铜材三个力学性能指标的概率分布研究

杨 帆 华 滨 陈 帆 陈 刚 刘 兵 张红卫 刘小宁

(武汉软件工程职业学院 机械工程学院 湖北 武汉：430205)

铜材具有一定的强度、良好的韧性以及较强的耐腐蚀性，在工程实践中得到广泛应用，例如，采用铜材制造承压设备等[1]。铜材的力学性能指标包括强度指标、硬度指标和塑性指标等，抗拉强度、维氏硬度与延伸率是其中的代表。为了规范铜材或者其他金属材料的应用，我国制定了有关标准[1]，规定了材料的型号、相应的化学成分及力学性能指标，例如，TP2是铜材型号之一。

铜材的力学性能指标是计算铜制承压设备几何尺寸与选择材料型号的重要依据，从工程实践的角度，有如下几个问题值得研究：①同一企业按国家标准生产、试验与检验的相同型号铜材，其相同力学性能指标实测值是否在误差允许范围内波动，其力学性能指标实测值是否与存在显著差异，即相同企业产品的质量是否稳定，实测值是否具有有效性；②不同企业按国家标准生产、试验与检验的相同型号铜材，其力学性能指标实测值是否与存在显著差异，即不同企业的产品质量是否符合相同国家标准，力学性能指标的实测值是否具有同质性；③基于实测值的铜材力学性能指标的概率分布研究，是建立可靠性设计技术的基础，有必要进行探索[2-15]。

针对上述问题，文中应用概率论与数理统计知识[16-17]，建立了铜材力学性能指标试验数据有效性与同质性的分析模型，以TP2铜材室温抗拉强度、维氏硬度与延伸率为研究对象，基于三个力学性能指标的90个试验数据[18]，对TP2铜材的力学性能指标概率分布进行了探索，分析了其分布规律与分布参数。

1 建立模型

1.1 试验数据的有效性与同质性

铜材力学性能指标试验数据的有效性，是指同一型号铜材在相同的生产与试验条件下，单个试验数据的误差在允许范围内；铜材力学性能指标试验数据的同质性，是指同一型号铜材在生产或者试验条件发生改变时，两组试验数据的误差仍然在允许范围内，并且能刻划力学性能指标的本质。

基于概率论与数理统计知识[16-17]，通过有限相同生产与试验条件下获得的试验数据，可分析单个试验数据有效性；通过有限不同生产与试验条件下获得的试验数据，可分析两组试验数据同质性；对于具有有效性与同质性的试验数据，可合并分析铜材力学性能指标的分布规律与分布参数。

1.1.1 单个试验数据的有效性

平均值与精密度是分析试验数据有效性与同质性的基础，为讨论方便，假设铜材的某一力学性能指标K是随机变量。

1)在生产与试验条件为A时，通过试验测得KA的nA组试验数据KAi(i=1，2，…，nA)时，其力学性能指标KA的平均值与精密度分别为：

(1)

(2)

在生产与试验条件为A时，试验数据KAi(i=1，2，…，nA)有效性的判据ti为：

(3)

在双侧置信度为(1-2α)时，若判据ti满足

|ti|≤tα,nA

(4)

表明有(1-2α)的把握认为试验数据KAi是有效的，否则是无效的。

式中，tα,nA为用α时与(nA-1)查得的t分布系数。

工程上可取α=0.01、0.02、0.05，文中取α=0.01，所用t分布系数见表1[19]。

表1 分布系数

如果KAi为无效数据，需要将其排除后重新统计KA的平均值与精密度，再进行有效性判别。

1.1.2 两组试验数据的同质性

当同一型号铜材在生产或者试验条件发生改变时，应当通过铜材力学性能指标的标准差与均值比较，分析条件发生改变时对其同质性的影响；如果条件发生改变，对铜材力学性能指标的标准差与均值的影响都在控制范围内，可认为条件发生改变时两组试验数据无显著差异是同质性的，否则存在显著差异是不同质性的。虽然铜材力学性能指标的标准差与均值是未知的，但可由有限的有效试验数据的平均值与精密度，预测铜材力学性能指标的标准差与均值，通过对比两组试验数据的精密度与平均值，分别分析其是否存在显著差异，然后进行同质性判断。

1)标准差的比较。假设在条件分别为A与B时，铜材力学性能指标K的标准差分别为σKA与σKB，σKA与σKB是否具有同质性可采用F分布比较。

在双侧置信度为(1-2α)时，比较标准差σKA与σKB是否存在显著差异的判据为[16-17]

(5)

如果F满足

F1-2α,nA-1,nB-1≤F≤Fα,nB-1,nA-1

(6)

