极值点回代时“超越式(数)代换”是通性通法吗?

从 品 (江苏省南京市金陵中学 210005)

教师将总结的正确经验教给学生有利于他们形成正确的基本活动经验，但有时若把基于自己解题活动而轻率总结的经验教给学生，这些经验虽未经证伪但可能是错误经验，则会误导学生.例如导数中的隐零点问题之后常常跟随极值点回代过程，一些教师将极值点回代时“超越式(数)代换”这一经验方法当做通性通法教给学生，这是否妥当呢？这一经验方法是否真的是通性通法呢？本文对此展开探究.

1 问题背景

一份高三模拟试卷上有一道利用导数证明不等式的试题，难度较大，学生得分率较低，但学生在课后订正和研究时产生了很大的好奇与兴趣，在备课组教师间也引起了热烈的讨论，故而请一位教师就该题评讲开展一次观摩课，供师生相互学习、讨论.

开课班级是江苏省首批高品质示范高中一个物化生组合班级，班级层次较高，学生成绩较优秀.

2 教师授课简要过程

试题 已知函数f(x)=(x+2)lnx-e(x-1)，x>1，证明：f(x)>0.

本题来源于试卷，学生考后对本题进行了一些尝试和探究，因此已有一定的了解.本题是典型的利用导数证明不等式问题，其证明方法主要是隐零点与极值点回代法，对于这一类型试题及其方法教师之前已多次涉及、讲解并训练，因此学生对此类问题和方法有一定的了解和基础.

在评讲该试题之前，授课教师先引导学生回忆隐零点与极值点回代问题的一般处理方法，在学生激烈讨论、回答并补充以及教师总结下，师生基本达成一致认识.

共识1 隐零点与极值点回代问题的一般处理方法

对于导函数f′(x)，如果由零点存在定理易知其存在零点，但难以通过解方程求出其具体值，这样的零点通常称为隐零点.对于隐零点，我们需要退而求其次得到它的两个条件，一是隐零点所在的范围(即零点的精度)，二是隐零点所满足的关系式(即零点的关系)，以供后续解题使用.

分析单调性，判断隐零点(记为x0)是极值点，故而f(x0)是极值，一般情形下原问题可转化为证明f(x0)>0.因为此处x0是隐零点(难以求得具体值，只有其粗略范围)，如果直接将f(x0)函数化，则又回到了原问题，产生死循环.所以通常是先将极值点x0所满足的关系式代入f(x0)，即极值点回代，然后再函数化，进而借助导数工具完成不等式证明.

共识2 隐零点与极值点回代问题的常见注意点

对于稍微复杂、灵活的同类问题，有时需要将粗略的隐零点范围优化、修正到合适精度，而合适精度主要取决于零点存在定理那一步的计算难度和后续证明过程能否顺利完成，有时需要多次尝试.

极值点回代时应该消去超越式部分，因为超越式部分难以计算，且与代数函数格格不入，便于计算才能解决问题.

在达成以上共识后，师生合作开始尝试评讲并研究该试题.

所以f(x)在(1，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，+∞)上单调递增.

因为f(1)=0，要证当x>1时，f(x)>0，即要证f(x2)=(x2+2)lnx2-e(x2-1)>0.

基于之前师生所达成的共识以及学生所掌握的水平基础，大多数学生易于理解并可以完成前半段的解题过程，因此师生所关注的难点都在后半段.然后，教师先展示了不做极值点回代会产生的问题(续解1)并加以解释，强化学生对极值点回代步骤的理解.

续解1 令g1(x)=(x+2)lnx-e(x-1)，x∈(2，e)，即要证g1(x)>0.

因为x2是隐零点(难以求得具体值)，所以无法求得f(x2)的具体值，故而难以直接证明f(x2)>0.然后易于想到将待证不等式进行函数化处理，进而借助导数工具完成证明.但是如果直接将f(x2)看作函数g1(x)，注意到g1(x)和f(x)的表达式相同，所以又回到了原问题，产生死循环，这是因为在函数化之前没有做极值点回代所导致，所以在函数化之前，需要先将极值点x2所满足的关系式代入f(x2)，然后再函数化.但之后的极值点回代与其后的证明过程却十分困难，充满荆棘.

续解2在极值点回代时消去超越式lnx2，是最容易想到的极值点回代之法，也符合一般的解题经验，因此不仅大多数教师如此总结经验方法(共识2)并教给学生，而且很多教辅也如此总结，但这里却没能解决问题，需要探求其他方法.

在学生反复尝试却一筹莫展后，教师展示了如下方法.

续解3与试题答案所给解析一致，但答案解析并未作其他解释.续解2和续解3也正是师生产生好奇与费解之处，续解2的解法最符合一般经验，能解决大多数的极值点回代问题，但在本题中却未能奏效.续解3反常规而行，将常数e代回f(x2)，竟神奇般地解决问题，犹如神来之笔.

学生听完教师的讲解与点评，个个瞪大了眼睛，频频点头，显示出极大兴趣，感觉神乎其技，似有所获，如释重负；教师也备受鼓舞，兴致勃勃，进而又解释一番超越数回代的好处.

