透过巧合表象 溯源问题本质——一道几何问题的探析与思考

肖 霄 (重庆复旦中学 400010)

1 问题提出

在参加暑期教师研修时笔者遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，AD∶DC=1∶2，点P是BD上一点，∠APC=135°，求PD的长.

图1 图2

在随后的解法赏析中，其中一种方法引起了笔者极大的兴趣.如图2所示，这里“辅助圆”的由来是因为∠APC=135°，由题目条件AB=BC和∠ABC=90°容易知道△APC外接圆的圆心为点B关于AC的对称点(点O).由图2，若点P，D，E共线，即CP⊥BD，则有∠APE=∠ACE=45°，反之亦然.这看似巧合的表象背后究竟隐藏着怎样的问题本质，对于我们核心素养培养理念下的中学数学教学又有着怎样的指导意义，这值得我们做进一步的思考.

2 探析与改编

2.1 解法探析

对一道题目条件的普遍化、特殊化或类比和要解的题目之间的联系是一种探寻解题思路的 有效方法[1].由此，我们对问题做适当的条件特殊化：如图3，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，AD∶DC=1∶2，CP⊥BD，试说明∠APC=135°.

图3 图4

对比条件特殊化后的问题和原问题，不难看出当CP⊥BD时有∠APC=135°，那么当∠APC=135°时是否一定有CP⊥BD？这是肯定的.如图5所示，若没有CP⊥BD，则无法满足∠APC=135°(此时∠APC>135°或∠APC<135°)，这就是前文图2中的点P，D，E共线，看似“巧合”背后蕴含的必然缘由.

图5

2.2 问题改编

为了突破学生认知结构的差异性以及当前教材还难以厘清的某些知识结构、联系和规律的桎梏，教师有必要对问题进行适当改编.结合学生的认知基础并将教学内容纳入整个单元知识体系的全局中思考，从而加强各知识、技能方法之间的连续性和衔接性，问题改编可着重从这样几个方面加以考虑：(1)对若干个单元或整个几何知识板块中的条件相似或方法可借鉴的问题进行有机的整合、串联或并联，引导学生有意识类比知识和技能间的联系；(2)把握问题的本质，精心研究解答过程，探析问题解法的由来，在契合学生认知水平的基础上对问题进行必要的简化，或横向拓展、纵向延伸；(3)引导学生在观察、实验、类比、直觉、推理和归纳基础上可自主探索的开放性或探索性结果的问题；(4)在充分考虑学生个性化发展的基础上，通过一般化或特殊化条件或者改变问题的条件与结论，调动各层级学生积极参与“问题解决”为导向的学习活动，促进其差异性发展，真正实现数学的育人价值.

改编1 如图6，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，AD∶DC=1∶2，CP⊥BD，求CP的长.

图6 图7

改编2 如图7，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，P是△ABC内一点，若PB=1，PC=2，∠BPC=135°，求AP的长.

改编3 如图8，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，P是△ABC内一点，∠APC=135°，求BP的最小值.

图8 图9

改编4 如图9，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，AD∶DC=1∶2，CP⊥BD，延长CP交AB于点E，证明点E为AB的中点.

改编5 如图10，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点P是BD上一点，CP⊥BD且∠APC=135°，猜想线段AD和DC的数量关系，并证明你的猜想.

图10

改编6 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC边上一点，连结AD.

(1)如图11，将AD绕着点A顺时针旋转90°至AE，连结BE，交AC于点F，若F为AC中点，BD=4，求AE的长.

