养成“数感”核心素养教学设计探索

张 昆

(淮北师范大学 数学科学学院， 安徽 淮北 235000)

修订义务教育数学课程标准所形成的“预审稿”(以下简称“预审稿”)结合《普通高中数学课程标准(2017年版)》，提出的6项具体的数学核心素养，再依据《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出的10个关键性“核心词”，抽绎出16项数学核心素养作为义务教育数学学科课程目标，其中“数感”被列为其中的第1项[1]。为了探究通过教学设计及课堂实施，帮助学生养成“数感”这项核心素养，这里首先从“预审稿”中关于这项“数感”核心素养的内涵说起。

一、辨识“预审稿”中“数感”数学核心素养概念的内涵

关于“数感”这项数学核心素养要素的概念内涵，“预审稿”选择使用具体文字将其叙述与解释为：“数感主要是指对数与数量、数量关系以及运算结果的直观感悟。能够在真实的情境中理解数的意义，能用数表示物体的个数或事物的顺序；能够在简单的真实情境中进行合理估算，作出合理判断；能够初步体会事物背后简单的规律，能用数表达这样的规律。数感是形成抽象能力的经验基础。建立数感有助于学生理解数的意义和数量关系，初步感受到数学表达的简洁与精确，增强好奇心，培养学习数学的兴趣。”(“预审稿”页10)

从这段文字中，能够认识到其中的三个不同层次的内容与意义：首先，“数感主要是指对数与数量、数量关系以及运算结果的直观感悟”，这句话其实界定了“数感”这项数学核心素养概念的内涵；其次，随后出现的五个“能够”所限制的内容，主要指的是“数感”这项核心素养在具体数学知识内容中的作用及其具体体现；最后，提出的内容是关于“数感”这项核心素养在学生学习数学知识中所能发挥的功能，也就是“数感”这项核心素养的教育教学价值之所在。

从“数感”这项数学核心素养的界定中，可以清晰地认识到，“数感”核心素养的作用方式是“直观感悟”；作用对象的范围，在于“数与数量”“数量关系”与“运算结果”等数学内容；“数感”的教学功能，在于“增强学生学习数学的好奇心，培养学习数学的兴趣”。由此认识到，“预审稿”对于“数感”核心素养概念已经非常明确。虽然如此，笔者认为，还有很大的必要对于解释“数感”概念中的“直观感悟”内涵加以具体说明，才能帮助广大一线数学教师比较彻底地理解作为义务教育课程目标核心素养之一的“数感”的本质内涵。

笔者在阅读丹齐克的名著《数·科学的语言》时，偶然发现了丹齐克为了揭示一种关于人类感知数的心理活动内容，引入了“数觉”(着重号为引者所加——笔者注，下同)这一概念加以表达。现将其相关内容摘录到这里来：“人类在长期进化的蒙昧时期，就已经具有一种才能。对于这种才能，因为没有更恰当的名字，我姑且叫它为数觉。由于人有了这种才能，当在一个小的集合里边，增加或者减去一样东西的时候，尽管他未曾直接知道增减，他也能够辨认到其中有所变化。”[2]很显然，丹齐克将这种人类感觉到物件数量上的变化界定了“数觉”这一概念的内涵。

另外，为了帮助读者理解与把握“数觉”概念的内涵，在《数·科学的语言》这本书中，丹齐克对“数觉”内涵予以具体例释，现将其解释的大意摘要地叙述。其一，大多数人或许具有这样的体验，当你上楼梯时，虽然并未计数已经上到了几层楼，可是你的两条腿会告诉你，知道已经到了四层楼还是五层楼，这是人的劳累程度提供的信息。其二，一瞥餐桌上所摆的食具你就可能知道它比平常多，这是摆列的图形传出的信息。其三，桌上摆出了五粒豆：若均匀排成一直线，彼此相当接近，乍看就不容易看出究竟是四粒、五粒、还是六粒；若排列疏密不匀，则较容易“猜中”；若排成梅花状，则你大概能“猜中”。这种由于这些经验，都可能会帮助人们形成了具体情境中的“数觉”。

很显然，“预审稿”界定的“数感”这项数学核心素养的内涵与丹齐克所确定的经典的“数觉”内涵，既存在联系，也具有区别。两者的区别的具体表现为：一方面，“预审稿”关于“数感”数学核心素养概念的要求比丹齐克确定的“数觉”概念，从范围上看要大得多，即除了对于数与数量的直接感悟与体验外(这一意义，可以理解为丹齐克意义上的“数觉”)，还要求对于数量关系与运算结果(这两项内容，超出了丹齐克意义上的“数觉”的范围)的直观感悟。另一方面，从其内涵所限定的质上看也要深入得多，因为“数感”这一数学核心素养课程目标，除了包含对于数与数量这些要素外，还要求对于数量关系与运算结果这些要素的直接感悟，这就一定是在受教育者熟练地掌握了十进制计数与具体数据运算以后学段的事情了。否则数量关系与运算结果便成了无源之水、无本之木。

