模型建构：从无到有的嬗变——以微专题“构造‘手拉手’模型求最值”为例*

赵 军 (江苏省太仓市实验中学，太仓市赵军名师工作室 215400)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》在核心素养的主要表现及其内涵中，要求初中阶段的模型观念应具备：对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识，知道数学建模是数学与现实联系的基本途径；初步感知数学建模的基本过程，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义[1].在解题过程中，合理的模型建构能够帮助我们对问题进行高效的转化，在平时学习过程中如果多留意归纳积累数学基本模型，并理解其内涵本质，关键时刻可以巧建模型，从容应对.事实证明，合理的模型建构往往能大幅度提高解题的效率，提升数学素养，达到化难为易的目的.笔者尝试以建构“手拉手”等边三角形(共顶点等边三角形)和“手拉手”等腰直角三角形(共顶点等腰直角三角形)解题为例，对一类求最值问题进行专题剖析，以期与同仁交流与分享.

1 课堂实录与点评

师：同学们，首先我们来一起回顾课本上的一个基本模型——“手拉手”等边三角形，请大家先看原题.

1.1 原题再现

(苏科版教材八年级上册第67页第10题)如图1，△ABC和△CDE都是等边三角形，点A，C，E在一条直线上，AD与BE相等吗？为什么？

图1

生1：相等，借助等边三角形的性质，运用“SAS”证明△ACD≌△BCE即可.

师(追问)：若将△ACD绕点C顺时针旋转(如图2)或逆时针旋转(如图3)，AD与BE还相等吗？

图2 图3

生2：相等.证明方法仍然是用“SAS”证全等，只不过图2中的∠ACD=∠BCE是“同加”得到的，图3中的∠ACD=∠BCE是“同减”得到的.

师：很好！这是一个基本的数学模型，由于两个等边三角形共顶点，我们把它称之为“手拉手”等边三角形模型.下面我们一起来看看这个模型在求最值问题中的应用.

设计意图从课本原题出发，通过适当的旋转，带领学生体会“形变法不变”的思路，归纳出“手拉手”模型的结论，为后续建构模型和运用模型作好铺垫,同时也凸显了课本习题作为“题根”的价值.

1.2 若隐若现

问题1如图4，等边三角形ABC的边长为6，l是AC边上的高BF所在的直线，点D为直线l上的一动点，连结AD并将AD绕点A逆时针旋转60°至AE，连结EF，则EF的最小值为.

图4

师：同学们，随着点D的运动，点E随之而变化，导致EF的长度也在变化，如何确定EF的最小值呢？

生3：若连结DE，作直线CE，则图4属于图3中的“手拉手”等边三角形模型，并有△ABD≌△ACE.

师(追问)：这个全等有什么作用呢？

生4：由全等可以得到∠ABD=∠ACE=30°，结合∠ACB=60°可得BC⊥CE.

师(再追问)：太牛了！借助“手拉手”等边三角形模型，我们发现点E运动的轨迹是什么呢？

生4：点E在过点C且垂直于BC的直线上运动.

师：那什么时候EF最小呢？

师：太棒了！

设计意图通过教者适时的引导，“手拉手”等边三角形模型自然浮出水面，在探究出点E运动轨迹的基础上，将最值问题转化为点到直线距离最短问题，体现了对该模型的挖掘与应用.

1.3 模型重现

问题2如图5，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P是边AD的中点，点E为边CD上的一个动点，连结PE，以PE为边向下方作等边△PEG，连结AG，则AG的最小值是.

图5 图6

师：同学们，我们该如何对AG进行转化？

生5(若有所思地)：以AP为一边构造等边三角形，利用“手拉手”等边三角形模型对AG进行转化.

师(追问)：请具体一点.

生6(激动地)：如图6，在AP的下方作等边△APF，连结EF，则△APG≌△FPE(SAS)，所以AG=FE，因此求AG的最小值就是求FE的最小值.

师：分析得很到位！那如何求FE的最小值呢？

生6：由于点E为边CD上的一个动点，所以问题转化为点F到CD的距离FM(如图6).

师(追问)：很好！那么怎么求FM呢？

设计意图通过教师巧妙地设问和不断地追问，在三位学生的接力回答下，将隐形的“手拉手”等边三角形模型建构得恰到好处，把求AG最小值的问题不断转化，步步深入，达到了化难为易的效果.

问题3如图7，△ABC是等边三角形，E，F分别是经过点B的直线l上的两点(E，F位于点B的异侧)，连结AE，CF.若BE=2，BF=4，则AE+CF的最小值为.

图7

师：△ABC是一个边长不确定的等边三角形，所以AE和CF的长度随之而变化，如何通过转化将这两个分散且变化的线段进行关联？

生8：我想再作一个等边三角形，利用“手拉手”等边三角形模型对AE和CF中的某条线段进行转化.

师(追问)：具体如何构造呢？请大家分小组讨论.

生9(第1小组代表)：如图8，我们小组是以BF为边在直线l的上方作等边△BFD，则△BCF≌△BAD，所以CF可以转化为AD，问题即转化为求AE+AD的最小值，在等边△ABC变化的过程中点A是动点，点E，D是动点，所以问题可以转化为“两点之间，线段最短”，即其最小值为DE的长.

图8

师(追问)：很好！那又如何求DE呢？

师：还有不同意见吗？

图9

师：说得真好！这两组同学完成得都很棒！那么比较一下，这两种构造有何异同呢？

……

设计意图第一小组学生以线段AE不动，构造“手拉手”等边三角形模型去转化CF，第二小组学生以线段CF不动，构造“手拉手”等边三角形模型去转化AE，两种构造思路有异曲同工之妙！无论是哪一种构造，本质上都是将两条线段转化至首尾相连，以“两点之间，线段最短”解决问题.

