基于“生本”理念的“一题一课”微专题复习课探究——以“含参函数零点问题”为例*

王先义 (四川省双流中学 610200)

1 引言

复习课作为高中数学课的课型之一，通过对已有知识的回顾，帮助学生重构和完善高中数学知识体系，培养和提高学生的“四基四能”，发展学生的数学核心素养.微专题复习课作为一种新型的复习课形式，它立足于学情和考情，选择考试“高频点”、学习“困难点”、能力“增长点”和“易错易混点”作为学习内容，它既小又准，既精又透，是促进学生深度复习的重要方式[1].鉴于高一阶段学生知识储备不足，结合微专题复习课的特点，微专题复习课可以作为高一数学复习的重要教学方式，是学生知识的升华、方法的总结、能力的提升、思维的培养和数学核心素养发展的重要阵地.“一题一课”是一种课堂教学模式，是教师通过对一道题或一个材料的深入研究，挖掘其中的学习线索与数学本质，基于学情，科学、合理、有序地组织学生进行相关的数学探索活动，从而完成一节课的教学任务，以此达成多维目标的过程[2].

学为主体、以生为本是数学课堂教学的基本理念，微专题复习课是单元、期中、期末和高考等复习中必不可少的课型，“一题一课”作为一种很有特色的教学模式，与微专题复习课的初衷和理念不谋而合.笔者基于“生本”理念设计了一节微专题复习课，旨在拓宽学生的思维广度，延展学生的思维厚度，提高学生的思维效度，丰富学生的活动经验，升华学生的知识体系，渗透数学思想方法，在发现和提出问题、分析和解决问题的过程中不断提高学生的数学素养.

2 教学内容解析

2.1 内容分析

本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修1)》第三章《函数与方程》的章末微专题复习课，是对函数零点与方程根之间关系的进一步研究，也是高三利用导数研究函数零点问题的重要基础.此前，学生已经建构函数零点与方程根之间的联系，能结合两者之间的关系分析简单含参函数零点问题.该问题一直是高考命题的热点，总体呈现出“入易出难，路多口小，层层设卡，步步有难”的特点，因此高考命题者也常将含参函数零点问题作为压轴题.基于“生本”理念，采取“一题一课”的教学模式，组织学生对一道例题深入研究，通过解法探究、变式训练、链接应用、思想升华，让学生变中求进、举一反三，在数学活动中经历、体验、内化学习，积累基本活动经验，完善知识结构、建构方法体系、实现思维升华，发展数学核心素养.

2.2 学情分析

本节课之前，学生已经了解函数的性质、函数零点定义以及方程的根与函数零点之间的关系，并能利用这些知识处理简单的函数零点问题；对于形式复杂、综合性强的含参函数零点问题(如分段函数等)，学生目前处理起来较为困难，总体表现出做题时思维混乱、方法选取不当、推理不严谨和运算错误等.通过“一题一课”微专题的复习，以点带面，聚焦关键内容，帮助学生完善知识网络，感悟数学思想和方法，实现由“学会”到“会学”的转变.

2.3 学习目标

(1)回顾函数零点的定义，梳理方程的根与函数的零点的关系，建立两者之间的等价转化形式；

(2)利用函数零点的定义和方程的根与函数零点间的关系求含参函数零点问题的参数取值范围；

(3)在解决含参函数零点问题的过程中，总结解题的方法和技巧，凝练函数与方程、化归与转化和数形结合等数学思想.

2.4 评价任务

(1)课前自测要求学生自主完成，并根据课前自测回顾函数零点、方程的根与函数零点之间的关系和零点存在性定理等知识；

(2)通过典例分析，探究出解决含参函数零点问题的直接法、分离参数法和数形结合法等方法，并能选择合适的方法解决变式训练；

(3)通过例题和变式训练的分析，挖掘含参函数零点问题中所涉及的关键知识，总结含参函数零点问题的一般解决方法，同时提炼各方法中蕴含的数学思想.