作为数学课程目标“数感”数学核心素养概念的内涵与丹齐克所界定的“数觉”概念的内涵也具有内在联系。具体地表现为：一方面，丹齐克意义上的“数觉”是属于“预审稿”中“数感”的，即“数觉”内涵是“数感”这项数学核心素养内涵的一项项目性的要素；“数觉”概念内容是“数感”概念内涵的一个项目。另一方面，“数觉”构成了“数感”这项数学核心素养中的其他内涵(如“数量关系”以及“运算结果”)的直接基础。但是，需要特别注意的是，要想帮助学生养成“数感”数学核心素养内涵中的“数量关系”与“运算结果”这两个项目性要素，一定需要学生某些数学能力(或数学素养)的介入，丹齐克意义上的“数觉”才有可能发挥相应的作用。这主要是因为，即使是感知某个具体情境中数量关系，也需要有“数学抽象”(乃至于使用数学符号表示等的)能力或素养的介入与辅助，即使是估计“运算结果”而不进行计算，却也离不开“数学运算”的知识、技能或素养的介入与辅助。

因此，本研究建议应该将“数感”这项核心素养的内涵界定为，孩童及其成长为小学生对于使用数作为判断客观对象的思维活动的一项工具，即观察客观对象多少或程度(程度对应的应该是“量感”，也构成了“预审稿”的另一项核心素养课程目标，然而，对于孩童或小学生而言，数与量往往难以准确地区分开来)的一种心理倾向性，也可以这样说，“数感”是对于数的意识与运用的一种心理倾向性，这种心理倾向性能够发展成相关客观对象之间的量性关系，或者进一步形成感悟或洞察(估计)相关数字运算的结果。那么，如何通过数学教学设计及其课堂实施，帮助学习主体养成“数感”的核心素养的教学目标呢？

二、帮助学生养成“数感”核心素养的教学设计示例

由于“数感”核心素养概念的基础性内涵指的是使用数这一工具观察客观对象多少(或者说是对于数的意识与运用)的一种心理倾向性；在“预审稿”所提供的关于“数感”概念的内涵中还包括，依据“数感”的这种心理倾向性，随着学生年龄的不断增长，后来发展成为考察两个或几个客观对象之间的数量关系与估计数据的具体运算结果。从这种界定“数感”核心素养内涵中，能够清楚地认识到，“使用数观察客观对象多少的心理倾向性”是形成“数量关系”与估计“运算结果”的基础。

因此，数学教师在教学设计及其课堂实施时，依据刚进入小学阶段的学生的个性心理特点，培养他们透过数这一工具，观察客观对象的心理倾向性应该置于第一的位置，在此基础上，数学教师要考虑到，如何帮助学生将这种“透过数这一工具观察客观对象的心理倾向性”过渡到形成“数量关系”与估计“运算结果”中去，这就需要数学教师统筹兼顾，整体安排，形成一种结构性教学的方案，而不能只顾一点、不及其他[3]。这样才有利于从整体上帮助学生养成“数感”核心素养教学目标。因此，数学教师在自己具体的教学活动中，必须要将培养学生“对于数的意识与运用”，即“数感”核心素养置于基础性的地位。

在发生知识认识的诸多设想的方案中，皮亚杰在其名著《儿童心理学》中指出，“在经验主义者看来，发生知识认识只不过是现实的一种复写，而理智则也只是单独从知觉中派生出来的。甚至如伟大的莱布尼茨，他是保卫理智而反对感觉主义的，但他仍然采取了这个观点：他认为即使观念、判断和论证的形式不是由‘感觉’产生，而它们的内容则完全是源于感觉”。接着，皮亚杰强调指出：“他们(指‘经验主义者’与‘理智主义者’——引者注)竟忘却了动作！”[4]

由此可以看出，发生认识论心理学的发轫者皮亚杰是关于“经验主义者”与“智力主义者”之间的一个调和主义者，他认为，在学习主体发生具体知识认识时，既不纯粹依靠感觉与知觉，也不纯粹依靠理智，而是要依靠操作客观对象的动作，将感觉或知觉与理智整合起来，从这种操作信息的整合活动中发生了知识认识。皮亚杰的发生认识论的理论与实践的理论，对于刚刚进入校门的小学低年级学生学习数学知识，特别是形成数概念的教学活动具有极其重要的指导意义。为了说明如何帮助学生养成“数感”核心素养，这里实录笔者在小学一年级数学起始课教学活动的关键环节：

在小学一年级上学期的开学之初，切合于具体进度的教学内容，笔者据此曾经设计了一个实验性的帮助学生养成“数感”核心素养的一节课中的某些关键性环节：笔者使用20个苹果作为教具，然后，给张汪同学1个苹果，给李建军同学2个苹果。向全班学生提出了问题，是张汪的苹果多，还是李建军的苹果多？几乎全体学生立即回答张汪的苹果多。笔者再给张汪与李建军各1个苹果，此时，张汪2个苹果，李建军3个苹果，几乎所有学生还是判断李建军的苹果多。

