相等代数上态的存在性

梁婕 , 朱勇, 辛小龙, 王军涛

(1. 陕西铁路工程职业技术学院, 陕西 渭南 714000;2. 西北大学数学学院, 陕西 西安 710127;3. 西安工程大学理学院, 陕西 西安 710048;4. 西安石油大学理学院, 陕西 西安 710065)

1 引言

相等代数是由Jenei S. 提出, 它为模糊类型理论提供了一个可能的代数语义.如Borzooei R. A. 等人[1]提出并且研究了相等代数的蕴涵滤子, 奇异滤子及其素滤子, 并且研究了它们之间的关系, 2019 年, 文献[2] 研究了超相等代数的强超推理系统,在2021 年, Borzooei R. A. 等人[3]研究了超相等代数上的滤子理论, 态理论在研究模糊逻辑和它相关的代数结构中扮演了一个十分重要的角色. 特别是态的存在性理论是一个十分重要的课题, 引起了国内外学者的关注. 如MTL - 代数上的态的存在性[4], 剩余格上的Bosbach 态和Riečan 态[5],R0- 代数上的态[6], 等等, 而相等代数是较它们而言更为一般的代数结构. 2018 年程晓云介绍了伪相等代数上的广义态映射和态[7]. 基于此, 研究相等代数上态的存在性是有意义的. 本文讨论了相等代数上态的存在性, 得到了以下结论: (1) 有界可交换的相等代数ε有Bosbach 态当且仅当ε有奇异滤子; (2)有界的相等代数ϵ有Riečan 态当且仅当ϵ存在弱奇异滤子F.

2 预备知识

定义2.1[8]一个(2,2,0) 型的代数ε= (E,∧,,1) 被称为相等代数. 若满足下列条件: 对任意的x,y,z∈E,

(E1) (E,∧,1) 是一个有着最大元1 的交半格;

(E2)xy=yx;

(E3)xx=1;

(E4)x1=x;

(E5)x≤y≤z推出xz≤yz和xz≤xy;

(E6)xy≤(x∧z)(y∧z);

(E7)xy≤(xz)(yz).

•x→y=x(x∧y).

•x↔y=(x→y)∧(y→x).

一个相等代数(E,∧,,1) 被称为是有界的, 如果存在一个元素0 ∈E使得对任意的x∈E有0 ≤x. 在一个有界的相等代数E中, 对任意的x∈E, 运算“′” 通过x′=x→0 =x0 来定义. 如果对任意的x∈E, 有(x′)′=x, 则这个有界的相等代数E被称为是对合的. 如果对任意的x,y∈E, 有(x→y) →y= (y→x) →x, 则相等代数E被称为是可交换的.

为了方便, 记相等代数(E,∧,,1) 为ε, 有界相等代数(E,∧,,0,1) 为ϵ.

命题2.1[8-9] 设ϵ= (E,∧,,0,1) 是一个有界的相等代数. 则下面的性质成立:对任意的x,y,z∈E,

(R1) 1 →x=x,x→1=1;

(R2)x≤y当且仅当x→y=1;

(R3)x≤(x→y)→y;

(R4)x≤y推出y→z≤x→z,z→x≤z→y;

(R5) 0∗=1, 1∗=0,x≤x∗∗,x∗∗∗=x∗;

(R6)x→y=((x→y)→y)→y;

(R7)x→y≤y∗→x∗;

(R8)x→(y→z)=y→(x→z).

定义2.2[10]设ε= (E,∧,,1) 是一个相等代数,F是E的一个非空子集. 若F满足以下条件: 对任意的x,y∈E,

(i) 1 ∈F;

(ii) 若x∈F且x≤y, 推出y∈F;

(iii) 若x∈F且xy∈F, 推出y∈F. 则称F是ε的一个滤子.

注2.1ε的一个滤子F如果满足F≠E, 则F被称为ε的真滤子.

