由一道考研题引起的对随机变量独立性的探讨

2023-01-14刘可为宁荣健

大学数学 2022年6期

关键词：引例正态分布实数

刘可为，宁荣健

(合肥工业大学数学学院, 合肥 230601)

1 引言

2022年全国硕士研究生入学统一考试数学一第10题为

引例设X～N(0,1)，在X=x的条件下，Y～N(x,1)，则X与Y的相关系数为( ).

所以

下面给出两种解法.

解法1由于二维正态分布的密度函数为

解法2由于X～N(0,1)，则EX=0, DX=1,而

则Y～N(0,2),E(Y)=0,D(Y)=2.由于

所以X与Y的相关系数为

故选(D).

对于大多数考生来说，解法1的计算量虽然不大，但是其中二维正态分布的密度函数却难以记住，影响正常解题.作为填空题，解法2的计算量过大，不宜采用.

本文通过该问题中的有关独立性的讨论，给出本题方法简单，计算量适中的解题方法.

2 主要结论

引例中，在X=x的条件下，Y～N(x,1)，可得Y-X=Y-x～N(0,1)，表明Y-X的条件分布与X取值无关，能否由此断言X和Y-X相互独立？其答案是肯定的，给出下列定理.

定理1设函数z=z(x,y)具有一阶连续偏导数，且z′y≠0，y=y(x,z).X和Y为随机变量，X的密度函数为fX(x).如果对满足fX(x)>0的任意实数x，当X=x时，Z=z(X,Y)的条件密度函数fZ|X(z|x)与x无关，并记fZ|X(z|x)为g(z)，则

(i)X和Z相互独立，且Z的密度函数fZ(z)=g(z)；

证(i)记(X,Z)的密度函数为f(x,z),-∞0的任意实数x，

f(x,z)=fX(x)fZ|X(z|x)=fX(x)g(z), -∞

对满足fX(x)=0的任意实数x，f(x,z)对z几乎处处为0，因此对任意(x,z)∈2，f(x,z)=fX(x)g(z)几乎处处成立.由于fX(x)dx=1，得g(z)=f(x,z)dx=fZ(z)，故f(x,z)=fX(x)fZ(z)在2内几乎处处成立，所以X和Z相互独立，且Z的密度函数fZ(z)=g(z).

(ii)由于X和Z相互独立，故由文献[1]定理2知Y的密度函数为

定理2设函数z=z(x,y)具有一阶连续偏导数，且z′y≠0，y=y(x,z).X和Y为随机变量，X的分布律为P{X=xi}=pi,i=1,2,….如果对满足pi>0的任意实数xi，当X=xi时，Z=z(X,Y)的条件分布律与xi无关，并将其记为P{Z=zj|X=xi}=qj，j=1,2,…，则

(i)X和Z相互独立，Z的分布律为P{Z=zj}=qj,j=1,2,…；

(ii)记Y=y(X,Z)的取值为y1,y2,…,yk,…，Y的分布律为

证(i)记(X,Z)的分布律为

P{X=xi,Z=zj}=pij,i=1,2,…；j=1,2,….

对满足pi>0的任意实数xi，

pij=P{X=xi,Z=zj}=P{X=xi}P{Z=zj|X=xi}=piqj,j=1,2,…；

P{X=xi,Z=zj}= P{X=xi}P{Z=zj}，

所以X和Z相互独立，Z的分布律为P{Z=zj}=qj,j=1,2,….

(ii)由于X和Z相互独立，故(X,Z)的分布律为

P{X=xi,Z=zj}=piqj,i=1,2,…；j=1,2,…，

进而得Y的分布律为

定理3设函数z=z(x,y)具有一阶连续偏导数，且z′y≠0，y=y(x,z).X和Y为随机变量，X的分布律为P{X=xi}=pi,i=1,2,….如果对满足pi>0的任意实数xi，当X=xi时，Z=z(X,Y)的条件密度函数fZ|X(z|xi)与xi无关，将其记为g(z)，则

(i)X和Z相互独立，且Z的密度函数fZ(z)=g(z)；

证(i)记(X,Z)的分布函数为F(x,z)，X的分布函数为FX(x)，Z的分布函数为FZ(z)，-∞0的任意实数xi，以及-∞

对满足pi=0的任意实数xi，P{X=xi,Z≤z}=0，所以对任意的i=1,2,…,-∞

P{X=xi,Z≤z}=P{X=xi}P{Z≤z}.

进而对任意的-∞

即F(x,z)=FX(x)FZ(z)，所以X和Z相互独立，Z的密度函数为fZ(z)=g(z).

(ii)由于X和Z相互独立，故有

有了上面相关结论，再来看引例.记z=y-x，z′y=1≠0.由于在X=x条件下，Y～N(x,1)，故Z=Y-X=Y-x～N(0,1)，与x无关，所以由定理1(i)知X和Z相互独立，Z～N(0,1).进而由Cov(X,Z)=Cov(X,Y-X)=0，得Cov(X,Y)=DX=1.又Y=X+Z～N(0,2)，DY=2，所以所求相关系数为

显然，利用本文结论既不需要利用解法1中难以记住的二维正态分布的密度函数，又避免了解法2中繁杂的计算.