以课时学习历程案驱动深度学习的实践路径探析——以“图形的放大与缩小”教学为例

江苏南京市江宁区秣陵中心小学（211111） 方亮秀

“学习历程案”即关于学习经历或过程的方案，旨在帮助学生更好地投入学习，经历学习的过程，展示“何以学会”，从而获得值得学习的知识与技能。本文所论述的“学习历程案”以单元整体设计为依托，聚焦单元核心知识内容，以课时为单位统整设计教学。深度学习是学生在教师的引领下，围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的数学学习过程。“学习历程案”是实现深度学习的一种路径。

笔者对“以课时学习历程案驱动深度学习的实践路径”进行了深入的教学探究，下面以“图形的放大与缩小”的教学为例，简单描述本节课的教学设计及设计意图，旨在探析以学习历程案驱动深度学习的实践路径。

一、教学设计及说明

核心问题1：什么是图形的放大？

学习目标：

（1）通过观察、操作、想象等具体的活动，初步感知图形放大前后的变化特点。

（2）在自主学习中，继续探究图形放大与缩小前后的变化特点。

学习活动1：

（1）大家想看埃及金字塔的照片吗？（出示照片，学生表示看不清，要放大）

（2）怎样将金字塔照片放大？（请一位学生上台操作，出现如图1所示的几种情况）

图1

（3）几号图片是数学意义上的放大？为什么？

说明：关于“图形的放大与缩小”，苏教版教材设计的学习任务如图2所示：

图2

教材是由放大生活中的照片为例，引导学生观察照片放大前后长与宽分别有怎样的关系，从而引入几种描述图片放大的表述方式。学生对“放大”一词并非一无所知，比如把声音放大、放大镜……生活中的“放大”并非都是数学意义上的“放大”，学生知道放大或缩小照片要让照片的长和宽同时变，但还不太清楚该怎样变。因此这里设计让学生拖拽照片，就是让学生在轻松的学习氛围中聚焦照片长和宽的变化。

深度学习不仅仅是指知识的由浅入深，更是“深”入生心。因此，从埃及金字塔照片导入，拓展知识的宽度，以宽度带深度，激发学生继续探究图形放大与缩小的本质特点的欲望，能让学生全身心地投入课堂学习中。

核心问题2：图形变化前后，对应边长之间有怎样的关系？

学习目标：

（1）通过画、看、想、说等方式，掌握图形放大的含义。

（2）在尝试探索图形放大前后对应边长之间的关系的过程中，能较清晰地表达自己比较和归纳的想法，不断发展数学语言表达能力和抽象概括能力。

学习活动2：

（1）（将金字塔照片隐去，只留下轮廓，如图3所示）观察放大前后的图片，你发现了什么？

图3

（2）揭示图形放大的含义。

（3）将金字塔的轮廓图片放大，除了长方形的长和宽具有这样的关系，其他图形的边长是否也有这样的关系？

说明：根据学习目标，笔者将核心问题2对应为“图形变化前后，对应边长之间有怎样的关系？”这种具有针对性的问题。判断变化后的图形与原来图形相比是放大还是缩小，显然并非本节课的难点，难点在于这个图形是怎样放大或缩小的，而解决这个难点就是去找图形变化前后对应边长之间的关系。

此环节学习活动包含了两项任务，任务1是观察抽象出来的金字塔照片的外边框（即长方形）在放大前后对应边长之间有怎样的关系。学生观察的顺序可能不同，教师应适时介入，引导学生在矛盾冲突中自己总结出正确的表达方式，理解图形放大的含义。任务2则是观察长方形里面的三角形的对应边长之间的关系，这样的设计旨在让学生找到“对应边长”的关系——将一个图形按2∶1的比放大，不仅仅只是长方形放大后的长与放大前的长、放大后的宽与放大前的宽的比是2∶1，长方形里面的三角形放大后的高与放大前的高、放大后的底与放大前的底的比是2∶1，放大后三角形的腰与放大前的腰的比也是2∶1。甚至能力更强的学生在完成任务2之后能够发现将一张图片按2∶1的比放大，那么这两张图片中任意的两条对应线段的比都是2∶1。

