指向数学理解的“正数与负数”教学设计与思考

黄贤明 (江苏省苏州高新区景山实验初级中学校 215129)

1 引言

随着《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《标准》)的颁布，义务教育阶段负数的学习有了新变化.在小学阶段，负数的认识从“数与代数”领域剥离出来，安排到“综合与实践”领域的第三学段，设计了“如何表达具有相反意义的量”的主题活动.活动中强调负数的情境解释，感受负数是源自生活且服务生活的数，发展学生的数感.在初中阶段，《标准》中添加了“理解负数的意义”这一内容要求，并给出了相关案例，以期从历史的角度发现负数引入的目的与意义，感悟负数的本质特征，并弘扬中华优秀传统文化.数学知识的学习是一个螺旋上升的过程，小学阶段的负数归为“综合与实践”，其目的是以数学活动为载体，让学生在生活中感受、发现、表达具有相反意义的量，并在归纳、比较中感悟负数的价值，即“了解负数的意义”；初中阶段的负数学习则强调“理解”，不仅是对负数本身的理解，更是对其符号意义、数学价值、文化价值等多角度、高水平的理解.

2 数学理解的内涵阐述

2.1 数学理解的内涵

“理解”作为描述结果目标的行为动词，《标准》中给出的含义是：描述对象的由来、内涵和特征，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系[1].数学学习重在理解.从结果上看，数学理解是指学习者能够描述相关数学对象的内涵、区别、联系，形成知识网络，并能够随时提取应用于数学解题；从过程上看，数学理解是在认识数学对象外部表征的基础上，找寻新旧知识之间的联系，并纳入学习者的原有认知结构，形成新的平衡，从而达到对数学对象的本质认识与理解[2].不难发现，数学理解是建立在学习者原有经验的基础上，通过教师的引导，促使学习者对新旧知识形成联结，以此达到理解数学对象的本质并将其应用于解题的目的.

2.2 数学理解的过程模型

从过程上看，学习者的数学理解是一种内在心理过程，更是一个层级发展的过程.学生数学理解的发展会依次经历五个阶段[3]，即理解层级过程模型(如图1).经验性理解是学习者基于原有经验而对数学对象产生的起始性理解.这种理解大多是浅层的、不全面的，仅仅是学习者对日常生活中对客观事物的体验与感悟.形式化理解是学习者在一定的刺激下，将经验进行整理、组织、重新表征，使学习对象与其原有认知结构构建联结，进而形成对新知本质属性的认识.结构化理解是一种结构关联型的理解，强调对数学对象及其知识体系脉络的把握.迁移性理解是在结构化理解的基础上，能够灵活将新知迁移到陌生的情境中，解决探究性、拓展性的数学问题.文化性理解有两层含义，一是学习者对数学对象背后所蕴含的数学文化的认识与理解，二是学生通过归纳小结数学知识体系，积累数学活动经验，理解学习过程中的数学思想方法，形成良好的数学素养、数学品格.文化性理解贯穿于数学理解性学习始终，同时各理解层级也为文化性理解奠定基础，提供“养料”，最终构成相互作用、共同发展的有机整体.

图1

3 指向数学理解的教学设计

3.1 情境创设：激活经验性理解

问题1小学阶段我们学习过很多“数”，在下面这则自我介绍中出现了哪些数？

活动1尝试将这些数按照一定的规则分类.

教师引导学生逐渐完善对这些数的刻画，指出有限小数可以转化为(视为)分数.

数的产生最早源于人类的计数、排序，产生了数1，2等正整数.由于要表示“空位”“没有”，数0就应运而生.又随着测量、分物的需要产生了(正)分数……这些数够用吗？在生活中你是否发现了这些数？

情境1 (地理知识)珠穆朗玛峰海拔8 848.86 m，艾丁湖海拔-154 m.

情境2 (气象知识)全国最低气温预报，其中黑龙江省-20℃，广东省20℃.

情境3 (社会经济)2020年我国居民人均可支配收入增长4.7%，居民人均消费支出同比增长-1.6%.

问题2这些数分别代表着什么含义？负数是如何产生的呢？

教师引导学生借助情境中的相反意义的量来解释这些数的含义，同时强调数0并非代表“没有”，而是一个“分界点”.

设计意图从学生已经认识的数出发，回顾数的产生与发展的历史，感受数学与生活的紧密联系，顺理成章地引出对负数的认识.再以三个情境激活学生的经验性理解，让学生提取相反意义的量的概念，感受负数的生活意义与应用价值.

3.2 归纳提取：生成形式化理解

问题3什么是负数？什么是正数？请用自己的语言描述(如图2).

图2

中国古代数学家常常会用红色(或正放)算筹表示正数，黑色(或斜放)算筹表示负数，而如今在数的前面添加“+”与“-”也相当于对数进行“标记”，代表数的性质，并非是运算符号.

设计意图从具体的正负数出发，引导学生利用对负数的经验性理解归纳提取出负数的概念，构建正数、负数与0的关系，形成对负数的形式化理解，发展学生数学抽象、数学交流等能力.

