高中数学概念建构策略的研究

［摘  要］ 数学概念的建构方式有多种. 文章认为，实践操作活动建构概念，能让学生对概念的形成过程产生深刻理解，形成长时记忆；模型建构概念是帮助学生完善知识体系的基础；演绎建构概念能让学生理清概念间的联系；类比建构概念可让学生对概念的内涵与外延产生清晰的认识；反思建构概念可发展学生的学习能力.

［关键词］ 概念；模型建构；演绎建构；类比建构；反思建构

概念是数学的细胞，是一切教学活动的基础. 高中阶段所涉及的数学概念包含代数、几何、概率、统计与三角学等，量多且范围广，一些抽象程度高且综合性强的概念，难免会给学生的学习带来困扰. 帮助学生理清概念的内涵与外延是突破这一难点的关键. 实践证明，优化高中数学概念建构可从以下几方面做起.

活动建构概念

教学中，教师若将概念直接告知学生，学生很快就会忘记；若演示给学生看，学生能够记住；若让学生亲历过程，学生能弄清概念形成的来龙去脉. 动作是感知的源泉，是教学的基础. 学生的智慧往往凝聚在十只手指上，操作活动的开展能为概念的建构，奠定生动形象的表象基础，帮助学生更好地接纳、建构概念.

随着新课改的推进，在注重“过程教育”的当下，实践操作活动的开展已经从一种课堂形式转变为学生学习的内在需求，因此它成了不同数学课型的首选. 正如杨振宇所言，已有的知识与方法是别人指明道路让你去走，而新的知识与学习方法需要我们自己去探索. 为了培养学生的创新精神，让学生从根本上掌握概念的本质，教师应将培养学生的主动探索能力根植于课堂的每个环节，让学生在手脑并用的活动中自主建构并内化新的概念［1］.

概念的形成会经历一个漫长的过程，一般由人类通过大量实践逐步抽象而来. 教学中，教师可创造更多的机会，让学生亲历概念的形成与发展过程，尤其是在多媒体迅速发展的今天，教师可以借助几何画板等工具，让学生经历操作、发现、探索与归纳等过程，便于学生自主抽象概念，深刻体会“告知”与“自主建构”的区别.

实践操作能改变学生的数学观，养成学生良好的学习习惯. 教师设计概念教学时，应结合学生实际的认知水平和特点，创设丰富的活动情境，引导学生感知、体验、应用概念，达到主动建构和完善认知体系的目的. 如判断立体几何中的空间直线与平面的位置关系，教学圆锥曲线、向量坐标、概率等，都可以通过开展活动来帮助学生建构概念.

案例1 “抛物线”的概念教学.

活动步骤：

（1）在一张纸的2厘米处画一点，按照图1所示的方法，将这张纸折叠20～30次获得一系列折痕，并将这些折痕勾勒出来，形成一条曲线轮廓.

（2）观察并猜想：所有折痕围出了抛物线的形状.

（3）画图，建立平面直角坐标系，获得与y=1/4x2的图像接近的图像.

（4）借助几何画板演示折纸的过程与抛物线的形状.

（5）如图2所示，画3条与y轴平行的直线，经过折纸发现其反射线恒过y轴上的某个定点.

（6）借助几何画板进行演示与证明.

（7）形成“焦点”“准线”的概念，概括抛物线的概念.

经过以上实踐活动的探索，学生很快获得了抛物线及焦点与准线的完整定义. 在此过程中，学生积极参与整个操作过程，学习热情空前高涨. 借助操作活动的开展实施概念教学，可让学生在动手动脑的过程中仔细观察，自主获得问题的主要特征，为进一步抽象概念奠定基础.

当然，概念教学活动的开展，除了动手实操外，教师还可以带领学生观察一些仿真的实验，以形成直观的视觉冲突，为更好地建构概念服务. 值得注意的是，随着时代发展而兴起的现代化教学手段，不能只作为教师在课堂上演示的工具，还要让这些先进的设备设施成为学生动手实操的学具，鼓励学生边操作、边观察，获得主动发现与建构新知的能力.