定义2.3[10-11]设ε是一个相等代数,F(ε) 为ε的所有滤子的集合. 则F∈F(ε)当且仅当对任意的x,y∈E,

(i) 1 ∈F;

(ii) 若x∈F且x→y∈F推出y∈F.

定义2.4[1]设ε是一个相等代数, 则E的一个非空子集F被称为是奇异滤子.如果F满足以下条件: 对任意的x,y,z∈E,

(i) 1 ∈F;

(ii)z→(y→x)∈F且z∈F推出((x→y)→y)→y∈F.

推论2.1[1]设ε是一个相等代数, 则F是E的一个奇异滤子当且仅当E/F是一个可交换的相等代数.

命题2.2[1]设ε是一个相等代数,F是E的一个奇异滤子当且仅当对任意的x,y∈E有y→x∈F, 推出((x→y)→y)→x∈F.

定义2.5[12]一个(2,1,0) 型代数(B,⊕,∗,0) 被称为是MV - 代数. 如果它满足以下条件: 对任意的x,y∈B,

(MV1) (B,⊕,0) 是一个交换半群;

(MV2) 0∗⊕x=0∗;

(MV3) (x∗)∗=x;

(MV4) (x∗⊕y)∗⊕y=(y∗⊕x)∗⊕x.

定义2.6[13]一个(2,1,0) 型代数(W,→,∗,0) 被称为是Wajsberg - 代数. 如果它满足以下条件: 对任意的x,y,z∈W,

(W1) 1 →x=x;

(W2) (x→y)→((y→z)→(x→z))=1;

(W3) (x→y)→y=(y→x)→x;

(W4) (x∗→y∗)→(y→x)=1.

引理2.1[13]Wajsberg - 代数和MV - 代数是等价的.

3 相等代数上Bosbach 态的存在性

本节主要研究有界相等代数上Bosbach 态的存在性, 并讨论了Bosbach 态和奇异滤子之间的关系.

定理3.1[9](i) 设B = (B,⊕,∗,0) 是一个MV - 代数, 则ψ(B) = (B,∧,↔,0,1)是一个有界可交换的相等代数. 在这里, 对任意的x,y∈B, →和最大元1 按照如下方式定义:x→y=x∗⊕y和1 = 0∗. 而且, 等价运算↔按照如下方式定义:x↔y=(x→y)∧(y→x) 和x→y=x↔(x∧y).

(ii) 设ϵ= (E,∧,,1) 是一个有界可交换的相等代数, 则Φ(ϵ) = (E,⊕,∗,0) 是一个MV - 代数. 在这里, 对任意的x,y∈E,⊕和∗按照如下方式定义:x⊕y=x′→y,x∗=x′.

推论3.1设ϵ是一个有界的相等代数,F是ϵ的一个滤子. 则下面的表述是等价的:

(1)F是一个奇异滤子;

(2) 商等价代数E/F是一个有界可交换的相等代数;

(3) 商等价代数E/F是一个MV - 代数.

证明(1)⇔(2) 由推论2.1 可得.

(2)⇔(3) 因为有界可交换的相等代数是一个Wajsberg - 代数, 则由引理2.1 可知商等价代数E/F是一个MV - 代数.

定义3.1[7]设ϵ是一个有界的相等代数, 则在ϵ上的Bosbach 态是指存在一个函数s:E→[0,1] 满足下面的几个条件:

(BS1)s(x)+s(x→y)=s(y)+s(y→x),∀x,y∈E;

(BS2)s(0)=0 和s(1)=1.

命题3.1[7]设s:E→[0,1] 的函数满足s(0)=0, 则下面的性质是等价的, 对任意的x,y∈E,

(1)s是ε上的Bosbach 态;

(2) 如果x≤y, 则s(y→x)=1-s(y)+s(x);

(3)s(y→x)=1-s(y)+s(x∧y).

命题3.2[7]设s是ε上的Bosbach 态,则下面的性质是成立的,对任意的x,y∈E,

(1)x≤y推出s(y→x)=1-s(y)+s(x)=s(xy);

(2)s(x∗)=1-s(x);

(3)s(x∗∗)=s(x).

