模型构建：理清数学应用题目研究路线

林锋

［摘  要］ 模型思想是当下数学教学的核心使命之一，也是助力小学生数学综合能力全面发展的重要方面。在小学数学教学中，教师要善于利用资源，设计适合的问题情境，引导学生在相应的问题研究中实现解题模型的建构，助推小学生数学问题研究能力的不断发展。数学教学中，教师需要抓住模型建设、模型演练、模型优化、模型应用等环节，理清数学应用题目研究路线，促进学生对数学问题研究的深入，促使他们的数学思维变得愈发敏锐、深刻，让他们解决数学问题的能力不断提高。

［关键词］ 模型构建；数学应用题；教学研究

培养学生数学模型思想是新课程改革的内容之一，也是发展学生数学综合素养的重要着力点。在小学数学教学中，教师需要更精准地解读教学内容，更理性地分析学生的学习水平，创设一系列模型应用情境，利用模型知识去研究问题、解决问题，让学生在实践体验中更好地理解知识的本质，建构数学认知基础，实现数学学习目标，让学生在实际问题的研究学习中启动数学思维，在实践探索中建立良好的学习习惯。

[?]一、模型初建，启动应用题解题思维

教师借助模型构建实施教学，需要对模型特点、模型内容、模型应用等进行深度探索，帮助学生梳理学习思维，形成系统性认知。在“长方体的实际应用”教学中，教师需要围绕主题创设必要的学习情境、问题情境等，让学生在问题研究中更好地理解和掌握长方体的本质，特别是表面积、体积的计算公式的由来等，也使得对应的数学学习经验得以积累，为相应的数学模型建立提供最基础的支持。

师：认真地观看屏幕上的内容，从中找到的数学信息有哪些？

生1：这是一个公路的施工场面，要修的公路长2.5千米，路面宽16米。计划在地基上铺设厚度10厘米的沥青，问题是需要多少沥青？

生2：这个问题要解决的内容是什么？是铺沥青的表面积，还是其他的内容呢？

生3：不是表面积，表面积不就是公路表面的面积吗？是一个长2.5千米、宽16米的长方形，没有这么简单的。

生4：如果是这样就不需要告诉沥青的厚度，所以应该是计算沥青的总体积。

生5：沥青的总体积？能计算吗？它是一个什么形状？

师：这个问题很好。沥青的形状是什么样的呢？同桌之间讨论交流一下。

……

生6：结合视频中的画面，画出公路的草图，发现铺沥青的地方是一个长方体，长2.5千米，宽16米，高是10厘米。

生7：还真是，那沥青的总体积不就是2.5×16×10了吗？

生8：你的这个算式不对！你看，这3个数对应的单位是一样的吗？2.5千米，16米，10厘米，都不相同的，怎么能直接计算呢？

生9：要换成同样的单位才可以计算，即（2.5×1000）×16×（10÷100），这样才能计算出正确结果。

……

生10：经过学习，我明白了像生活中铺沥青、铺水泥路面实际铺好后都是长方体，这个弄明白了，解决问题也就轻松多了。

……

要帮助学生建立初步的数学思维模型，以及对应问题研究模型，实战演练是必不可少的一环，也是最为关键的一环。因为只有在具体问题的研究思考中，学生才能对相关知识理解得更加透彻，相关的研究也会随之深入。这样学习的活动经验和数学思维才会形成和谐的统一，从而让数学模型思想在问题研究中发展起来。

联系教学片段，可以看出，通过必要的实践练习，可以唤醒学生既有的学习与经验，也会促使学生有效学习思考的开展，更会让学生在争辩中学习分析、学习归纳，使他们的学习思维变得更加理性，思考问题变得愈发缜密，从而使学生解决问题的能力得到发展。同时，通过对问题的研究也使得相应数学问题的解决模型得到初步形成，为学生深度学习提供智力支持。

[?]二、模型演练，深化应用题解题规划

没有实践的学习无疑就是纸上谈兵，也是一个华而不实的空架子。在“长方体的实际应用”教学中，教师围绕实际应用这一主题做文章，并让学生在具体问题的探究中形成相应问题研究的思维模型，促进学习的顺利推进，助推学生解决问题能力的不断发展。教师也得学习顺势而为，特别是在目前“双减”政策的大背景下，教师更需要优化问题设计，精简练习，以此来更好地渗透数学思想方法，促进数学解决问题模型的有效建构，让学生的数学学习变得更智慧、更有灵气。