这样全方位、深入地理解“对应边长”，学生将会随着学习内容的纵向深化而进一步掌握知识的内涵。

评价活动1：

把下面图形（如图4）按1∶2的比缩小，画出缩小后的图形，并说说你是怎样想的。

图4

说明：为了考查学生对“图形的放大”概念的理解是否全面、深刻，能否在变换（即“图形的缩小”）的情境下正确回答问题，笔者将图形的缩小作为第一个评价活动，来检验学生对“放大”的掌握情况。如果学生真正理解透了“图形的放大”，“图形放大”的模型思想一定能迁移到“图形的缩小”上来。2∶1是将图形放大，那么1∶2呢？如果学生会自觉地将图形放大的知识正迁移到“缩小”上来，说明学生已经充分理解了“图形的放大”，然后根据对应边长之间的关系，绘制出按1∶2的比缩小后的图形。笔者设计的图是一个简单的组合图形，不要求所有学生能够正确绘制出缩小后的组合图形。学习能力弱的学生可以只绘制出缩小后的长方形；学习能力中等的学生可以在绘制完长方形后，在空白处单独绘制出缩小后的三角形；学习能力强的学生可以直接绘制出缩小后的组合图形。这样的设计能让每个学生都能深入思考，自主学习图形缩小的含义，提高自身的学习能力。

当学生的思维随着学习内容的纵向深化而深入见底之时，就会由纵向的深化转向横向的拓展，学生学习“缩小”时，会将“放大”的学习方法正迁移到“缩小”的学习中，在“放大”与“缩小”这两种看似截然不同的变化中寻找知识的联结点，提升学习能力。

评价活动2：

先在方格纸上设计一个图形（可以是正方形、长方形、梯形、平行四边形、三角形、圆等），然后把原图形按（）∶（）的比（）。（填“放大”或“缩小”）

说明：同一学习目标可以设置多角度的评价活动，而学生的反馈让人惊叹。很多学生在设计图形时就进行了多次修改，主要原因是这些学生一开始设计的图形放大或缩小后的长度不是整格。要把原图形按自己设定的比放大或缩小后，在方格纸中的对应边长（如底或高）依然是整数格，对于学习能力较强的学生来说是在“最近发展区内”的，但对于学习能力弱的学生来说，他们更愿意选择自己易操作的正方形、直角三角形、圆等。正因为有了前面真实的、自主的、深度的学习体验，学生充分理解了图形的放大与缩小的含义，充分认识到了图形变化后与变化前对应边长之间的关系，才会创作出这么多的精彩作品（如图5）。

图5

二、教学反思

笔者在教学“图形的放大与缩小”时，并没有采取传统的讲授方式，而是依托“课时学习历程案”，自主构建图形的放大与缩小的模型，获得“教—学—评”的一致性，让学生的学习增值，实现深度学习。

1.依托问题情境，引发深度思考

从埃及金字塔这个极具神秘色彩的历史遗迹引入，为本课知识的学习戴上了神秘面纱。深度学习是围绕具有挑战性的学习内容展开的，因此，笔者在金字塔的照片上隐去一切外在的内容，除了保留照片边框，还保留了内在的金字塔的轮廓。金字塔是神秘的，长方形中的三角形也是神秘的，并非多余的存在，当学生研究了长方形的长和宽放大前后的关系之后，会不自觉地关注到金字塔（即三角形），这就达到教学目的了。当学生的目光转移到三角形之后，发现放大后的三角形的底与原三角形的底、放大后三角形的腰与原三角形的腰、放大后三角形的高与原三角形的高……也有相同的变化，令人兴奋的发现再拓展到长方形的角线和这两个图形内任意对应边的比都相等。在反复观察、交流、思考、探索等活动中，学生的学习兴趣被充分激发，学生全身心积极参与、获得发展。

2.聚焦核心任务，实现迁移运用

本课时教学的重点在“放大”，学生学习图形的“缩小”的前提是能根据图形放大的知识举出多个典型的图形放大的比，从而根据若干个放大的比主动自觉地发现和归纳出比的前项表示放大后的（即变化后）边，比的后项表示原来的边。这样，学生把握了图形放大的本质便能举一反三，对知识进行深度加工。

如果说举一反三是强调对学习内容的内化，那么迁移运用则是学生对学习内容的外化。“把图形按1∶2的比变化是怎样变呢？”这个比不符合放大的比的特征，学生自然想到放大的对立面——缩小。那么，对于缩小的学习，教师可以完全放手，让学生尝试自主迁移，学生即使有困难，通过同伴互助也能很快完成知识的迁移。

3.持续评价反思，兼顾学习差异

深度学习强调单元整体教学，而“课时学习历程案”着眼于单元整体教学，聚焦单元核心知识内容，解决该单元中具有代表性的核心知识。因此，教学评价应该是以具体的课时为着眼点，设计不同层次和水平的评价。正如图5所示，学生的反馈出人意料，这是基于深度学习和深度思考才能得出的。开放性问题使得学生的思维在汇报交流、对比分析中得到进步，这里的进步更多地表现在学习方式的优化和抽象思维、空间观念等数学核心素养的形成和发展。