模型建构概念

数学模型是指为了达到某种教学目的，对现实原形进行抽象并简化而来的数学结构. 建模思想的本质是抽象与转化，从概念建构的角度来看，建模是指抽象出现实事物的本质特征，并将抽象而来的内容提炼转化为概念的重要思想. 数学建模对学生领会数学思想方法，体验概念形成具有重要意义.

建模思想指导概念教学，不仅利于学生建构数学知识，还能促进学生对新事物的理解与掌握，从一定程度上培养与发展学生的学习兴趣，提高教学的时效性. 借助建模思想实施的概念教学与传统的概念教学的侧重点有所区别.

案例2 “数列”的概念教学.

传统的数列概念教学，一般遵循以下流程，情境介绍有序变化的实例—抽象定义—辨析定义，其教学重点基本放在辨析哪些属于数列、哪些不属于数列的范畴，着重关注数列“有序”这一特点. 这种教学模式让不少学生难以理解“有序”的要求是什么，为什么要研究“有序”这个问题.

以建模思想研究数列概念教学，一般遵循以下流程，师生共同探寻有序变化的实际案例—用数学语言表征案例所具备的共同属性—抽象出数列的概念，其教学重点在概念的产生过程上，不仅要让学生明白数列具有“有序”特征，还要让学生结合数列概念的研究目的与产生过程，明白为什么数列具有“有序”特征.

类比以上两种教学流程，前者将教学重心放在概念定义的辨析上，后者的教学重心则倾向于学生在建构概念过程中的体验. 换个角度来分析，即前者更注重概念本身，而后者则跳出了概念本身，在建构过程中获得理解. 也就是说传统的教学模式能让学生明白概念是什么，建模思想下的教学模式能让学生明确概念为什么是这样的.

我们所生存的这个物质世界本就存在着不少有序变化的事物，教师带领学生主动发现这类事物的特点，并将其有序性抽象出来可让学生建构新的数学模型，即形成数列概念. 鉴于以上两种教学模式的类比，教师教学数列概念时，应将教学重心倾向于数列的作用与意义，切忌与学生一起纠缠在概念的字面意义上，纠结于字面意义的概念教学无法让学生体验到概念的实际价值.

演绎建构概念

数学知识本就是以概念为核心的演绎体系. 将高中阶段的数学概念进行简单罗列，会发现很多概念之间存在着一定的逻辑关系. 如大家熟悉的函数，它与对数函数、指数函数、三角函数等都有着重要的内在联系，其中对数函数与指数函数是反函数的关系.

概念与概念之间不论是从属关系，还是一般与特殊的关系，都为学生建构概念明确了方向. 从认知学的角度来看，概念学习同样遵循“同化”与“顺应”过程，此过程主要通过概念间的联系而界定［2］. 其实，概念间的逻辑关系是概念教学的催化剂，它不仅能帮助学生建构稳固的知识体系，还能让学生体验从特殊到一般或从一般到特殊的认知规律.

综上分析，教师在概念教学中可通过演绎来完善学生对概念间的逻辑关系的认识，让学生建构完整的概念体系.

案例3 “三角函数”的概念教学.

三角函数的概念教学在三角比内容后，不少学生直接认为这是三角知识，若探索三角函数的图像与性质时，教师没有采取相应的辨析措施，直接以题论题进行讲解，则会让学生忽略“三角函数实则为一类特殊的函数”，教学效果自然大打折扣.

在三角函数概念的教学环节，教师如果带领学生借助函数概念的研究方法，深化对三角函数的认识，那么三角函数概念的建构则顺理成章. 这种以演绎建构概念的教学策略，对于学生而言，三角函数不再是孤立存在的三角学的相关知识了，而是“函数”这个大家族中的一个特殊点.

类比建构概念

数学知识体系中，有不少属性类似的概念. 遇到这一类的概念教学，教师可带领学生从已知的概念属性出发，借助问题情境引发学生自主类比、抽象，并给予新概念合适的名称. 如此，新概念更容易同化到学生原有的认知体系中.

案例4 “异面直线的距离”的概念教学.

异面直线的距离反映的是两条异面直线相对位置的几何量，其中异面直线形成的角并不能刻画异面直线间的远近程度，只能说明异面直线的倾斜程度怎么样，如果想要刻画两条异面直线间的远近程度，还需要用“异面直线的距离”来分析.