图11

图12 图13

在几何证明时，学生不仅要处理相关图形，而且要理解图形背后所表示或隐含的信息，如在前文题目中未有CP⊥BD，但综合题目信息却可得出这一重要的隐含结论.因而在以问题驱动为主要模式的几何教学中，教师在问题改编时应注意立足于学生已有的学习经验，把握其认知结构水平，通过梯度化的问题设置，贴近学生认知的最近发展区，从而更好地调动学生参与学习活动.特别需要注意的是，在对某一典型问题解题思路和方法的精准剖析下，改编问题或重构图形时不应只是简单地改变一下边的长度或者角的度数，而应遵循弱化条件使其图形结构一般化，或强化条件使得图形特殊化，着力于通过一系列的变式问题串使得学生厘清问题之间的联系和区别，建构起对知识和方法技能更为合理的认知结构.如改编的问题1～问题3，简化了原问题的条件，图形因此变得更为简略，但涉及的知识和方法却是贯穿整个中学几何学习的勾股定理、旋转变换和圆.改编问题4强化了题目条件，引导学生回顾原问题的求解过程和所学的中位线知识，从而转化问题，找到突破口.改编问题5中尽管图形没有变化，但将原问题的结论和条件变换了位置，同时不再给出线段间关系再要求证明，而是一种开放式的问题设置方式，学生需要观察、甚至直觉猜测并仔细回顾利用“辅助圆”求解原问题时，其中还需厘清的几何关系还有哪些，这在潜移默化中培养题后反思的好习惯.

改编问题6减少原问题的条件的同时加入新的条件，重构了图形，此时应引导学生结合已有文字、符号和图形信息，将题目中未告知但较容易得到的隐含信息补充为题目条件，如第(1)小问中易知∠BAD=∠CAE，易证CE=BD，第(2)小问中△DMN和△DMA为等腰三角形，第(3)小问中DP=DB等，在此基础上启发学生进一步思考：过去解题中遇到中点、等腰三角形、动点到定点的距离保持不变时最容易联想到什么？以往解题中遇到此类条件时是如何处理的？这就容易激活学生已有解题经验，从而尝试通过诸如图14～图16这样的“辅助线或圆”将题目中条件有机整合，进而形成环环相扣、内在逻辑通畅的信息链，逐步明晰原有图形中隐含的几何性质与关系，从而拓宽解题突破口，最终打开问题解决的思路.

图14

图15 图16

3 教学思考

几何中问题情境及其数学关系虽然抽象，但对学生而言是富有意义和直观的，几何内容的学习与学生认知发展水平比较吻合，几何可以让学生在不需要掌握太多系统知识的前提下体验到数学的严谨，学生自身即可判断检验解题过程的正确性，几何证明的结果常常令人惊奇：往往只需要很少的条件就能得到很漂亮的结果，等等[2]292.因此，科学开展几何问题教学将是培养学生几何直观和推理能力的重要途径.鉴于此，笔者认为可从以下三个方面加以考虑.

3.1 重视方法，明晰几何直观内涵

尽管几何题是一类十分有益的问题解决活动，但几何问题，特别是其中的证明题，对学生而言确实比较困难，这是因为几何证明题，由于需要厘清其图形背后隐含的几何关系，往往具有多种途径，而非只是单一、线性的方法，是一种综合几何直观和逻辑推理的演绎证明.课标将几何直观和推理能力列为中学数学教育两大核心素养，日常教学中应以此为培养的核心目标.这里的几何直观主要是指利用图形描述和分析问题.由于圆特殊的图形性质(旋转以及轴对称)，特别是圆上同(等)弧、弦和圆心角、圆周角之间灵活的对应变换形成的“共圆”关系，借助圆的几何直观性，往往有助于挖掘出问题隐含的几何关系和性质，从而拓宽问题突破口.如前文改编问题6中第(2)小问：由题目中条件AD=DM，以及由DM绕点D逆时针旋转90°至DN得到的DM=DN，易知点A，M，N在以点D为圆心、AD为半径的圆上，如图17所示，从而由∠MDN=90°知∠MAN=45°.结合所要证明问题，容易想到过点N作AM的垂线，结合∠MDN=90°，此时又有“共圆”关系出现，如图18所示，由此易知∠DHN=135°，∠DNH=∠DMB.结合题目条件，容易证明△DNH≌△DMB，至此问题求解的思路愈发清晰.

