“复演”式概念教学的研究与实践

李方红 姜锡春

［摘要］ 构建一种普适的教学范式在当下正彰显出蓬勃的生命力，化散为整，由点到面，通过前后、上下联通实现认知系统化，从学会到会学，真正为学生更好成长而奠基。概念教学应着力培养学生的数学抽象素养，基于数学抽象的生发机制，构建起“复演式”概念教学的范式，即包括概念产生、概念表象、概念抽象、概念外延、概念应用、概念衍生六维一体的认知闭环链，包含情境复演、操作体验、符号表征、类属建构、联通生活、创新发展的一体化活动生态圈，助力学生数学抽象素养的提升。

［关键词］ 概念教学；复演式；倍的认识

数学抽象素养是数学核心素养的起点与原点，而数的概念、数量关系的概念又是数学抽象的起点与原点。小学数学四大板块，数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践，均围绕数与数量关系展开学习。可见，夯实概念教学，依托概念的研究与探索这个支点，让学生经历数学抽象的完整过程，累积丰富的数学抽象经验与方法，提升数学抽象的意识与能力是培养学生数学核心素养的重要抓手，也是课堂教学的着力点。对概念教学（数学抽象教学的支点）的研究与梳理彰显出它的价值与必要性。

概念是数学抽象的基础与核心内容载体，是规律与结构表征的基础与起点。概念是思维活动的结果和产物，同时又是思维活动借以进行的单元。表达概念的语言形式是词或词组。概念都有内涵和外延，即涵义和适用范围。可见，学生要能抽象出数学概念，必须对数量与数量关系、图形与图形关系有丰富的认识，并能抓住其本质特征，通过数、符号、语词对其进行记载与表征，还要清晰地理解概念的外延（即类属，如整数概念的外延，就是指有哪些不同的整数，包括哪些整数）。在实际生活中加以应用与拓展，才算完成了概念的內化，完成了数学抽象，即先有对概念表征对象的丰富认识，才能抽取出一般规律与本质属性，也才能对其进行表征。这个过程实际上就是数学家最初发现规律，并进行数学抽象的过程。让学生经历完整的数学抽象过程，利于激发学生的探究兴趣，利于累积丰富的研究经验与方法，利于培养学生的自主学习能力，利于建立概念的真理信仰（理解并确信为真的想法），利于概念的内化与应用。由此，概念教学采取与数学家研究数学历程相似的“复演”式教学更利于学生数学核心素养的培养。

所谓复演就是指让学生自主参与，体验实践，研究探索，合作交流，像数学家那样真实、完整、深度经历“概念产生、建立丰富概念表象、概念内涵表征、厘清概念外延、概念应用与概念新衍生”的数学抽象认知回环链（此认知回环链是概念抽象的基本路径）的一种教学程式。当然，“复演”往往是此概念产生与抽象的“精缩”版。本文以人教版三年级上册第五单元“倍的认识”一课教学为例，具体阐释“复演”式概念教学的思想理念与操作程式。

一、概念产生：情境复演，价值驱动

概念产生即为什么会出现这个概念，这个概念有何价值，是怎样来的等一系列溯源性问题的追问与阐释。小学阶段概念的产生往往包括生活中数学规律的抽象，已有概念不能揭示新规律或不够精简直观，已有概念的具体细化，已有概念的反向与相对概念等形态。如“数”是一个原点性概念，“比”是一个已有概念的优化概念，平行四边形是四边形的具体细化，负数是正数的相对概念等。

不管是哪种形态的概念，在设计教学活动时，都要还原到概念产生的原本生活情境中，让学生体悟新概念的价值，让学生经历新概念出现的问题解决情境，才能还原出鲜活、真实的研究现场，激发学生的探究欲望。

“倍”本质是描述两量倍比关系的一个概念，是学生已有概念“几个几”的精练与直观表征，是描述两量关系的谱系拓展。由此，在本节课伊始，设置了同学和老师拍手不同次数的鲜活情境，让同学们先拍两次，老师跟着有节奏拍6次。让学生说一说他们的发现。学生自然会联系已有经验，说明大小关系、相差关系、总和关系及倍比关系，自然引出新概念的学习。

