均布载荷作用下十次对称二维准晶梁的辛解析法

李光芳，范俊杰

（1.内蒙古农业大学 理学院，内蒙古 呼和浩特 010018；2.内蒙古自治区应用数学中心，内蒙古 呼和浩特 010022；3.内蒙古鸿德文理学院，内蒙古 呼和浩特 010000）

随着科技的发展，新材料由于具有优异性能而成为重要的研究领域，其中准晶是目前研究比较广泛的新材料。准晶体是一种介于晶体和非晶体之间的固体，具有特殊的准周期有序结构，因此准晶表现出很多优异的性能，如耐热、耐磨、高硬度、高强度等，使其具有很大的应用潜力。近年来，研究者们在准晶弹性理论方面的研究取得了很大的进展。结合势函数理论和Fourier变换法，李显方等［1］研究了一维六方准晶中的直线型位错和移动螺型位错问题。Radi和Mariano［2］运用Stroh方法研究了二维准晶中的Griffith裂纹问题。高阳等［3］采用复变函数方法研究了带有裂纹或椭圆孔口立方准晶的断裂力学问题。李翔宇［4］利用势函数方法研究了一维六方准晶中的平面裂纹问题。刘官厅等［5］运用解析函数理论研究了一维六方准晶中无限平行位错与半无限裂纹相互作用的问题。

Hamilton体系可表示一切真实的、耗散可忽略不计的物理过程，该体系广泛存在，且具有普适性。辛方法是基于Hamilton系统的分离变量法，通过求解本征值可得到弹性问题的解析解。冯康［6］于20世纪80年代初开始研究Hamilton体系的计算方法，并首次将辛方法用于计算固体力学。姚伟岸等［7］将Hamilton体系引入到了弹性力学问题求解中，突破了传统弹性力学求解时带来的高阶偏微分方程等困难。目前，Hamilton体系辛方法已被广泛应用到各个领域，如弹性力学、固体力学、流体力学等。Leung等［8］采用辛方法研究了压电复合材料板的力学性能。徐新生等［9］研究了弹性圆板屈曲问题的辛方法。王华等［10］建立了点群为12 mm准晶平面弹性问题的辛方法。周震寰等［11］在哈密顿力学框架下，研究了有限尺寸一维六方压电准晶双材料中的Ⅲ型界面V型缺口的断裂行为。乔艳芬等［12］运用辛方法分析了二维八次对称准晶的平面弹性问题。

在工程领域中，梁结构是重要的承重构件，多年来，此类结构的弹性力学性能吸引了广大学者的研究。然而，由于准晶结构的复杂性，目前准晶梁的研究较少。本文利用Hamilton体系辛方法，在建立十次对称二维准晶梁Hamilton对偶方程的基础上，求解相应Hamilton算子矩阵的零本征解及其约当型本征解，得到了其声子场和相位子场应力和位移的解析表达式，为工程应用奠定了理论基础。

1 十次准晶梁的Hamilton对偶方程

假设z轴为十次准晶的周期方向，x-y平面为准周期平面。在平面直角坐标系中，考虑十次准晶梁，其截面为平面矩形区域

根据十次准晶变形几何方程［13］

平衡方程（不计体力）

和本构方程

其中：σij，ui和εij分别表示声子场的应力、位移和应变，Hij，wi和wij分别表示相位子场的应力、位移和应变。Cij和Ki分别表示声子场和相位子场的弹性常数，R表示声子场和相位子场耦合弹性常数。引入位移向量