3 课堂实录

环节1课前自测，知根摸底

(1)已知函数f(x)=lgx+x-10的零点在区间(k，k+1)上，k∈Z，则k=.

(2)关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+ 14=0有两个实数根，且一个根大于4，一个根小于4，求m的取值范围.

师：老师在课前已经布置课前学习任务，下面有请两位同学来分享一下结果.

生1：k=9，f(x)=lgx+x-10=0⟺lgx=10-x，再画出函数y1=lgx和y2=10-x的图象，然后取x=9，计算y1

师：你这里是运用什么知识进行转化的呢？

生1：函数y=f(x)的零点⟺两函数图象交点的横坐标.

师：非常好！将函数零点转化为两个函数图象的交点的横坐标.还有其他的解决方法吗？

生2：我是计算得f(9)·f(10)<0.

师：这里f(9)·f(10)<0，那为什么f(x)就有零点呢？

生3：f(x)单调递增，根据零点的存在性定理可以得到.

师：非常好！这两种方法殊途同归.第(2)题怎么做呢？

师：这位同学逻辑严谨，思路清晰，大家掌声送给他.同学们，在解决这两题的过程中运用了哪些知识？体现了哪些数学思想呢？

生众：函数的零点、方程的根与函数零点之间的关系、零点的存在性定理等，解决过程体现了数形结合和化归与转化的数学思想.

设计意图设置课前准备环节，目的是先帮助学生回顾旧知和解决函数零点问题的基本方法，同时通过问题对比衬托出含参问题的难度，从而引出今天的学习课题.

环节2回顾旧知，强化概念

师：首先梳理一下上面问题所涉及的基础知识，函数零点的定义是什么？

生众：把使得f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

师：函数y=f(x)的零点可以等价转化为什么？

生5：函数y=f(x)的零点⟺方程f(x)=0的实数根⟺函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标⟺两个函数图象有交点的横坐标.

师：这几个等价关系是我们解决函数零点问题的思维导向，请同学们理解记忆.零点存在性定理是怎么描述的呢？

生6：对于函数y=f(x)而言，如果f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0.

师：这位同学的回答严谨吗？

生4：不严谨，缺少条件.

师：缺少什么条件？

生4：缺少“函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线”这个条件.

师：为什么要加这个条件，不加这个条件会出现什么问题？

师：非常棒！仅有f(a)·f(b)<0不一定有零点.这位同学用辩证的思维认识定理中的条件和结论，这种思维在我们数学学习中非常重要.同时，也要注意函数f(x)有零点也不一定有f(a)·f(b)<0，如f(x)=ax2+bx+c(a≠0，Δ>0).

设计意图在课前自测的基础上对基础知识进行回顾，一方面帮助学生建立本节知识的结构和体系，完善学生的认知结构；另一方面辨析概念的易错点，帮助学生理解和记忆.

环节3团结协作，谋定对策

师：下面我们对含参函数零点问题进行分析，请同学们思考例1，结合前面的知识，小组合作讨论，后面我们请小组代表上台展示分享(6分钟).

师：下面有请第1小组的代表进行分享.

师：对这个式子没办法分析的原因是什么？

生7：g(x)的图象和性质不确定.

师：能不能对上述式子变形，使得g(x)的图象和性质确定下来？

学生摇摇头示意不会.

师：有哪位同学知道怎样变形可以确定它们的性质呢？

师：你是怎样想到这样变形的呢？

生8：我在前面遇见过类似问题，当时答案解析是将所有参数形式合并整理.