引理3.1[7]设ε是一个相等代数,s是ε上的Bosbach 态, 可以得到是ε的一个滤子.

引理3.2[14]任意一个MV - 代数上都存在Bosbach 态.

定理3.2设ϵ是一个有界可交换的相等代数, 则下面的条件是等价的:

(1)ϵ有一个Bosbach 态;

(2)ϵ有一个奇异滤子.

证明(1)⇒(2). 设ϵ是一个相等代数, 并且s是ϵ的Bosbach 态, 则由引理3.1知ker(s) 是一个滤子. 若x→y∈ker(s), 则s(x→y) = 1. 因为s是一个Bosbach态, 由定义3.1 有s(y)+s(y→x) =s(x)+s(x→y) =s(x)+1 , 又由命题2.1 (R1)和(R8) 有

即s(y)=s((y→x)→x). 又由

可以得到s(((y→x)→x)→y)=1, 也就是说, 由命题2.2, 有

(2)⇒(1). 设ε是一个奇异滤子, 由推论3.1 知商等价代数E/F是一个MV -代数. 由引理3.2, 可得E/F上存在一个Bosbach 态. 对任意的x∈E, 定义s(x)=s1(x/F), 则可知s是ε上的Bosbach 态.

定义3.2[7]设ϵ是一个有界的相等代数, 则在ϵ上的态射是指存在一个函数s:E→[0,1] 满足下面两个条件, 对任意的x,y∈E,

(1)s(0)=0;

(2)s(x→y)=s(x)→Ls(y).

定义3.3[1]设ε是一个相等代数, 则ε的真滤子F被称为是素滤子如果满足对任意的x,y∈E,x→y∈F或者y→x∈F.

命题3.3[7]设ϵ=(E,∧,,0,1)是一个有界的相等代数,并且s是ϵ上的Bosbach态, 则s是ϵ上的态射当且仅当对任意的x,y∈E有s(x∧y)=min{s(x),s(y)}.

引理3.3有界相等代数上的每一个态射都是Bosbach 态.

证明设s是有界相等代数ϵ的态射. 则对任意的x,y∈E, 有

又因为

由命题2.1 (R5) 知, 1 →0=0. 因此有s(1)=1. 即s是ϵ的Bosbach 态.

定理3.3设ϵ是一个有界的相等代数, 并且存在一个映射s:E→[0,1], 则下面的条件是等价的:

(1)s是ϵ的态射;

(2) ker(s) 是ϵ的素奇异滤子.

证明(1)⇒(2). 由定理3.2 和引理3.3 有ker(s) 是ε的奇异滤子. 设x,y∈E, 因为[0.1]是线性的, 有s(x)≤s(y) 或者s(y)≤s(x). 也就是说

或者s(y→x)=s(y)→s(x)=1, 因此有x→y∈ker(s) 或者y→x∈ker(s).

(2)⇒(1). 设ker(s) 是ϵ的素奇异滤子. 由命题3.1 (3) 和命题3.3 可以得到

因此,s是ϵ的态射.

4 相等代数上Riečan 态的存在性

本节研究有界相等代数上Riečan 态的存在性, 并讨论Riečan 态和Bosbach 态之间的关系.

定义4.1[7]设ε是一个相等代数, 如果对任意的x,y∈E满足y∗∗≤x∗, 则称x和y是正交的. 记为x⊥y. 对于任意两个正交的元素x和y, 通过x+y=x∗→y∗∗来定义E上的二元运算“+”.

定义4.2[7]设ε是一个相等代数, 则在ε上的Riečan 态是指存在一个函数s:E→[0,1] 满足下面的几个条件:

(1)s(1)=1;

(2) 如果x⊥y, 则s(x+y)=s(x)+s(y) 对任意的x,y∈E.

命题4.1[7]设s是ε上的Riečan 态, 则下面的条件是成立的. 对任意的x,y∈E,

(1)s(x∗)=1-s(x);

(2)s(x∗∗)=s(x);

(3)s(0)=0;

(4)x≤y推出s(x)≤s(y).