在不考虑体力的情况下，Lagrange密度函数可表示为

其中一点表示对x的偏导数，即

为势能密度函数。可得q的对偶变量为

由式（3），（4）和（8），可得十次准晶梁Hamilton对偶方程为

其中v=(ux，uy，wx，wy，σxx，σyx，Hxx，Hyx)T为全状态向量，为Hamilton算子矩阵。在矩阵H中，

且AT表示A的自伴算子矩阵，ai(i=1，2，…，10)和bi(i=1，2，…，6)是弹性常数（见附录A）。

由最小势能原理，可得方程

根据变分法，由式（10）可得齐次侧边边界条件为（当y=±h时）

2 Hamilton体系辛方法

2.1 分离变量法及零本征值的本征解

由分离变量法，令

将其代入方程（9），可得

及本征方程

其中μ是本征值，Y(y)是本征函数向量。

对于具有侧边自由条件的矩形区域弹性问题，必存在零本征值的本征解。通过求解零本征值的本征方程

可得基本本征解

这四个本征向量是方程（9）满足边界条件（11）的解，记作

进一步，通过求解约当型本征方程

其中上标i，(i-1)分别代表第i，(i-1)阶约当型（或基本）本征解，可得约当型本征解

其中ai(i=11，12，…，15)是弹性常数（见附录B）。这些约当型本征解可组成方程（9）的解

这些解的线性组合可表示出齐次边界问题的通解。

在此基础上，对于非齐次边界情形，求解方程

得四阶约当型本征解

其中c1，c2是待定常数，ai(i=16，17，…，20)是弹性常数（见附录C）。由式（16）、（19）和（22）可得方程（9）的一个特解为

因此，方程（9）的通解可表示为

其中，mi(i=1，2，…，11)为待定系数。

根据实际问题的边界条件可以求出通解中的待定系数mi(i=1，2，…，11)和常数c1，c2，进而可求出相应的应力和位移的解析表达式。

2.2 受均布载荷悬臂梁的解析解

作为应用，下面讨论受均布载荷悬臂梁弯曲问题的解析解。设有矩形截面的十次准晶悬臂梁，x-y平面为准周期平面，深度为2h，长度为l，不计体力，受均布载荷q，如图1。其边界条件可以表示为

当y=-h时，σyy=-q。

当y=h时，σyy=Hyy=0。

当x=0时，

图1 均布载荷作用下十次对称二维准晶悬臂梁Fig.1 Decagonal quasicrystal cantilever beam under uniformly distributed load

当x=l，y=0时，

将式（24）代入边界条件（25），可得

其中a21，a22，a23是弹性常数（见附录C）。将式（26）代入式（24），可以得到所讨论问题的应力和位移的解析表达式。

声子场和相位子场应力表达式为

声子场和相位子场位移表达式为

其中a24和a25是弹性常数（见附录C）。

从式（27）可看出，声子场应力的表达式与经典弹性力学相应问题的结果完全一致［14］。

3 数值算例

假设十次准晶悬臂梁的几何参数为：l=1 m，h=0.08 m；均布载荷为q=10 KN/m2；十次准晶弹性常数为C11=234.33 GPa，C12=57.41 GPa，K1=122 GPa，K2=24 GPa［15］。目前实验尚未测得耦合弹性常数R的值。下面讨论x=0.5 m时，耦合弹性常数R对应力和位移的影响。

图2分别表示了x=0.5 m处均布载荷作用下悬臂梁的无量纲相位子场应力随y的变化趋势。从图2可看出，相位子场应力随着弹性耦合常数R的增大而增大。

图3分别表示了x=0.5 m处均布载荷作用下悬臂梁的无量纲声子场和相位子场位移随y的变化趋势。从图3可看出，位移随弹性耦合常数R的增大而增大，且声子场位移比相位子场位移大一个数量级。

4 结论

本文建立了十次对称二维准晶平面弹性问题的Hamilton体系，在此基础上得到了均布载荷作用下十次准晶悬臂梁问题的解析解。该方法与预先确定试函数的经典半逆解法有着根本的不同，且应力和位移可以一起计算出来。Hamilton体系辛方法为准晶弹性理论的研究提供了新途径。

图2 均布载荷作用下十次对称二维准晶悬臂梁无量纲相位子场应力曲线Fig.2 Normalized stress curves of phason field of decagonal quasicrystal cantilever beam under uniformly distributed load

图3 均布载荷作用下十次对称二维准晶悬臂梁无量纲位移曲线Fig.3 Normalized displacement curves of decagonal quasicrystal cantilever beam under uniformly distributed load

5 附录

附录A

附录B

附录C