高考试题中数学建模素养的融入——以“数列”专题为例

刘凯月 (华东师范大学教师教育学院 200062)

数学建模主要指从现实问题情景出发，构建数学模型并进而解决问题的素养[1]，即从现实问题中选取研究对象，将其中的关系转化为数学语言和数学符号，寻找对应的数学模型，探索更简单快捷的解题方法.这一素养考查学生的逻辑思维、动手实践、举一反三等综合能力，故与其他几大核心素养密切相关，因此提高学生的数学建模素养及能力在日常教学中十分重要[2].

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出数列不仅是一种特殊的函数，而且是研究其他类型函数的工具，日常生活中也处处体现着数列的应用，如贷款、人口增长等，其中蕴含着丰富的数学思想和方法，对提高学生的数学抽象、数学运算、数学建模和逻辑推理等素养起着十分重要的作用[3].因此本文关注数学建模素养在数列中的融入，并期望为之后的考查及评价提供若干建议.

1 高考试题分析

本文选取了近五年(2018—2022年)高考数学试题，包括全国甲卷(文数、理数)、全国乙卷(文数、理数)、新高考I卷、新高考II卷、北京卷、天津卷、浙江卷、上海卷、江苏卷、全国I卷(文数、理数)、全国II卷(文数、理数)、全国III卷(文数、理数)共59套高考数学试题(其中2020年加入新高考I、II卷，2021年全国I、II、III卷改为全国甲、乙卷，江苏卷改用全国I卷)，分析这些高考试卷中数列试题的内容及分布，考查其中所体现的数学建模素养.

1.1 试题分布

根据上述对数学建模的定义，对近五年高考数学试题进行初步分析，对这些试题中融入数学建模素养的数列试题按题型、考点、分值、建模背景等信息进行统计，并根据叶立军[4]对高中数学教材的研究，将试题中所涉及的数学建模背景分为日常生活、数学文化和科学背景三类.2018—2022年共59套高考数学试题中共有10道数列题目，试题信息如表1所示.可以看出，这些试题主要分布在选择题中，在填空题和解答题中出现得较少，分值大部分都较低.三种数学建模背景类型分布较为均衡，涉及的领域较多，表明数列应用之广.同时不难发现，随着年份的增长，数学建模融入数列专题的考查也逐渐增多，表明对该方面的关注有所提升.

表1 2018—2022年高考数学试题中数学建模素养指导下的数列试题相关信息

1.2 考点分布

上述10道数列题目考查的内容相对均衡，主要集中在以下几个考点：等差数列通项、性质、求和公式，等比数列通项，数列列举，周期性数列，数列求和的综合运用.其中有四道题目考查等差数列的相关知识，三道题目考查等比数列的通项公式，四道题目涉及一般数列的知识，如列举、周期及求和.10道题目中大部分属于基础题，多出现于选择题第3-6题，少数为中高档题目，如2021年上海卷解答题第19题、2021年新高考I卷填空题第16题.

1.3 数学建模背景

为了探讨不同高考试题考查的数学建模素养的水平层次，本文根据喻平[5]的数学核心素养评价框架，并结合《普通高中数学课程标准(2017年版)》[3]中有关数学建模素养水平的介绍，参考叶德伟[6]等人对数学建模素养水平的编码，确定了本文的数学建模素养水平编码表，如表2所示.

1.4 数学建模水平

根据表2确定的数学建模素养水平编码表，本文对上述10道题目进行编码，统计各个水平中融入数学建模素养的试题数量.其中，统计的试题数量与学生实际作答的任务量相对应，而非题号.例如，2021年上海卷解答题第19题共有2小题，试题数量记作2.编码过程由两位数学教育专业研究生一起完成，首先二人分别独立编码，后经过讨论并参考导师意见，确定各个题目的编码情况，详细编码如表3所示.

表2 数学建模素养水平编码表

表3 高考试题中各水平数学建模试题数量

从表3可以看出，融入数学建模素养的高考数列试题着重考查学生的知识迁移能力，即学生能否发现问题并转化为数学问题，进而选择合适的模型来解决这些常规性问题；而对知识理解和知识创新水平的考查较少，说明对学生构建数学模型解决非常规问题的考查较弱.

2 命题角度及思路分析

2.1 日常生活

数学应用于我们日常生活的许多方面，比如营业额、排序等，学生可以将日常生活中的现实问题构建成数学问题，用数学语言来描述，用数学视角去观察，进而寻找合适的数学模型来解决，以此体会数学融入生活的现实意义，提高数学表达能力.

例1(2021年上海卷第19题)已知某企业2021年第一季度的营业额为1.1亿元，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿元，该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4%.

(1)求2021年起前20季度营业额的总和；

(2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18%？

评析本题为数学融入社会生活应用题，以求企业前20季度营业额之和及利润为背景，引导学生感受数学与我们生活息息相关.第(1)问考查等差数列求和公式，第(2)问构建等差数列和等比数列的不等式，考查学生对于两者的综合理解及应用.

2.2 数学文化

源远流长的数学文化为数学增添了美丽与神秘，古人在数学方面的造诣也对我们颇有启发.将数学文化融入高考试题，考验学生将遥远的古代知识与现学的数学模型相结合，可以激发其对于探索数学奥秘的积极性，体会数学对于社会发展的价值，同时树立文化自信.

2.3 科学背景

数学与科学联系密切，科学研究以数学为工具，离不开数学的发展.科学背景下的高考试题要求学生把握关键信息、构建数学模型、阐释科学规律，并且在解题过程中体会数学的实用价值及技术价值.

A.b1

C.b6

评析本题选取了嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期为背景，体现数学在物理、天文等领域的应用，引导学生通过{bn}的前几项理解题中所给比值的含义，并通过作差法或不等式的性质比较各项.科学背景可以让学生感受到数学在不同学科中的重要性，也有助于其更好地体会数学应用的广阔性.

3 教学及备考建议

3.1 探寻问题情境，融入课堂教学

经本文的分析不难发现，近年来的数列专题越发重视对于数学建模素养的考查.在日常的教学中，教师应该结合实际生活例子、挖掘相关文化史料、探索数学与其他学科融合的案例，引导学生在具体的情境中感受数列与我们生活的紧密联系.

3.2 提高应用意识，鼓励模型构建

数学来源于生活，又应用于生活，从历年高考题中也可以看出数列应用的广泛与重要性，教学中应着眼于数列知识的应用，拓宽学生的思维，鼓励学生在面对新情景时勇于尝试构建模型并解决问题，培养学生的建模意识，以做到会观察、勤思考、多应用.

3.3 完善教学评价，提升建模素养

本文涉及的题目评价水平涵盖知识理解、知识迁移和知识创新三个方面，教师应在课堂中根据评价的不同水平设计相应的教学和练习，并通过合适的教学评价让学生感受其中蕴含的数学思想和建模过程，进而帮助学生提升数学建模素养.