定理4.1设ϵ是一个有界的相等代数, 则ϵ上的每一个Bosbach 态都是Riečan态.

证明设s是ϵ的Bosbach 态. 则有s(1)=1. 如果对任意的x,y∈E,x⊥y, 则有y∗∗≤x∗. 由命题3.1 (2) 和命题3.2 (2), 不难计算出

因此,s是ϵ上的Riečan 态.

定理4.2设ϵ是一个有界的相等代数, 定义

则(MV(E),∗,∧∗,0,1) 是一个对合的相等代数, 其中对任意的x,y∈MV(E),

证明显然0,1 ∈MV(E). 对任意的x∗∈MV(E), 由命题2.1 (R6) 有x∗=x∗∗∗.而且, 对任意的x∗,y∗∈MV(E) 有x∗∗∗∧y∗∗∗=x∗∧y∗≤(x∗∧y∗)∗∗≤x∗∗∗∧y∗∗∗.则有(x∗∧y∗)∗∗=x∗∗∗∧y∗∗∗=x∗∧y∗, 也就是说,x∗∧y∗=x∗∧∗y∗. 因此, MV(E)关于运算∧是封闭的.

其次, 对于任意的x,y∈MV(E), 可以得到

由于x→y∗∗=(x→y∗∗)∗∗, 则对于任意的x,y∈MV(E),

因此, 有x∗y=xy. 即MV(E) 关于运算是封闭的. 所以得到(MV(E),∗,∧∗,0,1) 是一个对合的相等代数.

推论4.1在MV(E) 中Riečan 态和Bosbach 态是一致的.

证明设s是MV(E) 上的Riečan 态, 则由命题4.1 可以得到s(0) = 0. 由于x∧y≤x, 则(x∧y)∗∗≤x∗∗, 也就是说,x∗⊥x∧y. 因此有

由命题3.1 得,s是MV(E) 上的Bosbach 态.

设s是MV(E) 上的Bosbach 态, 则有s(1) = 1. 若存在x,y∈E使得x⊥y, 则有x∗∗≤y∗. 由命题3.2 有

因此s是MV(E) 上的Riečan 态. 然后, 如果对任意x,y∈MV(E) 满足y∗∗→∗x∗=1,则称x和y是正交的. 记为x⊥∗y. 对于任意两个正交的元素x和y, 通过x+∗y=x∗→∗y∗∗来定义MV(E) 上的二元运算“+∗”.

定理4.3设ϵ是一个有界的相等代数. 如果s是ε上的Riečan 态, 则s|MV(E)是(MV(E),∗,∧∗,0,1) 上的Riečan 态. 反过来, 如果s是MV(E) 上的Riečan 态,s上的扩充:E→[0,1] 通过¯=s(x∗∗) 定义, 则¯s是ε上的Riečan 态. 而且, 这个扩充是唯一的.

证明设s是ε上的Riečan 态. 对任意的x,y∈MV(E), 如果x⊥∗y, 则有

也就是说(y∗∗→x∗)∗∗=1. 下面将证明(y∗∗→x∗)∗∗=y∗∗→x∗.

首先, 由命题2.1 (R5) 有,y∗∗→x∗≤(y∗∗→x∗)∗∗.

其次, 要证明(y∗∗→x∗)∗∗≤y∗∗→x∗. 由命题2.1 (R5) 和(R8), 可以推导出

所以(y∗∗→x∗)∗∗=y∗∗→x∗. 即y∗∗→x∗= 1, 也就是说x⊥y, 所以由Riečan 态的定义有,s(x+y)=s(x)+s(y). 又由

可以得

而且,s(1)=1. 因此,s|MV(E)是(MV(E),∗, ∧∗,0,1) 上的Riečan 态. 反过来, 如果s是MV(E) 上的Riečan 态, 则有

又因为x∗∗,y∗∗∈MV(E), 有

另一方面, 由

由定理4.3 将得到下面的推论.