二、概念表象：操作体验，图示直观

概念表象指学生对概念所指的具体的事物有感性的认识与接触，并建立起概念所指的多个具体事物的鲜活形象。在数学学习中，就是指概念所指的具体数量、数量关系、图形与图形关系等具体的形象支撑，也就是我们常说的感性认识。如长方形概念表象指学生在接触了生活中某一个面是长方形的多个物体后形成了关于长方形鲜活的实物形象。由此可见，概念表象的建立离不开鲜活的生活情境与素材，离不开学生的动手操作，离不开直观的图示。在教学活动设计中，应选取生活中典型、规范、标准的素材，让学生通过多重感官去感知，去体验，去描述，并通过多种形式，如量一量、摆一摆、画一画、圈一圈、数一数、说一说等来表征他们的直观感受与形象理解。

基于生活经验，部分学生可能听过几倍的数量关系，但概念的表象与内涵都还比较模糊。当学生说到老师拍的次数是同学们的3倍或老师拍的次数有3个同学拍的次数那么多时，老师不要急于揭示倍的概念，而是引导学生想办法让大家看清楚3倍是什么意思。实际上就是让学生做示范，带着全班同学经历多重感官感受，多种形式表征“一个量有几个另一个量”的数量关系。

学生想到了可以用画圆圈来表示各自拍的次数，同学们对应画两个圆圈，老师画6个圆圈。可以用圈一圈的方法来体现这样的关系。把同学们拍的2次用一个圈圈起来，老师拍的6次，也2个圈一起，共有3个圈。所以，老师拍的次数有3个同学拍的次数那么多。这个过程，学生画图表示各自的数量及相应的数量关系，涉及肢体操作、图示表征、言语描述等多感官、多形式的表象建立。老师追问，还可以怎样表示，其他同学想到了将6次拍手分成2次一组，间隙再拍一组，来表示它们之间的倍比关系。也有同学想到了用画线段图来表示。总之，学生通过系列动手操作，动笔画图、动脑思考、动嘴表达的过程，建立起老师拍的次数有3个同学拍的次数那么多的清晰、牢固、稳定的生动形象，为概念抽象做好了铺垫。

三、概念抽象：符号表征，语词概括

在建立概念清晰的表象后，下一步自然是概念抽象，即用数、符号、语词高度概括概念的本质属性和一般特征。这一步是概念表象的“一般化”“本质化”“概括化”。概念抽象针对上文所说的不同类型的概念，在抽象概括时有不同的策略。如“几倍”这个概念，是属于已有概念“一个量有几个另一个量”的概念优化，体现在表达的简洁与直观性。当学生说出“同学们拍了两次，老师拍了3个两次”时，教师可以顺势引导学生：“我们就说老师拍的次数是同学们的3倍。”同时，教师及时板书：同学们拍了两次，老师拍了3个两次，老师拍的次数是同学们的3倍。然后，教师请学生再来说一说，全班一起说一说，同桌互相说一说，通过三次表达，及时巩固新的概念。

此时，教师不需要言说几倍背后的抽象本质——比较量有几个标准量，就说比较量是标准量的几倍——这对于三年级来说过于抽象，教师要为学生的认知降低负荷。这里不需要说谁是标准量，谁是比较量，学生能感受到即可。

此外，也不宜高度抽象“几倍”的语词表征（“几倍”表示一个量有几个另一个量），要让学生进一步通过丰富的概念外延建立表象，从多个特殊例子中再度抽取一般属性，方能水到渠成。当然，不同概念教学时也应有区别，教师需要伺机而动。

四、概念外延：类属建构，丰富表象

概念的外延指这个概念所反映的事物对象的范围，即具有概念所反映的属性的事物或对象。简单地说就是这一概念下的细化类别。一般来说，概念内涵越多，外延便越少。概念的外延从不同角度看，存在不同的分类。对数学学科中的概念外延理解，需要基于概念内涵的本质属性将对应类别以某一角度或多个角度进行范畴界定，在教学活动中有机渗透在具体的例子中，让学生生动地理解并构建起清晰的细化类别认知结构图。

倍在数学中的具象概念是几倍，几倍的本质是一个量（比较量）有几个另一个量（标准量）。从数量上分析，包括1倍和几倍两种情况。从关系上分析，包括确定标准量，变化比较量，几倍的几增加；确定比较量，变化标准量，几倍的几减少；变化参考系，即标准量与比较量互换（小学阶段一般说多的数量是少的数量的几倍），几倍的数量关系在变化；同时变化标准量与比较量，导致多重变化；变化事物量而导致的变化等。

