巧借几何画板，构建小学数学高效课堂

鲍庆贺

［摘  要］ 几何画板作为现代化教学过程中的一种软件工具，有着强大的功能，广泛地应用在空间几何以及数与代数领域。借助几何直观可以帮助学生深入理解复杂、枯燥的概念内涵，自主探索内在规律、性质，提升解题能力，提高思维水平，构建高效课堂。

［关键词］ 几何画板；概念教学；规律探索；高效课堂

随着现代信息技术的发展和进步，数学学习与信息技术的结合越来越紧密，信息技术在数学课堂中的应用亦越来越广。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，要注意将信息技术与数学课程进行适当整合；教育信息化2.0行动也强调了信息技术对教育的促进作用。

小学阶段的很多内容都可以借助信息化工具来提升学习效率，几何画板就是一款非常实用的教学辅助软件。将几何画板应用于课堂教学，让学生观察图形的运动和变化过程，可以从中找寻变化中隐藏的“变与不变”，探索规律，帮助学生学会学习。运用几何画板可以帮助学生直观形象地理解数学、学习数学；可以拓宽学生思维，调动学习积极性，让学生的抽象思维和形象思维同步发展，以提升学生学习数学的能力，提高学生综合素养。

[?]一、用几何画板深化知识理解，将概念学习化抽象为形象

小学生思考问题主要是以形象思维为主，抽象思维还没能得到完善发展，对于一些难以理解的知识性概念、抽象性知识学习起来还是有一定的难度。而几何画板可以将一些抽象的内容直观、形象地呈现出来，让学生在学习过程中化抽象为直观，化深为浅，降低概念学习的难度，透彻理解概念，掌握知识，应用起来才会得心应手。

1. 动态演示，直观呈现点到直线的距离

苏教版四年级上册有关“点到直线的距离”这一概念教学中，先是让学生从直线外一点向直线画几条线段，再让学生观察，发现垂直线段是最短的。当然，学生根据已有的、模糊的生活经验，也可以得知垂直的时候是最短的，但原因是什么？如何理解其深层含义呢？学生却无法说清楚。

借助几何画板，就可将直线外一点B与直线上任意一点A构造出线段，同时度量线段的长度、两条线之间的夹角。拖动直线上任意一点A在直线上任意移动，学生便能观察到角度与线段AB长度的动态变化：随着夹角的变化，线段的长度也在发生变化。当夹角变大时，线段AB的长度（即两点间的距离）逐渐变小；当夹角为 90°时，线段最短；再次移动点A，所形成的夹角逐渐变小，而线段AB的长度却逐渐增加。学生在观察中思考，便能得出结论：连接直线外一点与直线上任意一点，当线段与已知直线互相垂直时，线段最短。

借助几何画板的演示，学生就能观察到线段由长逐渐变短再逐渐变长这样一个连续的变化过程，也可以看到实时测量的数据，更能直观感受到这条线段与直线垂直时最短，“点到直线的距离”也就顺势呈现出来了。

2. 轨迹追踪，感受圆的“一中同长”

圆是小学阶段所认识的第一种曲线图形，也是所有平面图形中比较难理解的图形。《墨子》记载：“圆，一中同长也。”教学时可借助几何画板体验“一中同长”（如图1）：选一点A保持和圆心O距离不变，绕圆心旋转，学生从直觉上便能感觉到圆；再追踪点的运动轨迹，便能看到圆的形成。

接着，在圆上取若干个点并同圆心分别构造出线段，通过度量这些线段的长度，明确这些线段是等长的。学生经历这样的探索、观察后便会发现：圆是由无数个点围成的，将圆上的点与中心连接起来可以得到无数条线段，且这些线段长度相等……由此，学生对圆的形成就有了更直观的感受，对圆概念以及圆与半径、直径之间的關系也就有了更深的理解和认识。

借助几何画板度量、追踪点的痕迹等相关功能，可以动态、直观地呈现出图形的变化过程，可以将一些与之相关的概念性知识显性地呈现出来，以帮助学生更好地理解概念。学生经历了这样的学习与探究过程，对概念的认知也就更加深刻，真正意义上掌握了这些概念。

[?]二、借几何画板提升思维力，把规律探索由记忆变理解

学生自主经历一些规律的探索过程，可以锻炼思维水平，提升解决问题的能力，对学生整体能力的提升都有非常大的帮助。教材中也会经常涉及一些探寻内在规律的内容，比如和、差、积、商的变化规律等。虽然难度不是太大，学生通过观察能够得到一些相关规律，但他们并没有真正理解其内涵，还停留在模糊的阶段，最终将规律学习变成了记忆为主。这样的规律应用起来也并不是那么得心应手，所以这一类内容考查的时候正确率都不会太高。

这主要是因为学生对直接讲授的教学并没有直观的感受，教师虽然已经讲解得非常细，但还需要一定的抽象思维将规律内化为自己的知识。如果教学过程中借助几何画板，将规律的探索过程通过图形、数据等形式呈现出来，学生对此就会有一个更深刻、明确的认知，就能真正理解相关规律，思维能力必定会得到相应的发展。