推论4.2设ϵ是一个有界的相等代数, 则在ϵ上的Riečan 态和MV(E) 上的Riečan 态是一一对应的.

命题4.2设ϵ是一个有界的相等代数,F是ϵ的滤子, 则F|MV(E)是MV(E) 的滤子, 其中F|MV(E)=F∩MV(E).

证明因为F是ϵ的滤子, 所以有1 ∈F. 又因为E是有界的, 故0 ∈E, 也就是说1 ∈MV(E). 即1 ∈F|MV(E). 设对任意的x,y∈MV(E), 若x≤y且x∈F|MV(E),则x∈F, 由F是滤子得y∈F. 因此y∈F|MV(E). 设x,y∈F|MV(E), 所以x,y∈F,xy∈F, 又因为x∗y= (xy)∗∗, 所以x∗y∈F, 因此x∗y∈F|MV(E). 综上F|MV(E)是MV(E) 的滤子.

定义4.3设ε是一个相等代数,ε的一个滤子F被称为是弱奇异滤子. 如果F满足下面的条件:

(WQY) 如果对任意的x,y∈E,x→y∈F, 则((y∗∗→x∗∗)→x∗∗)→y∗∗∈F.

命题4.3相等代数ε上的奇异滤子都是ε的弱奇异滤子.

证明设F是ε上的奇异滤子, 并且x→y∈F. 由命题2.1 (R4) 有

所以x∗∗→y∗∗∈F. 又因为F是ε上的奇异滤子, 有

即F是ε的弱奇异滤子.

例4.1设E={0,a,b,c,1}, 其中0

则(E,∧,,1) 是一个相等代数[1], 并且{1,a,b,c} 是E的奇异滤子, 由计算可得{1,a,b,c} 也是E的弱奇异滤子.

下面将给出相等代数中一个是弱奇异滤子而不是奇异滤子的例子.

例4.2设(E={0,a,b,c,1},≤) 是一个链. 则在E上按如下方式定义和→:

则(E,∧,,1) 是一个相等代数[1], 并且{1,a} 是E的弱奇异滤子, 但不是奇异滤子.因为

定理4.4设ϵ是一个有界的相等代数, 则以下结论是等价的:

(1)ϵ有Riečan 态;

(2)ϵ存在真的弱奇异滤子.

证明(1)⇒(2). 设s是ϵ上的Riečan 态, 由引理3.1 得ker(s) 是E的真滤子. 由定理4.2 和推论4.1 知,s的限制s|MV(E)是MV(E) 上的Bosbach 态. 如果x→y∈ker(s), 由于

因此

又因为

故

由引理3.1 和定理3.2 有ker(s|MV(E)) 是一个奇异滤子, 即

因而有

所以F=ker(s) 满足条件(WQY).

(2)⇒(1). 设F是E的滤子. 如果F满足(WQY) 条件, 则F|MV(E) 也满足(WQY) 条件. 所以F|MV(E) 是MV(E) 的奇异滤子. 则由推论3.1 和定理4.2 可知, MV(E) 有Riečan 态. 由推论4.1 知,E有Riečan 态.

5 结论

态在研究模糊逻辑和它相关的代数结构中扮演了一个十分重要的角色. 从逻辑的观点来看, 态的语义是为了解释模糊事件的可能性. 态已经引起了广大学者的关注,如MV - 代数上的态, MTL - 代数上的态, EQ - 代数上的态, 等等. 本文一方面证明了有界可交换的相等代数ϵ有Bosbach 态当且仅当ϵ有奇异滤子; 另一方面给出了有界的相等代数ϵ有Riečan 态当且仅当ϵ存在一个真滤子F满足(WQY) 条件. 本文丰富了逻辑代数上态理论的研究, 探讨了逻辑代数上态的共性, 更好地认识与刻画了相等代数上的代数结构. 用态的思想研究相等代数上的性质, 刻画其结构是更加有意义的尝试.