由此在本节课中，将两个角度的类别融通在了一起，以关系分析为主线，以概念抽象的典型案例拍手次数为素材，一材多用，让学生在生动的拍手变化次数中理解概念外延，丰厚概念表象，抽象概念本质。

（一）变比较量：内化倍的概念内涵

“请同学们再听听老师拍的次数”（老师拍两次为一组，有节奏地拍了8次）。老师示意学生举手，学生心领神会。“同学们拍了两次，老师拍了4个两次，老师拍的次数是同学们的4倍。”此时老师让学生想象，如果再拍两次呢，学生说5倍。老师请全班同学完整表达，“同学们拍了两次，老师拍了5个两次，老师拍的次数是同学们的5倍。”“增加点难度，如果老师拍的次数是同学们的6倍，你们当老师，拍一拍。”这样，学生基于概念，要自主完善对应的表象系统，想到6倍表示6个两次，要拍12次。

通过老师拍手，学生根据几倍思考拍的对应次数，在轻松的拍手中感受到比较量变化，几倍就跟着变化。因而倍的本质就是看有几个标准量那么多。

（二）变标准量：渗透特殊的倍的理解

变标准量时，活动设计上从具体的拍手操作，走向图示直观。让学生静下心来基于直观的图示进一步理解几倍的本质。“接下来我们来玩一个游戏，超级变变变的游戏。请同学们闭眼，撑开眼睛。”（老师将最初同学拍两次，老师拍6次，把同学拍的2次擦掉1次）老师示意学生举手发言。“同学们拍了1次，老师拍了6个1次，老师拍的次数是同学们的6倍。”老师追问：“若老师拍的次数是99次呢？”“老师拍了99个1次，老师拍的次数是同学们的99倍。”老师进一步追问：“你有什么发现？”学生自然回答道：“当同学们拍1次时，老师拍多少次，就是同学们的多少倍。”

再让学生闭眼，同学们拍的次数增加两个圈，“老师拍了2个三次，老师拍的次数是同学们的2倍。”同学们拍的次数变成六次，“同学们拍了六次，老师拍了1个六次，老师拍的次数是同学们的1倍。”老师指着黑板上同学们拍的次数、老师拍的次数及1倍，示意学生发言。学生自然理解，当两个数量相同时，也可以说两个数量之间是1倍的关系，是互为1倍的。

（三）变参考系：高度抽象几倍的本质属性

同学们拍的次数这次一下子增加六次，即变成了12次。老师追问“有什么改变”，学生回答：“同学们拍的次数比老师拍的次数多了。”老师示意学生进一步回答两者的倍比关系。学生自然体悟到，此时应该把老师拍的次数看成标准量，说成“老师拍了六次，同学们拍了2个六次，同学们拍的次数是老师的2倍”。老师进一步追问：“如果你们拍的次数是老师的4倍，你们拍多少次呢？你们能让我清晰地感受到4倍的存在吗？”学生便自然地以六次拍手为一组，连续拍4组。

此时，通过变比较量、变标准量、变参考系，通过几个是1的几倍，两数量相等时互为1倍的直观感受，学生一方面对概念的外延有了清晰的认识，另一方面也进一步丰富了概念的表象。然后再让学生来概括几倍的含义时，学生自然就能用高度凝练的语词来表征概念了。“多的量里有几个少的量，就说多的量是少的量的几倍。但两者数量相等时，就是1倍关系。”学生发现1也是几，1倍也是几倍，所以可以直接说成“一个量里有几个另一个量，就说这个量是另一个量的几倍”。

在完成概念高度抽象后，顺势让学生探讨为什么要发明几倍这个概念。学生恍然大悟，因为几倍比说一个量有几个另一个量要简洁得多，又比说一个量比另一个量多多少更加直观形象。所以，倍的产生意义非凡。

最后，让学生总结今天所学的内容，通过总结回顾，再现研究历程，总结方法经验，梳理认知结构，形成整体认识。

五、概念应用：联通生活，开阔视野

通过概念表征，通过对内涵与外延的界定，基于数学层面的概念已经建构起来了，但学生是否能结合真实生活情境，将生活問题转化或抽象成数学问题，将生活现象转化或抽象为数学概念，以及将数学问题与概念还原为生动具化、形式多样、变式丰富的生活问题或概念，既考验着学生对数学问题与概念内化的深度，也彰显着学生将数学问题与概念外化的灵活性，即“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”的能力。

