与p级数的余项有关的级数与极限

黄永忠, 雷冬霞

(华中科技大学 数学与统计学院，武汉 430074)

1 引 言

然后考虑级数

得到它在p>2,p=2以及1

的相应结果(见命题2).

作为应用，计算级数

的和(见例1).p=2的情形就是2020年《美国数学月刊》的征解问题12215.

最后，在例2中利用rn(p)的等式讨论一类与p级数有关的极限.

2 两个引理

引理1[3]对q∈(0,1)，有

(1)

其中μ是与q有关的常数，且

(2)

注1 由引理1和等式

可得

(3)

引理2对p>1，有

(4)

从而由文献[2]的Euler-Maclaurin公式(式(19))，得

(5)

其中

注意到

令m→∞，由式(5)得

式(4)得证.

注2 由引理2和等式

可得

(6)

3 主要结论

其中常数μ由式(2)得到(取q=p-1)

证因为

所以

(7)

(i)若p=2，则由

得到

(ii)若p>2，则

(iii)若1

(8)

其中由q=p-1，依式(2)，有

因此，结合上式和式(8)，由式(7)，得

令N→∞，得

事实上，对p>2和给定足够大的正整数n0，由引理2，

于是结合

得到

这里的M与p有关，但由式(5)和它随后的表达式知，M中不会出现分母为p-2的项，甚至M可以是一个关于p的线性式.

另一方面，对1

其中用到

其中

所以

其中

于是

(9)

(i)若p=2，则由式(6)，有

(也可由Stolz定理得到这个极限值)，并由式(9)得

(ii)若p>2，则由式(6)，有

并由式(9)，得

(iii)若1

因此

从而由式(9)，得

例1计算下列级数的和S：

解按照2020年《美国数学月刊》的征解问题12215的解答思路，有

于是由命题1和命题2，得

p级数的余项等式有助于处理与p级数有关的极限.

因为

所以

于是

(10)

再由引理2，得

(11)

因此

其中用到

(c)当1

其中用到

和

3 结 论

致谢作者非常感谢文献[2]和《美国数学月刊》的征解问题对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.