消除差异促转化 分解因式是坦途——对一道不等式竞赛题的探究

龚小敏 (江苏省通州高级中学 226300)

2022年阿塞拜疆、保加利亚数学竞赛题中有如下一道不等式题：

不等式(1)的左边是一个整式，右边是一个3次根式.按照常规思维容易想到对不等式两边进行3次乘方而去掉3次根式，如果在这样做之前利用已知条件和不等式进行“化不同项为相同项”的消除差异处理，那么就会简便转化过程，收到事半功倍的效果.

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评析以上三种证法都是消除差异之后，通过换元，对不等式两边实施了3次乘方，同时使用了两数和的立方公式.如果不这样做还有其他方法吗？注意到不等式(1)右边是3次根式，联想到三元均值不等式，将不等式(1)左边稍加变形，即可获得下面的证法.

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评析证法4从均值不等式入手进行转化，虽然较前面三种证法复杂了一些，但是却从另一个角度给出了证明，仍不失为一种有益的探究.四种证法都离不开消除差异这个核心点，最后都归结到利用分解因式使证明圆满完成.

对上述证法深入分析，可以获得下面几个变式：

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证明不等式(13)等价于x+y+z+4≥

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由t≥3知t5+3t4+18t3+54t2-387t-9≥34t+34t+18×9t+54×3t-387t-9=99t-9>0，由此可知不等式(18)成立，从而不等式(16)成立.

变式4 设x,y,z>0，xy+yz+zx=x+y+z，求证：(x+y+z)(x2+y2+z2)+2≥

证明不等式(19)等价于(x+y+z)[(x2+y2+z2)-2(x+y+z)]+2≥

由t≥3知3t5-3t4+3t3+21t2-82t-4=t4(t-3)+2t5+3t3+21t2-82t-4≥2×34t+33t+21×3t-82t-4=170t-4>0，由此可知不等式(21)成立，从而不等式(19)成立.

对前面的竞赛题，如果保持已知条件不变，只是改变不等式(1)左边常数3的数值，那么可以得到如下推广.

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