为了让学生在类比过程中建构良好的概念结构，教师可带领学生回顾之前接触过的点与点的距离、点与直线的距离以及平行线间的距离等，边回顾、边概括它们之间存在的共同点为：每种距离问题都可以归纳为点与点的距离，且这种距离具有“确定性”与“最小性”特征.

明确了关于距离的特征后，再研究两条异面直线的距离问题. 此时，要求学生自主探讨以下两个问题：①关于异面直线a，b，它们之上的哪两点间具有最小距离？为什么？②如图3所示，已知点B为直线a上任意一点，过点B作BA与直线b垂直，A为垂足，那么线段AB的长是异面直线a，b的距离吗？

探究引导：过点A作AC与直线a垂直，C为垂足，点C与点B不重合，那么在Rt△ABC中有AB>AC，也就是说存在AB并非最小的情况. 而后又过点C作CD与直线b垂直……若线段只与直线a，b中的一条垂直，则该线段只能是由a，b上相应的三点连接而成的直角三角形的斜边，其长绝不可能为a，b上任意两点的最小距离. 那么，异面直线a，b上任意两点的最小距离究竟是哪根线段的长呢？

通过以上引导，学生很快就有一种豁然开朗之感，并获得结论：如果异面直线存在最小距离的话，那么最小距离就是与异面直线都垂直相交的线段的长.

在教师的引导与类比分析中，学生将获得的结论进行规范论证并表述，确定当异面直线a，b存在公垂线段NM时，公垂线段NM的长是最小的，且是唯一的，因此公垂线段NM的长为异面直线a，b的距离.

类比分析让学生自主建构新概念，其中对于已有的距离概念的理解是衍生新概念的附着点. 鉴于概念是由学生自主类比分析建构的，属于一种自然过渡，课堂显得自然、淳朴且充满着生机. 实践证明，抓住新旧概念的异同点，可让旧概念成为新概念的学习基础，让新概念从旧概念的身上生长而来. 当然，类比的形式有多样，如有限与无限的类比、平面和空间的类比等，类比带来的结论并不一定完全准确，教师还应引导学生形成及时勘误的习惯，以完善对概念的认识.

反思建构概念

众所周知，衡量学生对概念的掌握程度，并不在于学生对概念的语言表征的情况，而要从学生对概念内涵与外延的理解程度来分析. 良好的反思习惯是建构概念的基礎，也是促使学生对概念产生深刻理解的主要途径.

案例5 “双曲线”的概念教学.

课堂中，当抽象出双曲线的定义（略）后，为了强化学生对双曲线定义中的关键词“绝对值”“小于

F

F”等的认识，教师提出以下问题要求学生进行反思：①若在其他条件不变的情况下，分别将定义中“小于

F

F”的条件替换成“等于

F

F”和“大于

F

F”，点的轨迹会是怎样的？②若其他条件不变，仅仅去掉“绝对值”，点的轨迹会是怎样的？③当常数为0时，点的轨迹会是怎样的？④去掉限制条件“小于

F

F”，其余条件均不发生变化，点的轨迹又会是怎样的？

在以上几个问题的驱动下，学生对双曲线的定义进行了全面反思，把每一种情况都考虑到了. 这种反思建构概念的方式，让学生对双曲线的定义有了更深层次的理解，为接下来的应用夯实了基础.

总之，概念教学在高中数学教学中占有举足轻重的作用. 教师应从内心深处认识到概念教学的重要性，选择优异的学生容易理解和认识概念的策略进行教学，让学生在理解与认识概念的过程中夯实知识基础，提升学习能力，发展数学核心素养.

参考文献：

［1］  邵光华，章建跃. 数学概念的分类、特征及其教学探讨［J］.课程·教材·教法，2009，29（07）：47-51.

［2］  章建跃. 如何帮助学生建立完整的函数概念［J］. 数学通报，2020，59（09）：1-8.

作者简介：王蕾（1985—），硕士研究生，中学一级教师，从事高中数学教学与研究工作，曾获广东省高中数学核心知识讲解比赛二等奖.