接着，笔者将张汪与李建军的苹果都收回来了，一次性地给张汪4个苹果，李建军3个苹果，放在笔者的讲桌的两端(两个同学各在自己的一端)。再问，哪位同学的苹果多？

这次，学生对于这个问题一段时间的沉默(顺便说一句，笔者特别欣赏学生在这种问题面前的沉默，它说明学生正在深度思考)，说明了学生在短时间里对于4个苹果与3个苹果这两个数分不开了。好在学生沉默了大约100秒，有学生张伟成找到了方法判断出，张汪的苹果多，李建军的苹果少。张伟成使用的是计数的方法，即他用3个手指指代了李建军的3个苹果，使用4个手指指代张汪的4个苹果，他发现了4个手指比3个手指为多，从而据此作出了正确判断。

这一判断结束后，笔者这一次给张汪7个苹果，给李建军8个苹果，摆放在讲桌上他们的各自一端，向班级中的所有学生发问：张汪的苹果多，还是李建军的苹果多？

由于前面的判断所获得的经验，学生首先试着使用手指头指代苹果，但是依然不知道这两位同学拥有的两堆苹果的多与少。当笔者使用比较3个苹果与4个苹果的一种途径，从这两堆之中，各自一个对着一个地拿去3个苹果之后，由4个苹果的那一堆中，还剩下1个苹果，那就说明了4个苹果的那一堆苹果多。尽管刚刚进入小学一年级学生，也能比较好地理解并掌握这种方法，判断出张汪的一堆7个苹果较少，李建军的一堆8个苹果较多。

其实，不同的学生在进入一年级之前，就已经不自觉地使用一些不同的方法来判断两堆客观对象“数目”的多少，对于大多数不同个性的学生来说，这些都没有形成可操作的系统性的判断方法，但即使如此，这些不同的方法都是来源于学生所存在的不同性质或层次的“数感”的外化。因此，学生进入学校接受教育以后，数学教师应该将这些方法选择使用典型的例子，将学生在学前感受或接受的这些方法系统化，这是帮助学生养成“数感”核心素养的一种非常好的方法。

选择合适的教具鼓励学生按照一定的顺序进行操作，对于帮助学生养成“数感”核心素养是一种基础性的方法。皮亚杰指出，“儿童整个数量的构成是同序列密切联系着的。我们不能因为小孩口头上会计数，就认为已懂得数量了。在小孩心灵中，数的计量是长期同成分的空间排列联结在一起的。有了被操作而得到的‘序列’以后，就会产生把一组物体按成分区别的几种小组，各小组并无任何特殊的空间形式，而且小组本身还可分为更小的小组。这些操作客观对象的活动及其结果，才是产生数的现实基础。”[5]

因此，按照罗素(皮亚杰也是一样)的设想，数是经由操作客观对象将一堆具体的对象形成序列，并通过序列进行分类的结果。但在教学设计及其课堂实施中，数不是“排列”与“分类”的自然结果，而必须要经由数学教师的教学设计处理，只有这样，才能帮助学生养成“数感”核心素养。由“数感”外化为确定的数的心理途径在于：“第一，根据序列与分类所得到的成分相类似的有限的对应(例如，一个模型同它的复制之间的对应，左手的大拇指与食指分别对应着右手的大拇指与食指等)；第二，任意的‘一对一’的对应。第二种形式的对应才能引入数量，因为它们已经包含着数量上的一致性。但是数量的起源必须从学生发生学上加以说明。”[6]

从这个具体教学实例与理论分析的结果，数学教师应该认识到，“数感”的萌生，或者已经萌生了“数感”在教学启发下外化为固定的数学知识，这相继的两步都绕不过教师启发、鼓励学生操作外在客观对象的教学活动。其实，皮亚杰将知识分为两个大类：一类是科学知识(物理、化学)知识——通过操作发现关于客观对象本身的知识；另一类为逻辑数理知识——通过抽象操作客观对象的操作活动所形成的知识，这种性质的抽象皮亚杰称之为“反身抽象”，有时又被翻译为“反省抽象”而得到的数学知识。因此，要帮助学生养成“数感”核心素养的教学中，数学教师需要特别注意操作对象中的操作的作用。

三、结束语

本研究将作为义务教育数学课程目标的“数感”核心素养的理解为，孩童及其成长为小学生对于使用数作为判断客观对象多少思维活动的一项工具，即观察客观对象多少或程度的一种心理倾向性，也可以这样说，“数感”是对于数的意识与运用的一种心理倾向性。由于数学知识主要是学习主体通过“反身抽象”获得的，因此，要帮助学生养成“数感”核心素养，就需要选择合适数学教具(例如，本文中的苹果)，有利于数学教师启发学生进行操作，从操作活动本身及其操作对象的综合中，发生数的认识，从这种认识过程中，养成“数感”核心素养。▲