师：非常棒！大家掌声送给他.这位同学借鉴以前的学习经验分析问题，这说明我们在平时的学习过程中要注重积累，这是我们学习的宝贵财富.函数y1=(2+a)(1-x)，y2=(a+1)(1-x)与x轴都交于点(1，0)且两函数有且仅有一个交点，即x=1就是函数g(x)的零点，此时y1和y2中的参数a应该满足什么条件呢？

师：非常好！另外，对于y3=(1-a)x+a+1，参数a应该满足什么条件呢？

生9：我通过画图发现y3的图象位置与x的系数有关(请学生上台展示)，若1-a<0，即a>1时，a+1>0，此时a>1，符合题意；若1-a=0，即a=1时，y3=2，符合题意；若1-a>0，即a<1时，a+1<0，此时a<-1，符合题意.

师：(掌声响起)这位同学思路清晰，对于不确定的问题想到分类讨论逐一确定，再运用一次函数中k与图象之间的关系求解，非常精彩！这里我们已经求出实数a的取值范围是(-∞，-2)∪(-2，-1)∪[1，+∞).除此方法之外，其他组还有别的方法吗？

生10：函数g(x)=f(x)-ax+a恰有一个零点⟺函数y1=f(x)与y2=ax-a的图象有且仅有一个交点.因为函数y2=ax-a过定点(1，0)，所以我们可以作出y1和y2的图象(图1)，然后通过旋转y2的图象可以得到参数a的取值范围.

图1

师：怎样根据旋转得到a的取值范围呢？

生10：只要满足y2与y1不存在第二个交点就可以，也就是a∈(-∞，-2)∪(-2，-1)∪[1，+∞).

师：非常好！这位同学方法思路严谨，快速便捷，根据图形直接秒杀，真的是“数缺形时少直观，形少数时难入微”.其他小组还有不同的解法吗？

生4：老师，还有一种不同的解法(学生们满脸诧异).我们组是运用分离参数法进行求解，考虑x=1和x≠1两种情况作图就可以解决.

师：请这位同学上台展示，分享你们组的方法.

图2

由图可以看出，当a<-2或-2

师：非常好！这个方法和法2异曲同工，都是结合函数图象分析求解.在前面我们已经探究发现了三种方法.法1是直接建立参数不等式进行求解——直接法；法2是对方程进行变形，转化为常见的函数(一次函数、二次函数等)——数形结合法；法3将参数进行分离，然后转化为求函数的值域——参变分离法.它们是解决含参函数零点问题的常见方法.

设计意图通过小组合作探究典例的解法，充分发挥学生的主观能动性，引导学生从不同角度认识同一个问题，实现一题多解，培养学生的发散思维能力，提高学生的分析与解决问题能力，同时在学生分享过程中锻炼他们的语言表达能力.

环节4深化拓展，感悟思想

师：这些方法是我们解决含参函数零点问题的基本方法，请同学们课后多加揣摩与感悟.下面我们就上面的方法进行简单应用，请同学们思考变式并完成解答.(4分钟)

师：哪位同学愿意上来和大家分享一下自己的想法呢？

图3

生12：可以，这里我们可以将g(x)倒一下就能实现.

师：具体怎么实现呢？

图4

学生摇头……

师：老师这里给点提示，对x≠0的情况，前面我们分离参数运用的是全分离参数，那我们可不可以尝试不全部分离呢？

师：这一种分离参数的方法与前面不一样，这种思想就是典型的“曲直分离”思想，这种“半分离”的分参方法在我们今后的学习中还会遇到，请同学们课后完善具体的解答过程.同学们，这些题在解决过程中用到了很多数学思想，都有哪些数学思想呢？

生众：数形结合思想、化归思想、函数与方程以及分类讨论的思想.

师：非常棒！这些思想将会一直引领着我们高中数学的学习，提升我们的数学素养.

设计意图设置变式训练的目的是要求学生根据例题的思想和方法，现学现用，促进学生对知识和方法的迁移能力.

环节5课后练习，巩固提升

设计意图设置课后练习是为了让学有余力的学生在新知的基础上进一步学习，让他们进一步深入研究复合函数含参零点问题，培养应用意识，提升思维层次.

