的两个假说不一致.

命题2.6当λ=1 时, 随着m的增加, 市场深度(dP/dz)-1增加.

市场深度可以表示为, 交易量增加一个单位, 对价格的影响的倒数. 市场深度很容易计算得

(dP/d)-1是m的递增函数, 因此, 随着m的增加, 市场深度增加, 风险资产的供给曲线变平. 从经济角度来看, 随着m的增加, 交易者将低估条件方差rh, 并高估新信息的价值. 因此, 投资者的交易量将增加, 单位交易量的变化对价格的影响变小.

命题2.7当λ= 1 时, 如果a2≤(hϵ+hv)hz, 即信息的准确性高, 而投资者的绝对风险规避系数不高, 那么价格的波动Vara(P) 随着启发程度m的增加而增加; 如果a2≥(hϵ+hv)hz, 则价格的波动Vara(P) 随着启发程度m的增加, 先减小后增大.

价格的方差

是m2的二次函数. 它的对称轴

价格方差在m2=1 的导数

因此, 如果a2≤(hϵ+hv)hz, 价格的波动性将随着启发度m的增加而增加; 如果a2≥(hϵ+hv)hz, 则价格的波动性随着启发程度m的增加先减小后增大.

从经济学角度来看, 随着m的增加, 价格波动的知情部分S增加, 而噪音部分D减少. 如果交易者的绝对风险规避系数a很小, 那么价格波动更多地取决于新信息因此Vara(P) 是m的递增函数. 否则, 当m相对较小时, Vara(P) 随着m增加而减小.但在任何情况下, 当m接近其上界时,D→0, 价格波动主要由S决定, 因此Vara(P)随着m增加而增加.

3 噪音交易者内生化模型

3.1 内生的噪音交易者以及新的市场均衡模型

本文参考文献[16] 的方法扩展了模型, 去内生化噪音交易者的行为. 噪音交易者不再只是随机交易, 而是以最大化预期回报为目标. 市场参与者仍然包括知情交易者, 不知情交易者(前两个统称为交易者) 和噪音交易者. 所有交易者都是代表性启发交易者.在该模型中, 时间是离散的, 由4 天组成:t=0,1,2,3.

在第0 天, 噪音交易者通过最大化他们的期望回报来决定是否进入市场交易的风险资产. 噪音交易者进入市场会得到B的奖励(例如, 被动基金的经理进入市场会得到奖励), 以补偿他们因缺乏信息而在交易中遭受的损失. 最终决定进入市场的噪音交易者的数量是L, 其中0 ≤L≤. 由于当L=时, 模型退化为基本模型, 因此下面不讨论这种情况.

在第一天, 考虑到量为L的噪声交易者进入市场, 交易者选择是否支付成本c以获得有关风险资产终值的新信息. 最后,λ的交易者决定成为知情交易者.

第二天, 与基本模型一样, 风险资产和无风险资产在金融市场上由交易者和噪声交易者进行交易. 市场价格是由供需平衡产生的. 在均衡的形成过程中, 所有交易者都知道均衡价格P, 噪音交易者的量L, 以及知情交易者的量λ.

并且其方差

系数L内生性地决定了市场中噪声交易的量. 假设交易者在交易过程中知道L, 风险资产的均衡价格和知情交易者的比例的形成机制与上述基本模型相同.

在决定是否在第0 天参与市场时, 噪音交易者会按照给定的价格函数和其他噪音交易者的决定进行交易. 交易的预期回报由两部分组成: (1) 参与奖励B; (2) 交易的预期回报E[(-P)] 从交易单位的风险资产. 因此, 决定交易的噪音交易者l的总预期回报是

当W(L) > 0 时, 噪音交易者将进入, 直到W(L) = 0;W(L) < 0 时, 噪声交易者将退出, 直到W(L)=0, 因此均衡L满足W(L)=0.

均衡时噪音交易者的量为

有

如果D∗>0, 那么

当λ∈(0,1), 有

因为0 <λ< 1, 所以上述等式在时成立. 可以发现λ(B) 是一个B的单调递增函数, 随着随着

上述讨论是基于D∗> 0. 如果D∗= 0, 新信息的价格c= 0, 所以λ= 1,并且L=B/(arh). 如果D∗<0, 那么对于任何λ,ru

3.2 拓展模型的市场特征

命题3.1存在一个均衡, 其风险资产的价格为

知情交易者的比例为

并且参与市场的噪音交易者的量为

命题3.2当λ∈(0,1), 随着B增加, 参与市场交易的噪音交易者数量L增加了,知情交易者的比例λ增加了, 价格的方差Vara(P)=B2(S/D+1) 与B2成正比.

当参与市场的奖励B增加时, 参与市场的噪声交易者数量L增加, 噪声交易增加, 因此价格传递的信息减少, 与知情交易者相比, 不知情交易者的预期效用降低, 更多交易者选择成为知情交易者, 并且λ增加.

价格的方差Vara(P) =B2(S/D+1), 其中B2S/D是知情部分, 而B2是噪音部分. 每一个都与B2成比例,B越大, 波动性越大.

命题3.3当λ∈(0,1) 时, 随着m的增加, 如果=y0> 0, 价格的条件均值Ea(P|y0) 增加; 如果=y0<0, 则价格的条件均值Ea(P|y0) 降低. 因此, 风险资产的价格对新信息反应过度.

价格的条件均值Ea(P|y0)=BD-0.5mEa(|y0). 如果=y0>0, 随着m增加, 知情交易者对于的估计Eh(v|y0) 增加, 噪音D降低,C1=BD-0.5增加, 所以价格的条件均值Ea(P|y0) 增加. 因此, 风险资产的价格反应过度. 启发式程度m越大, 过度反应越严重.

命题3.4当λ= 1 时, 该模型等价于hz= (arh/B)2的基础模型. 随着m增加,参与市场的噪音交易者的量L=B/(arh) 增加, 价格的方差Var(P)=S+B2增加, 市场深度(dP/dz)-1增加.

4 附录

4.1 代表性启发法的设置

关于代表性启发, 文献[6] 将其设置为

关于过度自信, 文献[16] 将其设置为

当η=1 , 并且

存在

因此, 在文献[14] 中设置的代表性启发是过度自信的特例.m和k形成一对一的映射,并且两者共同增加.对应于k→∞. 当不考虑期望效用时, 代表性启发式交易者与过度自信者具有完全相同的特征. 也就是说, 有相应的m和k使得两者的交易量和利润是相同的. 因此该设置并不是一个对于代表性启发的良好的建模.

因此, 在本文中, 将启发式交易者估计的条件均值和方差设置为