表明的标准差σRA与σRB无显著差异，是同质的。

其中

式中，F1-2α,nA-1,nB-1与Fα,nB-1,nA-1分别为F分布系数，分别由双侧置信度(1-2α)、(nA-1)及(nB-1)与α、(nB-1)及(nA-1)查得。

文中取α=0.01，所用F分布系数见表1[20]。

如果F不满足式(6)，表明标准差σKA与σRB存在显著差异，不具有同质性。

2)均值的比较。假设在条件分别为A与B时，铜材力学性能指标K的标准差σRA与σRB无显著差异，当铜材力学性能指标K的均值分别为μKA与μKB时，μKA与μKB是否具存在显著差异可采用t分布判别。

在双侧置信度为(1-2α)时，比较均值μKA与μKB是否存在显著差异的判据tKAB为[16-17]

(7)

其中

(8)

如果tKAB满足

|tKAB|≤tα,nA+nB-2

(9)

表明在双侧置信度为(1-2α)时μKA与μKB无显著差异。

如果tKAB满足

tKAB>tα,nA+nB-2

(10)

表明在双侧置信度为(1-2α)时μKA与μKB存在显著差异，并且μKA>μKB。

如果tKAB满足

tKAB<-tα,nA+nB-2

(11)

表明在双侧置信度为(1-2α)时μKA与μKB存在显著差异，并且μKA<μKB。

文中取α=0.01，所用t分布系数见表1[19]。

3)两组试验数据同质性的判断。两组试验数据的同质性，是指其标准差与均值分别无显著差异，这是合并两组试验数据的基础。

1.2 概率分布

铜材力学性能指标K的概率分布包括分布规律与分布参数。

1.2.1 分布规律

如果在条件A与B时，铜材力学性能指标K分别有nA与nB个有效性试验数据，并且A与B两组试验数据具有同质性，则可将，A与B两组试验数据合并，对铜材力学性能指标K的分布规律进行假设检验，具体方法是[8，16-17]：

2)假设铜材力学性能指标K为随机变量，且基本符合正态分布；

3)把n个具有有效性与同质性的试验数据K1、K2、…、Kn分为M个区间，M=1+3.3lgn，取整数；

4)理论频数。对于基本符合正态分布的随机变量K，其试验数据Ki落在分组区间[a1，a2]，[a2，a3]，…，[aM，aM+1]内的理论概率为

式中:Φ(·)为标准正态积分；a1=(Ki)min，aM+1=(Ki)max，(Ki)min、(Ki)max分别为Ki中的最小值与最大值。

其中

n个具有有效性与同质性的试验数据Ki位于分组区间[aj，aj+1]内的理论频数为n×pj；

5)计算每个分组区间[a1，a2]，[a2，a3]，…，[aM，aM+1]内实际频数Nj与理论频数n×pj差异的皮尔逊统计量之和：

工程上一般取显著度δ=0.05[13]，文中所用的χ2分布系数见表1[21]。

1.2.2 分布参数

如果铜材力学性能指标K是基本符合正态分布的随机变量，均值与标准差为其分布参数，可采用具有有效性与同质性的试验数据进行取值区间估计。

1)均值的取值区间。在双侧置信度为(1-2α)时，力学性能指标K的均值μK取值区间为[16-17]：

μK∈[μKmin，μKmax]

(12)

其中

(13)

(14)

式中，μKmin与μKmax分别为力学性能指标K的均值μK在双侧置信度为(1-2α)时的下限与上限，MPa。

文中取α=0.01，所用t分布系数见表1[19]。

1)标准差的取值区间。在双侧置信度为(1-2α)时，力学性能指标K标准差σK的取值区间为[16-17]：

σK∈[σKmin，σKmax]

(15)

其中

(16)

(17)

式中，σKmin与σKmax分别为力学性能指标K标准差在双侧置信度为(1-2α)时的下限与上限，MPa。

取α=0.01，文中所用χ2分布分布系数见表1[21]。

2 试验数据有效性与同质性分析

2.1 试验数据及统计

维氏硬度、抗拉强度与延伸率是TP2铜材力学性能指标的重要组成部分，文献[16]分别提供了两个企业关于上述指标的90个试验数据，文中采用R、H与δ分别表示抗拉强度、维氏硬度与延伸率，用A与B分别表示两个企业的生产与试验条件，有关试验数据见表2，利用式(1)与式(2)得到的平均值与精密度也列入表2。

表2 不同企业相同力学指标试验数据及统计(nA=nB=15)

2.2 同组单个试验数据的有效性

根据表2中的平均值与精密度，利用式(3)与式(4)，可得到相同企业不同指标单个试验数据有效性的判据，在α=0.01即双侧置信度为98%时，有效性的判据与结论见表3。由表3可知，同组的单个试验数据都是有效的。