1.4 类比重建

问题4如图，在ABCD中，∠B=45°，M是AB边的中点，N是BC边上的一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90°至MN′，连结N′C，N′D，若BC则N′C+N′D的最小值是.

图10

师：同学们，在问题3中我们构造的是两个共顶点的等边三角形，现在在问题4中，我们又将如何构造呢？请大家分组进行探究.

(几分钟之后，教师请各小组代表发言)

生11：求N′C+N′D的最小值的关键是对其中某一条线段进行转化，我们小组研究的意见是连结N′B，将N′C转化为N′B，最终将最小值转化为线段BD的长.

师：很好的想法！那怎样证明N′C=N′B呢？

生12(补充)：如 图11，因为MN绕点M逆时针旋转90°至MN′，就相当于△MNN′(连结NN′)为等腰直角三角形，类比前面几个问题的方法，以点M为直角顶点再构造一个等腰直角△MBE.这样就构造出两个共顶点的等腰直角三角形，运用“SAS”得到△MBN≌△MEN′.

图11

师(追问)：接着是怎样得到N′C=N′B的？请具体一点.

师：太厉害了！此时N′C+N′D就转化为N′B+N′D，所以点N′运动的轨迹是什么？

生13：点N′在BC的垂直平分线上运动.

师：真聪明！那最小值怎么求？

师：通过构建等腰直角三角形、转化线段，再构造直角三角形解决问题，太棒了！

设计意图“手拉手”模型的建构不仅仅局限于两个共顶点的等边三角形，还可以构建共顶点的等腰直角三角形，其构建的灵感来源于45°角的出现.在解决前几个问题的铺垫下，教师引导学生展开深入探究，学生在探究过程中努力建模，形成能力，学会解决问题的方法，提升数学素养.

师：通过这节课的探究，大家有哪些感悟与收获呢？

生15：当出现“手拉手”模型的一只手时，我们要学会构建另一只手.(赢得掌声)

生16：构建“手拉手”模型源于转化的需要，当我们“无路可走”时要能主动建模！

……

师：建模相当于“无中生有”，是在已有条件的基础上重建，需要平时的积淀，更需要衔接技巧和转化得当.已知一手，巧建另一手，方能大手拉小手，实现拨云见天，柳暗花明！

2 教学反思

2.1 模型建构的基础始于模型的积累

模型建构的难点在于建，从哪里入手去建模？怎样建？没有一定的积累无法完成模型的建构.建模既要充分考虑学生的学习情况，尤其是学生的“最近发展区”，也需要结合题目自身的条件进行分析.一般而言，从条件出发，由“已知想可知”；从结论出发，由“未知想需知”，两头往中间推理，查找缺什么.而后缺什么就补什么，此时自身对数学模型的积累显得尤为重要，关键时候要能结合题目联想到需要的模型.因此，我们可以在每章节学习结束后结合课本内容进行归纳、提炼，平时要善于总结，形成适用的基本模型，归纳出属于自己的“定理”.可能还有学生会质疑，在建模的过程中，你是怎么想到某种构造方法的？实际上还有另一个解题的关键点：运动的轨迹是什么？依据动点的运动路径可以管窥一二，因为此类问题往往聚焦点的运动而带动图形的运动，类似问题1和问题4中寻找点的运动轨迹，以“始动点”在运动初期、运动过程中和运动结束三个时点为基点，分别探寻“从动点”运动的路径以清晰建模的路径.

2.2 模型建构的思路源于转化的内需

模型建构的内需源于解题不畅，需要转化，如何寻找替换对象是解决问题的关键.从问题2到问题4的顺利解决不难发现，对于线段的转化往往依据全等，从全等的条件探寻中你会感受到有建模的需要，通过全等模型的建构能达到转化的目的，所以建模不是刻意为之，也不是为建模而建模，它是解决问题的内在需要.每当山穷水尽之时，我们可以结合自身数学模型的积累，尝试通过建模进行转化，建模得当往往能够柳暗花明.《义务教育数学课程标准(2022年版)》在课程性质中明确指出，基于抽象结构，通过对研究对象的符号运算、形式推理、模型构建等，形成数学的结论和方法，帮助人们认识、理解和表达现实世界的本质、关系和规律[1].所以建模也是一种对自身阶段学习内容的提炼和归纳，更是应用模型解决问题的需要，我们要能将解题需要和模型积累通过分析进行有效的衔接，以达到转化的目的.

2.3 模型建构的理念凝于认知的高度

模型建构是一种高屋建瓴的高观念，通过建模可培养学生的学科思维，帮助学生建立模型思想，以增强学生数学学科关键能力.模型意识或模型观念是数学思维的主要表现形式，以数学模型为中心的学习能够帮助我们提炼学习内容，吸收更多概括化了的基本原理或思想，深思数学学科本质，促进有意义有深度的学习.从问题1中已有的“手拉手”等边三角形雏形到问题2和问题3中的主动构建“手拉手”等边三角形，再到问题4中的类比构建“手拉手”等腰直角三角形，4个问题的建模不断深入，从教学设计和课堂实践不难发现，数学基本模型的归纳与提炼有利于数学学科知识的建构、学科思维的形成和学科方法的掌握，数学模型的建构能使学生的认知结构梯度上升，从而获得学习之精髓、学科之价值.作为教师应带领学生以模型建构为抓手，以问题转化为目的对数学解题进行深入研究，引领学生学思相融、学以致用，进而提高建模能力、提升数学素养.