数学课应多些育人的思考——以“集合的概念”教学为例

江苏省华罗庚中学 (213200) 王国俊

最近，笔者观摩了一堂公开课，教学内容是高中数学人教A版新教材必修第一册的“集合的概念”.纵观整堂课，仍是沿袭传统知识点教学的方式，即“教师讲解知识点，学生训练强化”.虽然不能说这样的教学效果不好，但却与数学育人的目标却相差较远.“集合的概念”作为高中数学的起始课，其重要性与教学地位不言而喻，那么本节课应该如何教学？

1 在三大场景中感悟集合

众所周知，集合是刻画数学对象的重要工具与语言，它是高中数学的基础，更是现代数学的理论基础.但是作为刚进入高中的学生来说，他们不可能一开始就能体会到这些.学生对于集合的最大困惑是“为什么要学集合”，因为在他们看来集合既不是初中数学的延续，也不是初中数学的深化，似乎跟他们所学的数学关系不大.因此，集合对学生来说不仅是陌生的，甚至是内心上要抵触的东西.虽然初中也出现过所谓“解集”、“数集”的概念，但并没有把它们上升的理论层面，而是停留在感性的描述阶段，学生只要会“说”就行了.但现在要把“集合”单独提出来，作为单独的知识体系来研究，这对于学生来说是非常不理解的.因此，本节课首先要解决的就是让学生感受到学习集合的必要性，具体可以通过设计三大场景让学生感悟.

文化场景：向学生讲述“白马非马”的历史典故.让学生思考：公孙龙的说辞有道理吗？“白马”与“马”它们之间是什么关系？

生活场景：某跨国公司向全球召回有缺陷的产品，但是不包括中国地区.让学生思考：跨国公司的做法有道理吗？“全球”与“中国地区”什么关系？

数学场景：(1)求方程x2=2在有理数范围的根.如果改成在实数范围，那么方程的根是多少？(2)在平面上到定点距离等于定长的点的轨迹是什么？如果把“平面”改成“空间”，那么点的轨迹又是什么？

上述三大场景都涉及到研究的对象以及对象所在范围的问题.在“白马非马”与“产品召回”例子中，涉及到了子集的概念；而在“数学场景”中不仅涉及到了“数集”“点集”的概念，而且还明确告诉学生“对象所在的范围不同，所得到的结果也不同”.通过上述三大场景，让学生认识到要研究数学对象，首先必须要明确要研究的对象以及所在的范围，而“集合”正是刻画对象以及对象所在范围的工具.

2 在真实情境中理解集合

集合是一个只给出描述而没有给出严格定义的数学概念.教材中所描述的“一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素的组成的总体叫做集合”的定义，严格意义上并不能被称作为集合的定义.对于集合定义的理解依赖于集合的三要素，三要素浓缩了集合的所有属性.因此，只要把三要素搞清楚了，集合的概念也就理解了.有些老师的教法是直接给出“三要素”，然后让学生记忆，而没有让学生经历一种发现、建构的过程，这样的教法其实是不可取的.较易理解的教法应该是让学生在真实的情境中建构并理解集合的三要素.

对于“确定性”，可以让学生举出“你认为可以构成集合的对象”，学生可能会举出“著名的数学家”、“有趣的故事”等类似的例子，在此基础上，让学生思考“怎样的数学家算是著名”、“怎么样的故事算是有趣”，从而发现构成集合的对象一定要“确定”，不能“模糊”或者出现“歧义”.

对于“唯一性”与“互异性”这两个特性，可以让学生在真实的情境中提取.例如，小明刚进入高一(1)班就读，请问高一(1)班的学生能构成集合吗？显然是可以构成集合的.那么，在高一(1)班中会出现两个一模一样的“小明”吗？这显然是不可能的，从而引出“唯一性”的特征.再继续思考，如果高一(1)的学生间调换了座位，那么高一(1)这个集合有么有发生变化？因为构成集合的元素没有发生改变，所以集合依旧不变，由此引出集合的“互异性”.

集合与生活息息相关，通过贴近生活的例子来研究几何的性质，更容易被学生接受与理解，更能够帮助学生形成有联系的观点和看问题的意识.

3 在实践操作中表示集合

集合的表示是本节课的教学难点，尤其是描述法.首先应让学生明确引进描述法的必要性，因为列举法无法表示所有的集合，只能引入新的表示方法.其次还需要明确描述法的本质，它是“对具有共同特征元素的描述”，因此，要把共同属性这个本质特征给凸显出来.但是很多教师在教学中却忽视了这一点，而是直接教学生“如何书写”，从而导致学生只知其然，而不知所以然.正确的做法应该怎么样呢？

例如，对于不等式x-7>3解集的表示，可以先让学生思考两个问题，即“满足不等式x-7>3的所有元素在不在这个集合中？”反过来，“集合中的元素满不满足不等式x-7>3”，通过纯粹性与完备性的检验，从而让学生体会到用描述法表示集合必需要凸显“元素共同特征”，在此基础上再给出描述法的格式{代表元|共同特征}.

接下去还要通过具体的实例，让学生逐步掌握表示的方法.可以让学生尝试表示“奇数集”，教师则用问题串来启迪学生的思维.“如何表示奇数”，“是否所有的奇数都满足x=2k+1这种形式，反过来满足x=2k+1这种结构形式是不是都是奇数”，“参数k应该满足什么条件”，于是奇数集{x|x=2k+1,k∈Z}的表示自然生成.

为了让学生更好的掌握描述法，教师还可以故意“犯错”来强化正确的书写格式，例如，{1

4 在文化融入中升华集合

集合的产生具有丰富的历史背景，如果在教学中不能让学生体会到这一点，不能说整节课是失败的，但至少是留下遗憾的.因此，在本节课的小结环节，教师应该向学生呈现集合论产生的历史原因以及数学家康托尔在创立集合论过程中的种种艰辛.进一步引入“理发师悖论”、“希尔伯特旅馆”等经典问题来进一步丰富本节课的教学.让学生在感悟数学文化的同时，对集合有进一步的认识；在感悟数学家智慧的同时，也体会到数学家所表现出来的那种锲而不舍、勇于探索的精神，从而使数学的德育功能得到进一步凸显.最后，在回到“白马非马”这个典故中，让学生用集合来表示这个“白马”和“马”，说明这个两个集合到底是什么关系，从而为下一节课“集合间的基本关系”做好铺垫.

当然，理解数学内容的本质是落实数学育人功能的前提.因为只有在理解数学内容本质的基础上，才能创设出符合育人价值的教学情境、提出有数学含金量的问题,才能启发和引导学生的思考和探索活动.