若干非线性PDEs守恒律的构造

赵巧红，张明霞，额尔敦布和，2

（1.内蒙古工业大学 理学院，内蒙古 呼和浩特 010051；2.呼和浩特民族学院 数学与大数据学院，内蒙古 呼和浩特 010051）

对称和守恒律在物理、数学和其他自然科学范畴内有着至关重要的应用。通过研究非线性偏微分方程（PDEs），为了揭示对称和守恒律之间的内在联系，Bluman及Anco［1］、特木尔朝鲁［2］、额尔敦布和［3-4］等构造守恒律的直接方法、同伦方法、对称用于已知守恒律的方法等诸多有效方法。众所周知，对称体现PDEs的结构特点，守恒律反应PDEs的运动特性，因而，推导出给定PDEs的对称和守恒律是可期待的。为此，基于数学计算软件Maple，借助对称-共轭对称‘对’方法和Ibragimov新守恒定理［5］分别推出Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程组和（2+1）维热方程等几类经典的PDEs的守恒律，并比较已得守恒律挖掘上述两种方法之间的深层内在关系。

首先，考虑k阶PDEs(k≥2，l≤k)

其中x=(x1，x2，…，xn)为自变量，u=(u1，u2，…，um)为因变量，∂ju表示它关于u对x的所有j阶偏导数，即∂ju/∂xi1∂xi2…∂xij=ui1i2…ij，i=1，2，…，n，j=1，2，…，k，为了便于本文研究工作，先介绍如下定义。

定义1假设PDEs （1）的单参数Lie点变换群为

其无穷小生成元为

且对应的无穷小生成元的特征形式为

式（3）的k阶延拓为

其中

1 对称-共轭对称‘对’方法

对称与共轭对称是PDEs结构属性的两种表现形式，为了挖掘对称、共轭对称与PDEs守恒律之间的内在联系，下面运用对称-共轭对称‘对’方法［3，6-7］。

定义2PDEs （1）所对应的线性系统（Fréchet导数）为

假设PDEs（1）的对称（2）对应的无穷小生成元为（3），那么对称为确定方程组的解，即对PDEs（1）的任何解都存在一个线性系统

定义3PDEs （1）的共轭算子（共轭Fréchet导数）为

其中υ(x)=(υ1(x)，υ2(x)，…，υr(x))是任意函数，且σ=1，2，…，N。对于PDEs（1）的任何解U(x)=u(x)，满足共轭线性系统

定理 1对于PDEs （1）的任何解U(x)=u(x)，对称特征形式与共轭对称集的任何‘对’满足守恒恒等式［3］

这里

其中j1，j2，…，jq和i1，i2，…，ip是指标的有序组合，且1≤j1≤j2≤…≤jq≤i≤i1≤i2≤…≤ip≤n。

下面，利用对称-共轭对称‘对’方法分别计算Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程和（2+1）维热方程的守恒律。

1.1 Euler-Lagrange-type方程的守恒律

考虑Euler-Lagrange-type［8］方程

其中u=u(x，t)为振幅，且ε表示波的传播速率。

由公式（7）和（9），分别得出方程（13）的线性算子和共轭算子为

Lie点对称（3）的二阶延拓作用于方程（13）后得到如下三个点对称：

由公式（4）和（16），得出方程（13）对应线性系统Lηρ=0的三个特征形式解：

经计算共轭系统（18）有如下四组共轭对称解：

总之，PDEs的共轭对称集是其乘子集的子集，Euler-Lagrange-type方程的四个共轭对称和三个对称特征形式可以配对十二个‘对’，通过公式（12）得出共有五对非平凡守恒律。