3.3 意义再构：形成结构化理解

活动2中国是最早使用负数的国家.数学家刘徽对正负数给出“今两算得失相反，要令正负以名之”的定义.在《九章算术》中给出了许多具有相反意义的量的例子，如：

(1)买十三豕(猪)和卖豕八；

(2)有余钱一千和钱不足六百.

请你用正负数来刻画上述例子，并再列举出几组具有相反意义的量的例子.

例题 读一读，并指出下列数中的正数、负数.

问题4在课前回顾了正整数与正分数，能否借鉴过去的经验，再将这些数细分呢？

小结：正整数、负整数、零统称整数；正分数、负分数统称分数.

设计意图通过中国数学史的融入，渗透文化性理解，让学生在历史的情境中再构负数的意义，促使学生形成对负数的结构化理解.同时通过例题讲解，构建正负数的知识结构，培养学生的抽象能力与分类意识.

3.4 实际应用：达成迁移性理解

迁移1某人从学校出发向东走了100 m，再向西走200 m.

(1)若向东走100 m记为+100 m，那么向西走200 m记作什么？

(2)请你画一画他的行走轨迹，指出他最后所在的位置并用正负数表示.

迁移2某市中考体育的跳绳项目规定：每分钟165个为满分，若规定超过为正，不足为负，其中5位同学的成绩记录如下：-5，10，-18，0，1.

(1)“-5”“10”“0”的含义是什么？

(2)这五名同学分别跳了多少个？满分率是多少？

设计意图通过迁移练习，让学生在新情境中应用正负数的意义，再次强化对数0的认识，同时以求满分率的问题启发学生从数的含义上考虑，促进学生迁移性理解的达成.

3.5 自我总结：促进文化性理解

总结提纲：

(1)在这节课中，你对负数有了哪些新的认识？与你过去的知识有什么联系与区别.

(2)在这节课中，你对数的分类有了哪些新认识？

(3)在国外，负数的认识并没有中国这样顺利，究竟是什么原因导致的呢？请利用网络或图书馆自行了解，并在下节课与大家分享.

设计意图文化性理解贯穿着本节课的始终，总结环节更应从整体的角度系统地梳理知识脉络，促进学生建立新旧知识的思维联结，并纳入他们的经验体系中.同时通过提出探究性问题，激发学生的好奇心与求知欲，有效发挥学生的主观能动性，形成对负数的综合性、整体性、文化性的认识与理解.

4 教学思考

4.1 聚焦“理解”的起点，立足原有认知

学生在小学阶段的学习生活中已经积累了丰富的数学知识与生活经验，这些成为了初中阶段数学学习的起点，也就是教师教学的起点.“知识大厦”的构建是一层层的累积，教师聚焦学生“理解”的起点，把握过去与现在数学学习的差异，以“为理解而教”的目标指导日常教学.数学知识的学习是一个螺旋上升的过程，就负数而言，学生在小学阶段就接触过，那初中阶段的负数学习还应该“炒冷饭”，再构建负数的生活意义吗？回答自然是否定的.学生已在小学阶段经历了“综合与实践”活动，充分感知了负数的由来与意义.而初中阶段的负数学习应强调概念的抽象化、形式化，促进学生形成对负数的高层次的理解，为接下来学习有理数运算作准备.因此，初中负数教学应起始于学生的经验性理解，通过呈现生活中负数的例子，激活学生的原有认知结构，引导学生回顾负数的产生过程，并从历史的角度出发，揭示负数的本质内涵，促进对负数的多角度的意义再构.

4.2 重视“理解”的深度，指向数学应用

数学理解的水平分记忆性理解水平、解释性理解水平与探究性理解水平.对于负数的概念而言，记忆性理解水平就足以解决大部分考试中的问题，但较低层次的理解水平并不能满足学生后续学习与发展的需要，教师应该以更高层次的理解作为教学目标的导向.例如，以中国古代历史中对负数的表示来类比如今负数符号的含义，进一步揭示“-”的本质内涵，促进学生从符号的角度深入理解负数.再例如，在迁移性理解环节中设计了行走问题，将负数引入数轴中，既通过操作、思考等形式让学生感知数轴、绝对值、有理数运算等内容，理解负数在数学应用、数学运算中的价值意义，又能够让学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界、用数学的语言表达世界，进而培养学生的抽象能力、数形结合意识和应用意识.

4.3 关注“理解”的广度，浸润数学文化

数学理解不应仅仅停留在对知识本身的理解，更应该将知识与其知识结构、文化背景、思想方法等构件联结，形成对数学知识的系统性、整体性的理解.数学承载着思想与文化，数学文化可作为课堂的“润滑剂”.《标准》中多次强调数学文化的重要性，指出数学课程内容要关注数学文化，继承与弘扬中华优秀传统文化，增强文化自觉和文化自信.在数学理解中，文化性理解渗透于数学理解性学习始终，促进数学理解的各个环节.因此，在负数的教学中教师可以选取适当的数学史料，穿插在教学的始终，如：以数的发展作为引入，揭示负数产生的必要性；以古代负数的表示方法加深学生对负数符号的理解；课后查阅资料，调动学生积极性，促进学生对负数的文化性理解.通过数学文化的融入，充分发挥负数所蕴含的文化价值，达到以文化促理解、以文化育人的目的.