环节6课堂小结，提炼升华

师：经过这节课的探究，对于含参函数零点问题我们有哪些解决方法呢？

生众：直接法、数形结合法和分离参数法.

师：在利用数形结合时，等价变形的原则是能作出目标函数的图象，利用图象求解参数的取值范围；分离参数时要灵活应变，有时候采取全分离，有时候采取半分离，分参不是单纯地分离单个参数，而是结合题意分离出参数的形式.

4 教学反思

“一题一课”微专题复习课是复习课的一种形式.纵观本节课例的探究过程，根据学生的实际学情，选择合适的例题对数学题进行深度挖掘，让学生自主地探究原题的解法，渗透数形结合、化归转化、分类讨论和函数与方程等数学思想方法，提升学生对含参函数零点问题的元认知水平，实现专题复习中知识结构化、方法系统化、思想实质化.

4.1 了解学生学情，确定一个主题

美国著名教育家杜威说：“教学必须从学习者已有的经验开始，学生是学习主体，是课堂主人，一切教学都是为了学生的发展.”专题复习课教学中，由于学生已经具备复习所需的数学现实，更应体现学生为主体.本节课探讨背景源于学生的一次周练试题结果，多数学生未能在规定时间内找到解决思路或正确解答，经过分析发现，主要原因在于对含参函数零点问题学生没有经历过系统的方法总结和思想提炼，导致碰到这类问题不知从何入手.含参函数零点问题作为高考的热点题型，为了帮助学生理解和掌握这一类问题的通法，促使学生积累活动经验，结合“一题一课”的特色教学模式，本文确定了以“基于‘生本’理念的‘一题一课’微专题复习课探究——以含参函数零点问题”为主题的专题复习.

4.2 遴选一道例题，破解一类问题

著名心理学家皮亚杰说：“学习过程并不是个体获得越来越多的外部信息的过程，而是能动地构建新的认知图式，不断完善知识结构的过程.”微专题复习的目标是通过有限的复习使知识结构化、方法体系化，促进学生四基四能的发展.要达成理想教学目标，离不开精选例题.本节选择一个典型例题，组织学生讨论，探寻解决问题的策略与方法，并让学生自主展示，再总结题中的知识和蕴含的思想方法，让试题价值最大化，实现“做一题，得一法，会一类，通一片”.这既体现了微专题小、准、精和透的特点，又体现了“一题一课”中例题选择的层次性、开放性和广延性等原则[3].在组织教学活动中，让学生自由发挥，人人参与到活动中，让学生经历和体验问题的解决全过程，感悟通性通法，实现从“解题”到“解决问题”，从知其然到也知其所以然，达到从“就题论题”到“就题论法”再到“就题论道”.

4.3 注重活动过程，提炼思想方法

史宁中教授说：“学生核心素养的形成与发展，本质上不是靠教师‘教’出来的，而是靠学生‘悟’出来的”.[4]这意味着核心素养养成是一个循序渐进的过程，其培育需要给学生‘悟’的时机，给学生‘悟’的载体，才能让学生积累数学经验，感悟数学基本思想.在教学中设计小组合作的活动，让学生在互动交流中触碰思维的火花，在集体协作中实现问题解决.本例设计了6个探究互动环节，先让学生了解自己，认清学情，再复习旧知，强化基础，再小组合作，谋定对策，再变式训练，拓展深化，最后感悟过程，提炼升华.整堂课都以学生为主体，教师为主导逐步推进教学环节，在环节中给予学生充分的思考和活动时间，让学生自主去探索问题的解决过程，增强学生的活动体验，然后再对活动过程进行升华总结，提炼其中的数学思想方法，在学生体验活动中帮助其积累活动经验.学生对于单纯的数学知识是会逐渐遗忘甚至消失的，而方法的掌握、思想的形成，才能使学生受益终生，正所谓“授人以鱼，不如授人以渔”.