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考题突破探究,方法总结强化

2023-01-15肖辉

数学教学通讯·高中版 2022年12期
关键词:几何圆锥曲线不等式

[摘  要] 圆锥曲线最值问题是高中数学的典型题,探索问题解法,结合实例进行拓展强化十分必要. 文章以2022年高考浙江卷的“圆锥曲线最值压轴题”为例,开展过程探究,总结破题方法,结合实例解析强化,并结合教学实践提出几点建议.

[关键词] 圆锥曲线;最值;函数;不等式;几何

圆锥曲线最值问题在高考中十分常见,题设较为灵活,通常以曲线与直线相交为背景构建最值问题,如参数最值、线段长最值和面积最值等. 具体求解时需要结合题设条件探寻关系,合理构建思路,简捷运算推导最值.

考题再现,考点定位

1. 试题呈现

(2022年高考浙江卷第21题)如图1,已知椭圆+y2=1. 设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q0

,在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-x+3于C,D两点.

(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;

(2)求

CD

的最小值.

2. 考点定位

本题为圆锥曲线综合题,以椭圆与直线相交为背景,题设两问分别求距离和线段最值,属于圆锥曲线最值问题. 问题突破需要厘清两点,一是椭圆与直线的位置关系,二是图像中的动静要素,包括点、直线和曲线.

点与线段的关系:点Q在y轴上,为线段OP的中点.

直线与直线的位置关系:①直线PA与PB有公共点P;②直线PA,PB分别交直线y=-x+3于C,D两点.

直线与椭圆的位置关系:①动直线AB与椭圆相交于点A和B(异于点P);②直线PA和PB与椭圆分别相交于点P,A和点P,B;③定直线y=-x+3与椭圆没有交点,为相离关系.

思路突破,分步解析

题设两问均为最值问题,分别求P到椭圆上点的距离的最大值和

CD

的最小值,实则均求线段最值,求解时可采用数形结合法,结合题设条件构建求解思路. 整体分两步构建:第一步,探寻题设条件,将线段最值转化为关于参数的最值;第二步,结合参数取值确定线段最值. 下面采用分步探究的方式具体分析.

1. 突破第(1)问

第一步,设动点,构建距离.

已知椭圆+y2=1,可设M(2cosθ,sinθ)是椭圆上的任意一点,已知点P(0,1),由两点之间的距离公式可得

PM

2=12cos2θ+(1-sinθ)2=13-11sin2θ-2sinθ.

第二步,整合分析,确定最值.

对上述式子进行变形,可得

PM

2= -11sinθ

+2+≤,分析可知,当且仅当sinθ=-时取等号,所以

PM

的最大值为.

2. 突破第(2)问

第一步,设定直线,联立方程.

直线AB与椭圆的两个交点A(x,y)和B(x,y),直线AB的方程为y=kx+,与椭圆方程+y2=1联立并消除y,整理得k2

+x2+kx-=0,可得x+x= -,xx=-.

第二步,探究點坐标,求解线段长.

结合点P和A的坐标,可知直线PA的方程为y=x+1,因为直线PA与直线y=-x+3相交于点C,所以x==,同理可得x==,则

CD

=

x

-x=

-.

第三步,整合式子,探求最值.

整理上式,可得

CD

=2·

=·= ·≥,分析可知,当且仅当k=时等号成立,所以CD的最小值为.

方法总结,探究拓展

1. 方法总结

上述为典型的圆锥曲线最值问题的解答思路,主要探求线段最值,其中第(1)问利用椭圆的参数方程设定关键点并构建线段函数,再利用二次函数的性质求最值;第(2)问则采用圆锥曲线常见的破解思路,联立方程推导参数关系,将线段长表示为关于斜率参数的式子,后续使用柯西不等式求最值. 虽然两问求最值的方法有较大差异,但均为圆锥曲线求最值常用的代数法.

实际上,求解圆锥曲线最值问题,常用的方法有两种,一是几何法,二是代数法. 两种方法也是基于圆锥曲线“数”“形”属性所构建的. 几何法,即利用曲线的定义、几何性质,以及平面几何中的定理、性质进行思路构建的方法,侧重圆锥曲线的特性分析. 而代数法,则侧重将最值的几何量或代数表达式转化为某个(某些)变量的函数,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调性法以及基本不等式法等求解,代数法的“数”属性鲜明.

2. 拓展探究

圆锥曲线最值问题的破解方法主要有上述两种,但是求解时需要根据具体情形选用具体方法.

示例1 几何法求面积最值.

已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,3),点A为其左顶点,且AM的斜率为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)点N为椭圆上的任意一点,求△AMN面积的最大值.

分析:本题第(2)问探究三角形面积的最大值,需要先构建三角形面积模型再求最值. 对于△AMN,其中点A和M为定点,点N为椭圆上的动点,则可以AM为底、N为顶点构建三角形面积模型,后续只需求点N到直线AM的最大距离即可.

过程与解:(1)由题意可知直线AM的方程为y-3=(x-2),即x-2y=-4,当y=0时,x=-4,所以a=4. 点M为椭圆上的一点,代入椭圆方程解得b2=12. 所以椭圆C的方程为+=1.