图17 图18

基于以上分析，在几何教学中，教师应重视和探索圆的几何直观性的教学价值，探寻问题中“辅助圆”成立的条件化、方法的合理化、思路形成的自然化，使学生充分明晰课标中几何直观的内涵，使不同层次学生得到相应的解题能力提升.

3.2 回归教材，凸显问题本质

相关调查研究业已表明，有78%的学生不能完成几何证明题的原因是缺乏相应的几何知识[2]292.教材作为中学数学知识的主要载体，是课标理念和目标的集中体现.由于一道题目中无法集中体现重要的知识和技能方法，同时问题条件的呈现是否考虑到学生认知基础的差异性，是否贴近其思维的最近发展区，因此在准确了解学生已有认知水平，在详尽掌握问题涉及的知识技能的基础上对问题作必要的改编显得尤为重要.

任何有效的问题改编前，教师都应详细研读教材透析课标精神，紧紧把握课标要求，从单元整体教学的角度厘清知识间关联.

在问题改编中，不可脱离教材盲目拔高，应注重回归教材，对典型问题进行梯度化的变式改编：一方面将教材中蕴含的数学思想、方法及技能渗透其中凸显问题本质，如前文的问题改编立足于教材中的勾股定理、中位线、旋转变换、相似变换、三角函数和圆等重要知识和思想方法；另一方面从认知难度“降低”和“提高”的角度吸引各个认知水平阶段的学生参与学习活动中，启迪其从多角度探寻问题思路，并培养题后反思、归纳总结方法的学习习惯，从而促进其透视教材和问题中知识与技能、思想和方法之间的联系和区别，充分感受到知识从发生、发展到应用的完整过程，优化认知结构，真正从过去的题海中解脱出来，推动素养培养为核心目标的课标理念的达成.

3.3 关注差异，注重情感态度价值观

数学教育的价值决定了应以学生为中心，注重学生个性化发展，不只关注认知能力，还应包括情感态度和价值观等非认知因素，这些都离不开让学生形成对数学正确的信念，而这种正确的对数学的体验和认识取决于教学活动.对此数学教育专家匈菲尔德就认为：“如果我们相信数学学习是很有用的，而且数学式的思维是很有价值的，那么课堂教学就必须反映这些信念.因此，我们必须创设出一种学习环境，在这种环境中，学生能够积极地体验数学.”[2]199因此，在问题改编时应充分考虑学情，将学生认知基础的差异性充分纳入到问题改编中，通过特殊化题目条件或图形，或将题目条件或图形结构弱化其原有的特殊性，以认知基础较薄弱学生作为问题改编的出发点，突出条件、图形理解的低起点和方法技能的宽口径.这种层次化的问题串设置降低了认知难度，能帮助能力不足而产生畏难情绪的学生积极参与问题探索，从顺利解题中增强信心，改善数学学习的态度.

同时，问题改编不可忽视高立意，涂荣豹教授指出：数学学习的有效开展离不开高水平的智力参与[3].正如前面的问题改编所展现的一样，高立意是指学生通过对前面所学的反思，通过观察、类比和推理，甚至直觉等一系列智力活动挖掘图形背后蕴含的几何关系.如前面的改编问题6的第(2)小问，通过观察图形特征，由题目中AD=DM，以及由DM绕点D逆时针旋转90°至DN得到的DM=DN，类比三角形全等判定所需条件，学生会尝试通过图19这样的思路对问题加以推理证明.

图19

整个过程都离不开积极主动和不畏困难等相应的良好情感态度和价值观的参与，学生在这一过程中也在不断增进自我认可度，获得充足的个人思维建构体验.因此，教师应充分认识问题改编的育人价值，使得不同认知层次的学生都能从数学学习中获得不同的发展.