师：前面问题研究学习是很有成效的，总结也是非常科学的。接下來这个问题又是怎样的一个问题呢？

课件呈现：学校计划在操场的一边挖出一个沙坑，长10米，宽3米，深80厘米。需要挖出的泥土有多少？

生1：这个问题就是挖出一个长方体的沙坑。挖出的泥土就是这个长方体的体积。

生2：那不就是和前面的问题差不多吗？也需要注意一下单位的一致性。

……

师：不过我有点奇怪，前面铺路的沥青是长方体，现在挖土也是长方体，这是怎么回事呢？

生3：挖土就是挖出的泥土的体积，它不是挖的面积，当挖土机挖出一铲子的泥土，那些泥土占据了一定空间，有一定的体积，累积起来，就是挖出的体积。

生4：这个挖土就像把水槽中的水倒出来一样，也就是倒出水的体积，所以挖土挖出来的也是体积。

……

师：听了大家的分析与思考，你有什么感触？

生5：解决问题时认真地研究题目很重要，一不小心就算成表面积了。

生6：要分析清楚问题的实质，这两道题实际上都是计算长方体的体积，需要从长方体的体积计算公式入手，找出条件进行计算。

……

提供必要的实践学习机会是培养学生运用知识去研究问题、解决问题的基本途径，也是培养解决问题能力的重要方式。在这样的问题探究学习中，学生也会很自然地学到分析与思考的本领，从而让自己的数学学习活动经验得到更丰富的积累。

回顾教学片段，可以从中看出，把常规性的长方体的体积计算设计为生活化的问题，引导学生去分析与探索。这样学生就在自主思考与同伴交流中更好地领悟问题的本质，凸显相应的问题研究的基本方略，使得问题解决的思维模型在学习中不断建立起来。

[?]三、模型优化，理清应用题解读路线

要促使学生更好地感悟数学知识的本质，建立起对应的数学问题解决思维模型，教师需要从引导反思开始，让学生在自我学习反刍、与同伴辩论学习等活动中获得应有的发展，让他们的研究数学问题的能力稳步提升。因此，在“长方体的实际应用”教学中，教师要从聚焦本质、助力建模等角度去谋划教学，打造学习应用环节，以此促进学生学习反思的开展、学习认知的建构等，使得学生的数学综合素养得到较为理想的发展。

师：生活中类似的问题是比较多的，通过这两个问题的研究，你的发现又是什么？

生1：要研究问题读懂题目很重要，前面两个问题，铺沥青和挖泥土看起来和长方体的体积计算是没有联系的，但是只要认真思考，或者画一画草图，就能发现铺沥青就是铺一个长方体的体积，挖泥土也就是挖出一个长方体的体积，所以它们最终需要解决的就是长方体的体积问题。

生2：从问题的分析中也能看出，计算长方体的体积是需要仔细地区分单位的，要注意长度单位、面积单位和体积单位之间的差异，特别是在同一个问题中要注意各个数量的单位是不是一样的。这点是确保问题解决的正确性的一个重要方面。

……

师：分析得非常有道理。继续看上面沙坑的后续研究吧！

课件呈现后续的问题：学校运来了22.5立方米的沙子，倒入沙坑中摊平。则沙子离地面的距离是多少？

生3：这里告诉的是沙子体积22.5立方米，倒入沙坑中，就可以计算出沙子在沙坑中的深度，然后就可以算出沙子与地面的距离了。

……

学而不思则罔。这是对学习最经典的论述，也是教师有效教学的重要理论依据之一。所以，在教学中教师需要在此方面花点力气，给予学生必要的反刍与咀嚼的时空，从而助力他们把握数学知识的本质，实现问题解决模型的建立。教学片段中，教师通过开展辩论活动，使得长方体的体积计算模型得到较好的建立。同時，设计一组变式训练，以此来帮助学生更有效地感悟长方体体积计算的本质，使他们的学习变得更加严谨、更有实效。

由此可见，要想更好地发展学生应用数学知识解决问题的能力，教师需要围绕教学内容，创设必要的实际问题的研究学习情境，让学生在“真枪实弹”的演练中增长才智，发展能力，提升思维的活力，让他们的问题研究学习更加灵动，从而较好地建立起相应的数学思维模型，让他们的数学素养得到较好的发展。当然，要达成这一目标也不是靠单纯的一两次的问题解决学习就能奏效的，教师还得围绕新课标精神，抓实核心概念深入化、知识体系结构化等方面，用这样的理念来构建实际问题研究教学的情境，让学生得到全面的训练，从而促使其数学综合素养的发展。