具体来说，概念的应用可以通过各种练习、生活实践、文化渗透、视野开阔等展开，直至学生能基于内化灵活地外化输出。

（一）巩固练习：在真实生活情境中实现概念外化

学生是否真的掌握概念，需要脱离具体的例子，跳出概念语词本身，走向生活进行检验。于是，设计了一幅动物园内各种动物活动的图，有6只鸭子、18只鹿、36只兔子、6只猴子，让学生提出问题并解答。这里就存在标准量与比较量不断变化的情况，也存在参考系的变化。学生能体悟到如果选择不同的两个数量，倍数关系的表达就会有所不同。既有1倍的关系，也有多倍的关系，还有标准量与比较量的灵活变化，如18只鹿既可以是比较量，也可以成为其他比较量的标准量。

（二）开放练习：变物体不同属性的量来活化概念外延

思维是数学的灵魂，是数学学习的种子，培养学生系统、辩证、发散、整体、理性等思维有助于学生学会思考，学会研究，真正从学会走向会学，让数学课充满生命力、生长力、生发力。在学生能灵活选择标准量、比较量进行两量倍比关系表达后，可以让思维再进一步，让学生基于同一物体不同属性的不同量来深度理解概念的外延。如下图所示的一道开放练习：

通过学生提问并解决，让学生发现，这里既可以从短绳与长绳的根数来表达倍数关系，也可以对一根短绳与一根长绳（或三根短绳长度与一根长绳长度）的长度进行比较，还可以观察三根短绳的手柄数与一根长绳的手柄数的数量关系等。学生豁然开朗，得出这样的发现：同样的物体，从它的不同的量去观察，会得出不同的数量关系。

（三）文化渗透：倍的研究历史

数学史蕴含着丰厚的数学研究精神，也承载着丰富的数学思想方法，通过简短的概念发展历程介绍，让学生体悟概念的产生与优化过程，明晰概念的本质，进一步丰厚认识、活化理解。“公元3世纪，印度的一位科学家巴格达发明了阿拉伯数字，这就是倍数关系起源的时候。阿拉伯数字发明的时候，倍数关系是随阿拉伯数字应运而生的。但明确提出倍这个概念则是乘法发明以后，最早的记载是我国的春秋时期。”通过倍的产生，学生体悟到，实际上数量产生的时刻，数量关系就相伴而行了。数量关系是描述两个量或多个量之间的各种关系的统称，不同的数量关系描述着不同的关系。

六、概念衍生：创新发展，延学导引

概念的衍生有很多形态，包括概念的更替、概念的优化、概念的具化、概念的拓展、概念的变迁等。倍这一概念本质是表达两个量的多少比较关系。如2与8的数量关系，说8比2多6，人们能感受它们之间的多少关系。但说8是2的4倍，人们能更进一步具体感受数量间的关系，即8有4个2那么多。由此，进一步让学生思考，如果是48和6相比，它们之间的多少关系还可以怎样表示呢？此处为六年级上册“比”的概念埋下伏笔、做好铺垫。比用于描述两个同类量之间的关系时，本质就是描述的两个量的倍数关系。如8 ： 1表示一个量是另一个量的8倍，或者理解成一个量有8份，另一个量有1份。

概念教学应聚焦数学抽象素养的培养，概念教学的认知过程本质就是数学抽象的建构过程。让学生经历数学概念的完整生发过程，有利于学生后续学习其他概念时迁移应用，从一节课的学习推广到一类课的学习，让每一节课提质增效，变学会为会学，真正为学生一生的数学学习打下坚实的基础。

［参考文献］

［1］于江兵.模型思想在数学概念教学中的应用[J].小学教学参考，2021（35）：54-56.

［2］李方红，周智雄，董顺，王朕照.“復演式”单位起始课教学模式的构建与实践：以人教版二年级下册第八单元“克”的教学为例[J].现代中小学教育，2019，35（04）：42-47.

李方红   重庆市巴蜀小学。

姜锡春   重庆市巴蜀小学，重庆市特级教师。