经过计算，在特征形式（17）和共轭对称（19）中的其余＜η^i，υ^j＞ 进行配对，无法产生PDEs（13）的守恒律。

1.2 Cauchy-Kovalevskaya方程的守恒律

再考虑Cauchy-Kovalevskaya方程组［9-10］

Cauchy-Kovalevskaya方程式是一组刻画传输线任意点电压、电流量和传输线中间相互关系的非线性微分方程，接下来将推导其守恒律。

由公式（7）和（9），分别得出方程组（22）的线性算子和共轭算子为

用Lie点对称（3）的一阶延拓作用于方程组（22）得到如下三个点对称：

由公式（4）和（25）得出方程组（22）对应线性系统=0的三组特征形式解：

由公式（10），得到关于函数，i=1，2的共轭系统

经计算共轭系统（27）有如下五组解（共轭对称）：

Cauchy-Kovalevskaya方程的五个共轭对称和三个对称特征形式可以配对十五个‘对’，通过公式（12）得出共有四对非平凡守恒律。

1.3 （2+1）维热方程的守恒律

最后，考虑（2+1）维热方程［11］

（2+1）维热方程是描述区域温度变化的典型抛物型PDEs，其中u=u(x，y，t)表示温度。

由公式（7）和（9），分别得出方程（31）的线性算子和共轭算子为

Lie点对称（3）的二阶延拓作用于方程（31）得到如下五个点对称：

由公式（4）和（34）得出方程（31）对应线性系统Lηρ=0的五个特征形式解：

经计算共轭系统有如下四组解（共轭对称）：

（2+1）维热方程的四个共轭对称和五个对称特征形式可以配对二十个‘对’，通过公式（12）得出共有四对非平凡守恒律。

2 Ibragimov新守恒定理

著名的Nöether定理［12］建立了PDEs对称、守恒律与方程之间的紧密联系，但该定理有很多局限，如有严重依赖变分对称性等，为了更好地克服Nöether定理的局限性，Ibragimov教授提出了一个新守恒定理［5］。先看如下定义和定理。

定义4关于自变量x=(x1，x2，…，xn)和因变量u=(u1，u2，…，um)的可微函数f(x，u，…，u(s))，存在等式

则称式（40）为函数f的散度。表达式为

为PDEs（1）的Lagrangian函数，其中{va}为势函数组。

Euler算子定义为

称为PDEs（1）的共轭方程组。

定理2PDEs （1）的每个Lie对称（2）及其生成元（3）产生PDEs（1）及其共轭PDEs（43）的一组守恒律，其对应守恒量由公式

下面，利用Ibragimov新守恒定理分别计算Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程组和（2+1）维热方程的守恒律。

2.1 Euler-Lagrange-type方程的守恒律

由公式（41），得到方程（13）的Lagrangian函数

其中零阶势函数℘=℘(x，t，u)。根据公式（43），得到方程（13）的共轭方程为

经求解方程（46），得到四个势函数：

2.2 Cauchy-Kovalevskaya方程的守恒律

由公式（41），得到方程组（22）的Lagrangian函数为

其中两个零阶势函数ℏ=ℏ(x，t，u，v)，h=h(x，t，u，v)。根据公式（43），得到方程组（22）的共轭方程组为

经求解方程组（50），得到五组势函数组：

2.3 （2+1）维热方程的守恒律

由公式（41），得到（2+1）维热方程（31）的Lagrangian函数为

其中零阶势函数℘=℘(x，y，t，u)。根据公式（43），得到方程（31）的共轭方程为

经求解方程（54），得到四个势函数：

3 两种守恒律方法的比较

如前所述，本文分别利用对称-共轭对称‘对’方法和Ibragimov新守恒定理构造了Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程组、（2+1）维热方程等三类重要PDEs的若干个守恒律。对用两种方法得到的三个方程守恒律的比较见表1-2和表3。

表1 Euler-Lagrange-type方程守恒律的比较Tab.1 Comparison for conservation laws of Euler-Lagrange-type equation

表2 Cauchy-Kovalevskaya方程组守恒律的比较Tab.2 Comparison for conservation laws of Cauchy-Kovalevskaya equations

表3 （2+1）维热方程守恒律的比较Tab.3 Comparison for conservation law of （2+1） dimensional heat equation

从表1-2和表3可以看出，用对称-共轭对称‘对’方法和Ibragimov新守恒定理计算得出Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程组和（2+1）维热方程的守恒律是一致的。

4 结论

本文把对称-共轭对称‘对’方法和Ibragimov新守恒定理分别运用于Euler-Lagrange-type方程、Cauchy-Kovalevskaya方程组和（2+1）维热方程的守恒律构造中，得出诸多有效的非平凡守恒律，有效扩展了这三种重要PDEs的属性。通过对比已得到守恒律，发现两种方法之间的等价关系。上述结论对揭示三个重要PDEs的相关特征方面具有重要的实际意义，同时对挖掘现有守恒律方法间的内在相关性方面有重大的理论意义。