一道高中数学预赛试题的多解探究及推广

贵州师范大学数学科学学院 (550025) 刘远桃

1.试题呈现

分析：这是2022年全国高中数学联赛江西赛区预赛试题中的一道根式函数求最大值问题.我们知道根式函数不易直接求得最值，解题思路可以分为两个，一个是对式子化简、变形，凑出“xy+yz+zx”项，从而将条件式子整体代入得到最大值；另一个是通过换元将原式有理化，或者将其变得更具特点，从不等式的角度进行求解.因此，如何将函数表达式化简和变形，将问题化归和转化，成为解答此题的关键.

2.试题解析

评注：此解法利用换元法将根式函数有理化，再借助不等式知识，求出最大值.

评注：此解法通过“先设后求”思想，将最值问题转化为不等式问题，利用基本不等式，求得最大值.

评注：此解法通过“先设后求”思想，将最值问题转化为不等式问题，利用算术平均数与幂平均数之间的关系，求得最大值.

评注：此解法通过换元法将问题转化，再利用函数的切线性质，求得最大值.

评注：此解法通过换元法将问题转化，再利用函数凹凸性和琴生不等式，求得最大值.

一题多解是建立在扎实的数学知识、深刻的理解问题核心和掌握丰富的解题策略基础上的，可以培养和加强学生的全面分析问题的能力、综合运用知识的能力和数学思维能力[1].通过上述六个视角的六种解法，体现了一题多解思维，同时将函数最值问题与不等式相结合，寻得更多的解题思路，体现了化归与转化思想.

3.试题推广

1.一般化：即对不等式中所含数字一般化.

2.增元：即改变不等式中未知数的个数.

3.变幂：即改变不等式中未知数的幂.

4.加权:即改变不等式的结构形式.

数学具有严谨的逻辑性，提倡“大胆猜想，小心求证”.利用柯西不等式可以证明推广1、2、3、4；利用琴生不等式可以证明推广5和推广6；而推广7的证明则是另外的思路.下面例举推广1、推广5和推广7的证明过程，其他推广的证明不再叙述.

推广是数学学习、数学研究和数学发展的重要手段和途径.在数学学习中，推广可以加强对观察、分析、比较、综合、概括、归纳、类比和发现能力以及创新意识等的培养；在数学研究中，推广可以加深对问题本身的认识和理解，可以产生新问题和新方法；在数学发展中，推广可以引导数学发现，可以产生新定理和新理论.