精“追”知识路径 细“问”思维本真

张 云 (江苏省江阴市华士实验中学 214421)

课堂教学是教学设计的“实战”，教学设计就是一次教师基于教学内容与学生学情的经验性兼创造性“备课”，协调好预设与生成的关系，成为了课堂教学的关键.然而，当下的数学课堂教学是在既定的任务背景下开展的，学生的深度学习不够；问题过于有指向性，主动探究行为不足；问题的解决方法单一，未充分发挥其价值；学生的创新意识与能力不足；等等.追问是解决这一关系的指示灯与风向标.

追问，特指在开展课堂教学活动的过程中，在学生回答了教师提出的问题的基础上，教师自身或教师引导其他学生对回答者有针对性地进行“再度提问”，再次激活学生的思维，促使学生进行深入思考与探究的教学策略活动[1].如何在学生学习数学的知识路径上进行追问，将问题引出冲突，触发思考，是一个亟待解决的问题.

笔者认为，追问，旨在寻路，在探索与辨析中找准思维方向；实在行路，一步一个脚印，形成思维的持续力；意在铺路，拓宽并延伸思维，构建知识系统.“逢山开路遇水搭桥”，恰当的追问总可以让课堂成就一番“风景这边独好”的景象.

1 追问应“步步为营”：在新知理解上引发悟性，生成思维因子

课堂教学中对于新知的学习，总是有一个不断更新、承前启后、循序渐进的过程.以学生已有的认知和学习经验为背景，选取适切的情景进行探究活动，在知识的关键点、学生新知理解的困顿处实施有效追问，引导学生不断催生新的理解与悟性，及时捕捉学生的想法与疑惑，就可以实现学生思维因子的萌芽与生长.

案例1二次根式的乘法法则的获得.

如图1，矩形ABCD的各顶点都在边长为1的3×3网格的格点上，则S矩形ABCD=.

图1 图2 图3

师：矩形的面积=长×宽，求出长与宽即可计算面积，如何求出长、宽？

师(追问2)：为什么？可否利用如上的3×3网格进行构造说明？

生4：(思考一会儿)好像不能.

生(众)：嗯，但是这个内容我们还没有学习，不知该如何得到这一运算法则.

生(众)：好像不能.

案例1的教学以“聚焦式追问”展开，它是以若干个连续问题为指引，由外而内、由表及里，前者是后者的基石，后者是前者的提升.“聚焦式追问”一步一个脚印，从学生已有的认知水平和知识储备出发，步步为营，让学生主动进行探究活动，有话可说，有据可查，有路可寻，有悟可感，在把握重点、突破难点、强化核心点中聚焦知识本质，在拓宽知识面的同时提升思维能力.

“聚焦式追问”是在课堂教学中师生互动的一种双边探究手段.它讲究“宽入”：从学生熟悉的知识背景中引出新知，触发学生的学习欲，展开学生的思维力.在案例1中，代数学习以几何图形作为情境预设，几何网格图的直观感知、勾股定理的运算、面积公式的合理应用等很好地贴近了学生认知的最近发展区，让学生切实感知二次根式乘法的真实存在性，形成新知的第一感知.它注重“严出”：在渐进式的追问中不断聚焦问题、深化认知、提升能力，促进思维.在案例1中，以类比学习开启追问，在追问2、追问3处产生“疑难”；以特例运算感受二次根式乘法运算结果正确的“可能性”，在追问4、追问5处形成“疑问”；回到已有的二次根式的性质，在追问6处解答“疑惑”，达成知识的焦点核心.

2 追问当“拾级而上”：在问题探究中形成反思，催化思维序列

数学课堂教学的过程，就是学生对知识不断“数学化”的自然经历，是发展学生核心素养的重要途径之一.弗赖登塔尔曾经说过：与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”[2].不论是几何教学中性质与判定的归纳，还是代数运算法则的得出，都是“数学化”的最佳体现.对典型问题中条件与结论的弱化与强化处理，通过不断追问就可以实现“问题—能力”的双向转换，所谓“会一类，通一片”就是这个道理.

案例2“等腰三角形的判定”中的例题教学.

如图4，在△ABC中，AB=AC，两条角平分线BD,CE相交于点O.请问OB与OC相等吗？请说明理由.

图4

在学生思考一段时间后，有些学生举手了.

生1：由等腰三角性的“等边对等角”知∠ABC=∠ACB；由BD,CE为角平分线知∠ABD=∠ACE；这样可证△ABD≌△ACE(ASA)，得AD=AE，从而BE=CD，再证△OBE≌△OCD(AAS)，所以OB=OC.

师(追问1)：还有没有其他的证明方法？

生2：我跟同学1的方法差不多，先证明△BCD≌△CBE(ASA)，再证△OBE≌△OCD(AAS)，所以OB=OC.

