Hopf群余代数上对角交叉积的Maschke型定理

罗晓芳，张颖颖，陈笑缘

Hopf群余代数上对角交叉积的Maschke型定理

罗晓芳1，张颖颖2，陈笑缘2

（1.义乌工商职业技术学院，浙江 金华 322000； 2.浙江商业职业技术学院，浙江 杭州 310053）

构造了Hopf群余代数上对角交叉积代数结构，给出了其为Hopf群余代数的充要条件，证明了其表示范畴同构于Yetter-Drinfeld群模范畴，并将Hopf代数理论中经典的Maschke型定理推广至Hopf群余代数的对角交叉积。

Hopf群余代数；对角交叉积； Maschke型定理

Quasi-Hopf代数上的对角交叉积结构由MAJID［3］引入。在交换Hopf代数上，将L-R Smash积和Kadison积作为对角交叉积的典型例子。文献［4-5］不仅讨论了相关结构，而且证明了对角交叉积的表示范畴同构于Yetter-Drinfeld模范畴。

首先构造了Hopf群余代数上对角交叉积代数结构，其次给出了Hopf群余代数的充要条件，再次证明了其表示范畴同构于Yetter-Drinfeld群模范畴，最后将Hopf代数理论中的Maschke型定理［6］推广至Hopf群余代数的对角交叉积。

显然有，

引理1得证。

对极定义为

等式左边为

等式右边为

定理1获证。

引理4获证。

经以上准备，下面给出Maschke型定理。

［1］ VIRELIZIER A. Hopf group-coalgebras［J］. Journal of Pure & Applied Algebra， 2002，171（1）：75-122. DOI：10.1016/S0022-4049（01）00125-6

［2］ ZUNINO M .Yetter-Drinfeld modules for Turaev crossed structures［J］.Journal of Pure & Applied Algebra，2004，193（1-3）：313-343. DOI：10.1016/j.jpaa.2004.02.014

［3］ MAJID S. Quantum double for quasi-Hopf algebras［J］. Letters in Mathematical Physics，1998，45：1-9. DOI：10.48550/arXiv.q-alg/9701002

［4］ CAENEPEEL S ， MILITARU G， ZHU S. Frobenius and separable functors for generalized module categories and nonlinear equations［M］// Lecture Notes in Mathmatics 1787. Berlin：Springer Verlag， 2002.

［5］ HAUSSER F， NILL F. Diagonal crossed products by duals of quasi-quantum group［J］. Reviews in Mathematical Physics， 1999， 11（5）：563-629. DOI：10.1142/S0129055X99000210

［6］ MONTGONERY S. Hopf algebras and their actions on rings［M］// CBMS Regional Conference Series in Mathematics（Vol 82）. Los Angeles： AMS， 1993. DOI：10.1090/cbms/082

［7］ ZUNINO M.Double construction for crossed Hopf coalgebras［J］. Journal of Algebra， 2004，278（1）：43-75. DOI：10.1016/j.jalgebra.2004.03.019

The Maschke-type theorems of diagonal crossed products over Hopf group coalgebras

LOU Xiaofang1, ZHANG Yinyin2, CHEN Xiaoyuan2

1，322000，，；2，310053，）

In this paper, a diagonal crossed product over a Hopf group coalgebra is constructed, and the sufficient and necessary conditions for it being a Hopf group coalgebra are given. Then we prove that the representation category of a diagonal crossed product over a Hopf group coalgebra is isomorphic to the category of Yetter-Drinfeld π-modules and extend the classic Maschke-type theorem of Hopf algebra to diagonal crossed products over Hopf group coalgebras.

Hopf group coalgebra; diagonal crossed product; Maschke-type theorem

O 153.3

A

1008⁃9497（2023）01⁃016⁃04

2021⁃09⁃24.

罗晓芳（1964—），ORCID：https：//orcid.org/0000-0002-5855-2890，女，硕士，主要从事数学与教学研究.