(2)可视△AMN以AM为底,N为顶点,则其面积可表示为S=AM·d(d表示点N到直线AM的距离). 设与直线AM平行的直线l的方程为x-2y=m,如图2所示,当直线l与椭圆相切,且与椭圆的切点为N时,直线l到直线AM的距离最远,此时△AMN的面积可取得最大值.

x-2y=m,整理得16y2+12my+3m2-48=0,所以Δ=144m2-4×16(3m2-48)=0,即m2=64,解得m=±8,即与直线AM最远的直线的方程为x-2y=8. 点N到直线AM的距离为两平行线之间的距离,即d==,由两点之间的距离公式可得AM=3,所以△AMN面积的最大值为S=AM·d=×3×=18.

评析:上述第(2)问求解△AMN面积最大值采用的是几何法. 首先构建三角形面积模型,将面积问题转化为距离问题,即求椭圆上动点N到定直线AM的最大距离;其次通过平行线间距离的分析,确定直线与椭圆相切的切点为所求的动点N,从而推导出△AMN面积的最大值.

示例2 函數法求面积最值.

(2021年高考全国乙卷理数第21题)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.

(1)求p的值;

(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.

分析:本题第(2)问为三角形面积最值问题,同样需要构建三角形面积模型,但题目中三角形三个顶点的位置均不确定,因此需要设定坐标,将三角形面积转化为关于参数的函数,通过分析函数性质来确定最值.

过程与解:(1)由题意可知M(0,-4),F

0,

,☉M的半径r=1,所以MF-r=4,即+4-1=4,解得p=2.

(2)可视△PAB以AB为底,P为顶点,则其面积可表示为S=AB·d(d表示点P到直线AB的距离).

由第(1)问可知抛物线的方程为x2=4y,由题意可知直线AB的斜率存在,设A(x,y)和B(x,y),直线AB的方程为y=kx+b,联立x2=4y,

y=kx+b,整理得x2-4kx-4b=0,则Δ=16k2+16b>0,由韦达定理可得x+x=4k,xx=-4b,则

AB

=

x

-x=·=4·.

因为x2=4y,即y=,所以y′=,所以抛物线在点A处的切线的斜率为,所以在点A处的切线方程为y=(x-x),即y=x-,同理可得抛物线在点B处的切线方程为y=x-.

联立

y=x-

y=x-

,则

x==2k,

y==-b,即点P(2k,-b). 由于点P在☉M上,则4k2+(4-b)2=1①,且-1≤2k≤1,-1≤4-b≤1,所以-≤k≤,3≤b≤5,满足要求.

点P到直线AB的距离d=,故△PAB的面积S=AB·d=4. 由①式可得k2=,令t=k2+b,则t=,且3≤b≤5. 因为t=在[3,5]上单调递增,所以当b=5时,t取得最大值5,此时k=0. 所以△PAB面积的最大值为20.

评析:本题第(2)问探究三角形面积最大值,采用的是函数法,即将三角形面积转化为关于参数的函数,然后通过分析函数性质确定面积最大值. 在函数分析时结合了局部构造、导数分析等方法,充分简化了解析过程.

解后反思,教学建议

通过上述对圆锥曲线最值问题的探究,总结该类问题的破解策略,并结合实例进行拓展强化,其探究思路对于教学备考有着参考价值.

1. 考点定位分析,分步解析突破

圆锥曲线最值问题为高考典型题,上述按照“考点定位→分步解析”的策略进行了示例突破,“考点定位”中梳理条件,明晰结构;“分步解析”中系统呈现了问题的解析过程、破解思路. 这种探究方式可全方位地解析考题,明确类型问题的破解策略. 教学中建议结合实例进行过程探究,让学生关注考题结构、考查重点,通过过程分析掌握问题的破题思路. 教学时要注意设问引导,让学生充分思考,体验过程.

2. 关注破题思路,总结解题策略

“反思总结”是解题教学探究的关键一环,在该环节中可以帮助学生从“解题层面”上升到“思路方法应用层面”,从而形成类型问题的破解策略. 教学中教师可从以下三方面进行总结引导:一是引导学生关注考题的结构特征,深刻理解问题本质,包括考题的特殊条件、位置关系等;二是引导学生反思解题的思路构建,思考类型问题的其他破解方法;三是引导学生反思方法的本质内容,如上述代数法的代数视角和几何法的几何视角.

3. 拓展探究强化,提升综合能力

“拓展强化”有助于学生深刻理解问题及方法,从而完成解题探究的内化吸收,该环节中需要注意两点:一是注意方法的解题应用,让学生感受解题过程;二是注意全面探索方法,即使用具体实例来探索解法. 实际教学中可以采用“变式探究”和“拓展探究”两种方式,对类型问题进行合理变式,结合对应方法进行破解,同时开展方法拓展,深入解读方法,将解法拓展到其他问题的解答中. 教学时可合理渗透数学思想,提升学生的综合能力.

写在最后

在圆锥曲线最值问题的教学探究中,教师要充分调动学生的思维,让学生参与过程,充分思考,形成自我的解题认识. 教师要做好教学引导,引导学生从“解题过程”中提取“方法策略”,从“方法思路”中感悟“数学思想”,提升学生的综合素养.

作者简介:肖辉(1981—),本科学历,中小学一级教师,从事中学数学教育教学工作.

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