表3 相同力学指标同组单个试验数据的有效性判别(双侧置信度为98%)

表4 相同力学指标不同组试验数据的同质性判别(双侧置信度为98%)

2.3 相同力学指标不同组试验数据的同质性

在α=0.01即双侧置信度为98%时，利用式(5)～式(11)，可判别相同力学指标不同组试验数据的同质性，同质性的判据与结论见表4。由表4可知，同组维氏硬度试验数据具有同效性，但是不同组维氏硬度试验数据不具有同质性；抗拉强度与延伸率试验数据同时具有有效性与同质性。

2.4 具有有效性与同质性试验数据合并与统计

由于抗拉强度与延伸率试验数据同时具有有效性与同质性，因此，可将其分别合并统计，合并后每组试验数据数量为n=nA+nB=30，统计数据见表5。

表5 具有有效性与同质性试验数据的合并统计

3 三个力学性能指标的概率分布

3.1 抗拉强度的分布规律与分布参数

3.1.1 抗拉强度的分布规律

根据表2～表4的分析，可知由企业A与B分别得到的抗拉强度试验数据具有有效性与同质性，可将两组数据合并分析抗拉强度分布规律。根据1.2.1的方法，依据A组与B组抗拉强度试验数据，分别对两个企业得到的抗拉强度的分布规律进行假设检验。

表6 抗拉强度的皮尔逊统计量

3.1.2 抗拉强度的分布参数

双侧置信度为98%时，将表5中抗拉强度有效试验数据统计值代入式(12)～式(17)，可得到抗拉强度均值μR和标准差σR的取值区间：

μR∈[236.1，240.1]，σR∈[3.411，6.361]

3.2 维氏硬度的分布规律与分布参数

3.2.1 维氏硬度的分布规律

根据表2维氏硬度试验数据，以及表3与表4的分析，可知由企业A与B分别得到的试验数据具有有效性，虽然A组与B组数据的标准差无显著差异，但是，两组数据的均值有显著差异，因此，不能将两组数据合并分析维氏硬度分布规律。

在维氏硬度的每个分组区间，实际频数Nj与理论频数n×pj差异的皮尔逊统计量之和见表7。

表7 维氏硬度的皮尔逊统计量

3.2.2 维氏硬度的分布参数

双侧置信度为98%时，将表2的维氏硬度有效试验数据统计值代入式(12)～式(17)，可得到企业A与B维氏硬度均值μHA、μHB和标准差σHA、σHB的取值区间：

μHA∈[51.18，54.82]，σHA∈[1.795，4.489]

μHB∈[47.56，51.84]，σHB∈[2.114，5.287]

3.3 延伸率概率分布的讨论

根据表2～表4的分析，可知由企业A与B分别得到的延伸率试验数据具有有效性与同质性，可将两组数据合并分析延伸率分布规律。根据1.2.1的方法，依据A组与B组延伸率试验数据，分别对两个企业得到的延伸率的分布规律进行假设检验。

在延伸率试验数据的每个分组区间，实际频数Nj与理论频数n×pj差异的皮尔逊统计量之和见表8。

表8 延伸率的皮尔逊统计量

以上探索与讨论表明，铜材延伸率的概率分布与生产企业存在比较大的关系，必须具体问题具体分析。

4 结语

基于概率论与数理统计知识，建立了试验数据有效性与同质性的分析模型，根据两个企业关于TP2铜材三个力学性能指标的90个试验数据，对其抗拉强度、维氏硬度与延伸率指标的概率分布进行了探索，得到如下结论。

1)双侧置信度为98%时，两个企业关于TP2铜材抗拉强度试验数据具有有效性与同质性；显著度为0.05时，抗拉强度是基本符合正态分布的随机变量；抗拉强度在双侧置信度为98%时的均值不小于236.1MPa且不大于240.1MPa，标准差不小于3.411MPa且不大于6.361MPa。

2)双侧置信度为98%时，两个企业关于TP2铜材维氏硬度指标分别具有有效性，但不具有同质性；显著度为0.05时，维氏硬度分别是基本符合正态分布的随机变量；在双侧置信度为98%时，一个企业得到的维氏硬度的均值不小于51.18且不大于54.82，标准差不小于1.795且不大于4.489；另一个企业得到的维氏硬度的均值不小于47.56且不大于51.84，标准差不小于2.114且不大于5.287。

3)双侧置信度为98%时，尽管两个企业关于TP2铜材延伸率指标具有有效性与同质性，但是在显著度为0.05时的分析表明，延伸率的概率分布与生产企业存在比较大的关系，必须具体问题具体分析。