但笔者坐在教室后面听课时产生了极大的怀疑：其一，教师只是告诉学生超越数代换是超越式代换的一种特殊情形，建议学生在超越式代换行不通时也可尝试超越数代换，但并未解释透彻续解2不行而续解3可行的真正原因；其二，超越式代换和超越数代换究竟是通性通法呢，还是一种机缘巧合呢?于是带着一头雾水的好奇与不解，笔者听课后对此展开了深入研究.

3 问题探究

续解2和续解3只是极值点回代形式不同才导致结果差异甚大，究竟是具体哪一步不同才产生了决定性影响呢?

从代数变形角度而言，两者并无本质区别.

图1

再然后，通过单调性分析，得知函数g2(x)和g3(x)在(2，e)上均单调递减，所以g2(x2)>g2(e)，g3(x2)>g3(e)，但是g2(e)<0，而g3(e)>0，易知这一差异结果是由g2(x2)>g2(e)与g3(x2)>g3(e)这两个放缩的差量不同而导致的.到此，所有疑问都归结于：为何这两个放缩的差量是不同的呢？

我们用极值点回代后的原始(尚未化简的)代数式来表示这两个放缩得：

由以上分析可知，通过适当控制相同放缩差量所乘系数的大小，应该可以完成证明，因此可以对续解2作如下修正.

此法将续解2中放缩部分lnx2的系数构造成较小正数x2-2(因为x2∈(2，e)，所以x2-2>0)，从而使得整体放缩更精细，因此可以完成证明.事实上，lnx2的系数并非一定要缩小到x2-2，缩小到x2也可以完成证明.

所以f(x2)=(x2+2)lnx2-e(x2-1)=x2lnx2+2lnx2-e(x2-1)=-2-x2+ex2+2lnx2-e(x2-1)=2lnx2-x2+e-2.

此法将lnx2的系数控制为x2，整体放缩精度强于续解2，但弱于续解2修正，使得恰有g2(e)=0，恰如其分地完成证明，而且证明过程更加简洁.

在续解2中，极值点回代时消去超越式 lnx2，却没能完成证明；而在续解2的修正和再修正中，并没有消去全部超越式lnx2，反而可以完成证明.

结论 由以上分析可知，极值点回代时超越式代换和超越数代换并非通性通法，只是一些情况下的经验积累，其能否解决问题具有一定的偶然性.解决问题的关键在于控制放缩精度，此外还需要控制放缩部分所乘系数的大小，从而使得整体放缩更加精细，如此才更利于完成解题.

4 小结与反思

由前文探究与分析可以看到，极值点回代时超越式代换和超越数代换并非通性通法，只是一些情况下的经验积累.如果贸然将此经验教给学生，必然会对学生产生一定的误导，倘若学生在大考中遇到同类灵活难题，必然会束手无策，无计可施.因此教师在总结解题经验时务必要谨慎推敲，反推斟酌，甚至努力证实，尽力确保总结经验的合理性与正确性.

教师在将方法经验教给学生时，不应上升为绝对的通性通法.

一方面，长期绝对的通性通法会养成学生的惰性，遇到“通性通法”不能解决的问题时容易直接放弃而不做丝毫挣扎，如此则会窄化学生的眼界，阻碍学生的思考，打击学生的探究.挣扎才是突破能力束缚的最大力量，自主思考和探究才能形成自己的基本活动经验，这就需要教师引领学生用辩证的眼光看待方法经验，并努力抓住方法失效与认知矛盾的关键时机，适时引导学生开展深度学习与深入探究.“基于探究的数学教学能 创造自由呼吸的课堂，只有自由呼吸的课堂才能让学生自由想像，使学生富有创新精神并能付诸实践.”[1]

另一方面，解题本就没有万能之法，更没有绝对优和绝对烂的方法，一切方法都要看适用性.在传授方法经验的同时，更应该强调方法的适用性和优劣性，引导学生关注一类问题共有哪些常见方法、各种方法的优劣利弊，以及各种方法可行与不可行的关键原因，甚至还要总结每种方法能够解决哪些问题.如此辩证的视角才是理性的数学眼光，如此辩证的思考才是理性的数学思维.引导学生辩证地看待方法经验，利于培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界.

“在解题教学中比告诉学生解题方法更重要的是指导学生自主探究解题思路，知道怎样找到解题思路，如何寻找题眼(即解决问题的突破口)，如何比较各种解法的优劣以及适用范围.教师不仅要展示正确的解题思路，还要暴露自己解题中的思维过程、错误与困惑，不仅要展示学生在解题过程中的优美解法和思维闪光点，更要鼓励学生暴露解题过程中的错误，揭示形成错误的原因，还要善于从学生的错误中发现创新的萌芽.教师还必须重视对学生解题方法和学习方法的指导，揭示知识与方法、技能之间的内在联系，把自己成功的学习经验和失败的教训及其形成的原因和盘托出，供学生借鉴.”[2]