师(追问2)：能否结合等腰三角形的判定方法来证明？

生3：由等腰三角性的“等边对等角”知∠ABC=∠ACB；由BD,CE为角平分线知∠DBC=∠ECB，即∠OBC=∠OCB，所以OB=OC.

师(追问3)：观察图形，结合刚才的证明过程，你还能得到哪些结论？

生4：图形中的任何一个几何的边角元素都可以找到对应的相等元素.

师(追问4)：连结AO，你们又有什么发现？

生5：可证△AEO≌△ADO，可得∠EAO=∠DAO，进而AO平分∠BAC.

师(追问5)：AO所在直线与边BC之间的关系是什么？

生6：因为AB=AC，AO平分∠BAC，由等腰三角形的“三线合一”，所以AO垂直平分BC.

师(追问6)：如图5，将问题中的“两条角平分线BD,CE相交于点O”改为“两条高BD,CE相交于点O”，或者如图6，将问题中的“两条角平分线BD,CE相交于点O”改为“两条中线BD,CE相交于点O”，那么上述得到的结论是否还成立？

图5 图6

学生：经过一定时间的自主探究与合作交流，得到了上述结论仍然成立.

生7：只要有AD=AE，或者类似的一组等量关系，就可得OB=OC，AO所在直线垂直平分BC.

师(追问7)：在△ABC中，AB=AC，点D,E分别在边AC,AB上，连结BD,CE，相交于点O，若BD=CE，则OB与OC相等吗？

生8：我觉得是正确的，因为上述几个例子都直观给出了这一结论.

生9：我觉得不正确.如 图7，当给定BD，则在AB边上，存在点E1,E2，显然在E1处结论成立，在E2处结论不成立.综上所述，结论不一定成立.

图7

案例2中的追问是“变式型追问”，是指在教学过程中，以典型问题为铺垫，对问题的条件或者结论进行巧妙的弱化或者强化处理，在探究中不断反思，让问题由典型成为经典，使方法由熟悉化为巧妙，促能力由单薄为厚实，不断催化学生的思维序列.

“变式型追问”实现了由“大量重复的、单一的题海教学”变为“精准典型教学”，实现由“量”向“质”的转变，让问题“不止于此”.它关注解题方法的变式，让不同层次的学生都有所“真的”学习与收获.在案例2中，通过追问1、追问2，充分利用学生已掌握的全等三角形的性质与判定，实现了几何等量与图形全等的转化，达成了问题的解答，也可借等腰三角形的判定方法这一新知，巧妙进行几何证明，优化解题方法.其次，通过对图形整体的对称性认知，在结论上实现突破：以追 问3～5为抓手，将典型问题的图形关系变得丰富多彩，证明方法精彩纷呈.最后，对问题的条件或结论进行弱化或者强化处理，在类比迁移中识图、用图，形成思维序列：再以追问6、追问7为新的探究阵地，在反思中前行，在典型几何背景中“穿新衣”，拾级而上，再次温故、思辨、提炼，使学生体验学习的新认识与新高度.

3 追问必“曲径通幽”：在认知矛盾处催生思辨，培育思维能力

宋代理学家朱熹认为：“读书无疑者，须教有疑，有疑者，却要无疑，到这里方是长进.”学生学习的进程总不可能是一条直路，更不会一蹴而就，遇到矛盾是一种常态.在认知矛盾处把握时机，恰当地进行追问，在探究中改良，在优化中进级，不断培育思维能力.追问一方面可以在表象上找出产生错误的因素，在纠错中激发学生的求知欲；另一方面也能于内在处梳理思路，探寻本质，以创造性互动实现学生创新素养的形成.

案例3已知直线y=ax-3x-a是一次函数，求a的取值范围.

生1：将解析式变形为y=(a-3)x-a，由一次函数的定义，可得a≠3.

师：已知直线y=ax-3x-a的图象过点A(2,-1)，求a的值.

生2：将点A代入，得a=5.

师(追问1)：一次函数y=ax-3x-a的图象能否过点B(1,-1)？

生3：当x=1时，y=a-3-a=-3≠-1，所以一次函数的图象不可能过点B(1,-1).

师(追问2)：一次函数y=ax-3x-a随着a的取值的变化，其图象有何特征？

学生陷入沉思……

生4：可以尝试取定几个a的值，画出相应直线，去发现图象特征.

师：很好，请同学们根据这位同学的思路，取几个符合题意的a的值，画出图象.

生(众)：所画的函数图象都经过一点，这个点为(1,-3).

生5：一次函数y=ax-3x-a随着a的取值的变化，其图象经过定点(1,-3)，相当于这些直线绕着点(1,-3)在旋转.

