两个“尴尬”的证明引发的思考

张网军 苗长青 (江苏省泰州市姜堰区罗塘高级中学 225500)

在江苏教育出版社版高中数学新教材必修一“指数函数的概念和性质”中，指数函数的单调性结论是利用图象观察归纳出来的，而一个结论必须经过严格证明才是可靠的.由于教材对此结论的证明不作要求，因此，笔者鼓励学有余力的学生自己尝试证明，结果班上有两位学生证明如下：

求证：y=2x为增函数.

生甲：设x10，2x2-x1>20=1，即2x2-x1-1>0.又因为2x1>0，所以y2>y1，故y=2x为增函数.

这两种证明十分“尴尬”，都用到“当x2-x1>0时，2x2-x1>20=1”这一结论，而这一结论的成立本身就是因为y=2x为增函数才得到的，显然这是用结论本身来证明结论，犯了循环论证的谬误.其实要说明当x2-x1>0时，2x2-x1>1，我们只要考察幂函数y=xx2-x1的单调性便可.因为在学习指数函数之前，已经学习了幂函数，所以证明修正如下：

设x10，由于幂函数y=xx2-x1在(0,+∞)上是增函数，又因为2>1，所以2x2-x1>1x2-x1=1.又因为2x1>0，所以y2>y1，故y=2x为增函数.

思考1为什么学生会犯循环论证的谬误？

循环论证，是指用来证明论题的论据本身的真实性要依靠论题来证明的逻辑错误.也就是说论证的前提就是待论证的结论.学生在证明一些常见定理或者结论时常常会不经意间犯这种错误，这主要是因为学生在已有数学知识的基础上进行命题的论证时，往往缺乏一定的数学逻辑，会将一些命题中不存在的条件作为已知条件(而不自知)，导致解题过程不能达到“句句有理，步步有据”.要避免这种谬误，首先需要不断加强逻辑思维能力的培养，了解证明过程中每一步的依据是什么.其次，教师在平时的教学过程中，不能只在乎对结果的运用，还要重视数学知识的生成和发展过程，让学生真正能够知其所以然.最后，还要重视学生对知识的探索能力，不能让学生只是学会简单的模仿，要注重引导，从教知识上升到教方法、教思维.

思考2新教材中为何要将幂函数放到指数函数之前学习？

笔者认为主要有以下几个原因：

(1)苏教版新教材的数学必修一是紧随初中教材而设计的，在初中学生已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数等初等函数，而这些函数都是由幂函数构成的，所以，将幂函数放在指数函数和对数函数之前，有利于学生从初中已学函数中进行类比推理，由特殊到一般，更深刻地理解和研究幂函数的基本性质.

(2)幂函数与指数函数形式上具有极高的相似性，学生在做题过程中往往难以分辨这两类函数，从而错误解题.所以将指数函数紧随其后，便于学生区分这两类函数的结构形式.

(3)在初中数学的学习中，学生已经知晓幂的概念——幂指乘方运算的结果，在高中进行幂函数的研究时，学生会充分进行联想，发散思维.教材对幂指对函数顺序调整，便于学生阅读教材，易于学生理解，能激发学习兴趣.