比如，苏教版四年级上册“解决问题的策略——列举”这一课主要是学生借助例题来探索出规律并应用规律。教材中给出22根1米长的小棒，围成一个长方形，让学生找寻面积最大的长方形。学生想要找到最大的长方形，则必须按顺序列举出能围成的所有情况，然后再算出所有的面积，比较后找出面积最大的长方形。但是如果只是让学生观察列举出的部分数据，那么思维比较薄弱的学生往往不能理解“差小积大”这一句话，想要应用这一结论去解决问题，更显得比较困难。

在几何画板中构造一个周长不变的长方形，拖动其中一个顶点以改变长方形的长和宽，让学生在操作中观察，发现长和宽在变，面积也在变化，随着长变小、宽变大，面积也在逐渐变大；当长和宽相等时，面积是最大的。

学生在学习过程中经历这样的操作，便可直接观察到形状的变化、长和宽的变化以及面积的变化，继而发现规律，学生对规律的理解也会更深刻。在此基础上再发散学生的思维：“如果脱离情境不去考虑图形，观察这两个数，你又能发现什么？”此时学生看到的就不再是长和宽，而是变成了两个数，它们的和是一定的，随着两数的变化，积也在相应地发生变化，最终得出“差小积大”这样的结论。

学生在探索规律的过程中，可以借助几何画板，将验证规律的过程在几何画板中进行操作，使规律呈现得更为直观，学生在理解上更加深刻；不仅如此，借助几何画板，还可以解决相应的问题，发现内在规律，并运用规律解决其他问题，挖掘隐藏更深的发现，拓宽思维视觉，提升个人解题能力和思维能力。

[?]三、借几何画板探新知，在动手操作中构建实验课堂

数学知识有些可以通过讲解、分析训练来获得，掌握起来也比较容易；但有些内容若只通过讲解、传授，学生并不能真正意义上学会相应内容，有时需要实验、操作等方法，让学生经历知识探索的过程，才能加深对知识内容的理解和认识，帮助学生从内涵深处理解教学内容，才算真正掌握。对于这些内容，教师可以借助几何画板，把数学课堂变成实验课堂，让学生亲身经历“探索→发现→获得新知”的过程。

例如，对于三角形三边关系，由于可使用的教具有限，呈现在课堂上就比较抽象，想要学生能够理解第三边的范围，是有一定难度的。所以多数学生在学习这一内容时，虽能解决部分问题，但是根本没有真正理解为什么第三边要大于两边之差、小于两边之和，这也是现阶段课堂普遍存在的问题。想要制作出一个实用的、帮助学生理解三边关系的教具，确实不太容易。但如果借助几何画板演示第三边的变化范围，学生就比较容易理解，掌握得也会比较扎实。

过点A构造线段AC长8厘米→以点A为圆心，5厘米为半径构造圆→取圆上任意一点B→隐去圆→连接AB。这样操作便可以得到一条固定5厘米长的线段，三角形的三个顶点和两条边也就出现了。接着，连接BC并度量出长度，再拖动点B进行移动。学生在这样一个动态的演示过程中观察、想象，发现：随着两边之间角度的变化第三条边也在变化，角越小第三边就越短，角（这里所说的角均指两条线段之间所成的优角）越大第三边就越长（如图2）。这样，学生对第三边的长度就有了一个初步感知。

接下来，需要学生去猜想第三边的范围：第三边虽然在不断变化，但它的长度并不是无限制的，它有什么范围？与什么有关系呢？虽然有了长短的变化过程，但要想准确说出第三边的范围，还需要一定的抽象、概括能力，这对大多数学生来说还有一定的难度。这时拖动点B呈现出两种极端情况——三点共线，再引导学生观察这时线段AC的长度分别是多少。学生会发现：当点B在点A和点C之间时，线段AB与BC合起来就是线段AC，即第三边的长度就是另外两边之差；当点B在AC的另一侧时，线段BC由线段AB和线段AC组成，即第三边的长度就是另外两边的和（如图3）。

最后，可以再追问：线段BC的长度可以是4厘米、5厘米、12厘米等整厘米数，还可以是哪些长度？学生在追问中便会继续思考，发现BC的长度并不局限于整厘米数，而是在3厘米～13厘米之间的所有数都可以，巧妙地将隐含其中的极限内容借助图形直观呈现出来。继而引导学生总结：三角形第三边的长度可以是介于两边之差与两边之和的所有可能。

学生是学习的主体，教师作为学习过程中的组织者、引导者，可以借助几何画板，为学生创设一个自主探索、动手实验的课堂。学生在这样的课堂中，既可感受到自己的主体地位，又能在探索、实验中学习新的知识，做到深度学习，让学习真正发生。

[?]四、提升自身素质，助力高效课堂

几何画板作为现代化教学过程中的一种软件工具，既可以帮助学生深入理解概念内涵，发散学生思维；也可以为他们创设一个实验场所，引导学生自主探索隐藏在深处的规律、性质等。在这样的课堂中，学生分析问题、解决问题的能力会逐渐提升，学习兴趣也会越来越浓，综合素质逐步提升。

作为信息化时代的教师，我们需要学会结合几何画板中的功能来辅助教学。这就需要教师提升自身素质，熟练掌握几何画板中的各项功能，仔细研究教材、分析教学中的重點、难点，将教学内容与几何画板有机结合。学生在这样的课堂中，便可通过动态演示、深入思考、操作探究等方式提升学习兴趣、提高解题能力，学生的学习也就更高效！