师(追问3)：刚刚大家通过画图发现了这一特征，能否从解析式发现这个结论呢？

生6：要得到直线经过某一个定点，就是该定点与a的取值无关，在之前的代数式学习中，有过“合并所含a的项，其系数应该为0”，由此改写该函数关系式y=(x-1)a-3x，当x=1时，该关系式与a的取值无关，此时y=-3，即定点为(1,-3).

师：已知点M(-3,0)，求点M到直线y=ax-3x-a的距离的最大值.

生7：将定点(1,-3)记为点Q，点M到直线y=ax-3x-a的距离≤MQ，当MQ与直线y=ax-3x-a垂直时，点M到直线y=ax-3x-a的距离取得最大值=MQ=5.

案例3中的追问是一种“螺旋式追问”，它遵循学生对事物认知的一般规律，由简到难，由粗略到细致，逐级提升思维水平.通过此种追问方式，将问题由单一到综合，探寻数学属性；将知识由弱变强，丰富知识内涵.

“螺旋式追问”打通了学生从低阶思维向高阶思维发展的路径通道，对问题的深耕探究，实现了学生“学数学—会数学—用数学”能力的培养.案例3中的追问1，让学生巩固一次函数图象与点坐标之间的关系；继续追问2，由“图象过点A，不过点B”这一矛盾思考“一次函数图象随着a的不确定，其特征是什么”，产生矛盾的过程也是解决矛盾的关键，以“特殊与一般、具体与抽象”为思考点，化抽象的a为具体的数，经历画图的数形转化，直观感知图象经过定点，同时也应认识到“几个a的值以及画图操作来说明一次函数图象经过定点的不规范性”这一新矛盾.在追问3中，实现数学语言的转化：含参一次函数图象经过定点→该定点与a的值无关→含a的代数式的系数为0，进而解决问题.巧用已有知识储备与关键能力，助推新知的学习；妙搭知识框架与思维体系，实现能力的提升.

4 追问需“豁然开朗”：在解题发散中发现价值，提升思维品质

随着教学资源的不断丰富，大量的新题不断涌现，师生疲于解题，对题目真实价值的挖掘不够，思维定式受到影响.我们可用对关键题目的追问来消除定势，开阔思维，启迪智慧；在综合探究中发散与聚拢，使自身有“豁然开朗”之感，领会思维的层级，提升思维的品质.

案例4几何综合探究教学.

如图8，在正方形ABCD中，AB=4，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB方向匀速运动，到达点B停止.连结DP交AC于点E，以DP为直径作⊙O交AC于点F，连结DF,PF.

图8

(1)求证：△DPF为等腰直角三角形；

(2)设点P的运动时间为ts，当t为何值时，点E恰好为AC的一个三等分点？

此题为某区九年级上学期期末考试中的试题，它以正方形为背景，借助动点引入动圆，直观感知三角形的大小变化，并以正方形与圆的性质证明三角形的形状；在运动过程中选取临界位置“E为AC的三等分点”来求运动时间t的值.

一方面，教师的解题是岗位基本功；另一方面，教师的研题是职业追求.追问让题目有了新的“外衣”，让“似曾相识”成为“记忆犹新”；追问使教师的业务能力更具专业化，教学引领能力不断增强；追问让学生实现深度学习，提升思维水准.

追问1 问题条件不变，求证：△ADE∽△PFE.

追问2 问题条件不变，求证：△FPE∽△FAP.

追问3 如图9，点P是边长为2的正方形ABCD的边AB上一动点，连结DP，交对角线AC于点E，作△ADP的外接圆，交AC于点F，若EF=2AE，则AP的长为( ).

图9

案例4中的追问是一种“研究性追问”，是指在综合题探究中对问题进行横向的并列式追问，使问题的形式多样化，对问题的分析多视角；或者对问题进行纵向的递进式追问，对试题进行二 次开发，在研题中体现问题价值，实现思维的本真.

“研究性追问”关注学生的学习力与能力点，需要学生有较好的思维水准，在学生的深度学习上发力.在案例4中，追问1巩固了基本图形“圆”的圆周角性质这一知识点，结合相似三角形的判定方法进行证明，适切的追问就是解题的第一步，有了这个“一”，方能有后面的“二、三……”；追问2与原题中的第(1)题相当，是一个并列结论；追问3是研题中的产物，类比于原题中的第(2)题，以课堂追问去研究综合题中动点引发的结合元素的特殊数量关系或者是数量关系，是一种能力的突破，也是思维品质提升的优异表现.

在当前的课堂教学中，要善于捕捉那些稍纵即逝的契机，作为优化教学行为的生长点，以问题生问题，引发学生思考，激发思维增长，形成良好的“激活效应”.追问于新知理解，感悟知识的生成路径，让思维因子有“热度”；追问于问题探究，反思解题方法与变式拓展，让思维序列有“宽度”；追问于疑惑矛盾，形成思辨行为和深度学习，让思维能力有“深度”；追问于问题发散，让思维品质有“厚度”.