解读设计实施：“至理数学”视域下练习课教学三部曲——以“按比例分配的实际问题”练习为例

江 苏 南 京 市 南 湾 营 小 学（210049） 张春梅

江苏南京市栖霞区教师发展中心（210028） 张明红

心理学表明，练习是学习者对学习任务的重复接触或重复反应，是人类心智技能和动作技能形成的基本途径。因此，小学数学教材通常会在新授课的例题教学之后安排若干与之相匹配的练习。对于知识点较多或难度较大的内容，新授课后还会安排专门的练习课作为补充和延伸，通过口答、计算、解答等多种方式，帮助学生进一步巩固知识、加强技能、形成策略、拓展思维等。以苏教版教材为例，一至六年级共安排168个“练习”，课时数多达180余节，占总课时的四分之一左右。

如何遴选练习课中的种子课并基于“至理数学”理念进行教学设计呢？我们选择了若干“练习”进行比较、分析，发现这些“练习”的题目虽然因教学内容的差异而不同，但其编排原则、题型题量、难度系数等却大体相当，特别是一些内容较多的单元，因为所包含的知识点高度关联，其对应的“练习”编排也高度一致。因此，我们认为小学数学练习课的设计方法和教学模式可以大致相同。本文拟以苏教版教材六年级上册练习十为例，探索“至理数学”教学主张下练习课设计的通用路径。

一、解读：教材的安排意图为何

数学教材中的“练习”往往有多道习题，这些习题既隐含着新授课的核心知识，又充满变化，富有针对性、层次性和多样性。教师唯有解读教材编排每道习题的意图，读懂习题所承载的核心素养，才能更好地帮助学生巩固和完善新授课的知识结构，使学生的思维能力得到提升和发展。

1.整体把握，聚焦核心素养

苏教版教材六年级上册的练习十是“按比例分配的实际问题”的相关练习，教材共安排了8道习题：其中第1～3题是配合例题安排的专项练习，用于帮助学生巩固按比例分配实际问题的数量关系，提高运用新知解决实际问题的能力；第4～8题是综合性比较强的习题，主要引导学生综合运用比的有关知识解决实际问题，加深对按比例分配实际问题数量关系的理解，再次提升分析问题、解决问题的能力，发展应用意识。这8道习题思维空间广阔，是发展学生核心素养的重要途径。教师需要在深入分析每道习题的基础上，挖掘习题的显性和隐性功能，最大限度发挥习题的评价作用。在此基础上，教师引导学生将蕴藏在习题中的知识联系起来，使学生构建完整的认知结构。

2.新旧关联，促进多元理解

数学理解与学生已有知识和生活经验紧密相关，在遇到新问题时，学生往往会主动调取旧知，先从外部感知新的研究对象，再利用新旧知识之间的联系建立心理表象。练习是对旧知的巩固、加深，也有拓展、延伸之功效，因此，厘清新旧知识的联系是设计练习任务的基础。

例如，“按比例分配的实际问题”练习的第4题“根据已知条件回答问题”，要求根据“母鸡和公鸡只数的比是4∶3”解答“母鸡的只数是公鸡的几分之几”“公鸡的只数是母鸡的几分之几”，根据“男生和全班人数的比是5∶11”解答“男生和女生人数的比是几比几”“男生人数是女生的几分之几”“女生人数是男生的几分之几”。已知条件犹如一个触发器，引导学生推想出其他数量关系，以加深学生对比的意义的理解并进一步沟通比与分数之间的联系，为灵活运用比和分数等知识解决相关问题打好基础。第5题也是如此，它让学生根据直角三角形中两个锐角度数的比是3∶2推算锐角度数，将三角形角的知识点与按比例分配实际问题进行关联，这是对按比例分配实际问题解题方法的巩固，有助于学生加深对直角三角形角的特征的认识，体会按比例分配实际问题的多样性。

当然，在基于学生的认知最近发展区和前数学经验进行教学活动设计时，必须精准、恰当，否则学生对新知的理解仍会难以深入。

3.纵向对比：发展多方思维

思维品质是数学思维研究的重要内涵，数学练习对提高学生的思维品质，特别是增强思维的深刻性、清晰性、严密性、灵活性、综合性和创新性等，具有重要作用。基于“至理数学”的练习课设计，要求教师反复比对题型相似的习题。

例如，“按比例分配的实际问题练习”的第6题“配置一种药液，药粉和水的质量比是1∶40”，先求“400克药粉需加水多少克”，再求“400克水中应加药粉多少克”。虽然都是400克，但第一个400克是药粉，对应1份，第二个400克是水，对应40份。结合两个量的比去理解具体量所对应的份数，对“已知两个量的比和其中一个量，求另一个量”的实际问题的解题思路，学生会把握得更为精准。第7题“校园里玫瑰和月季棵数的比是3∶5”，先求“如果玫瑰和月季一共有120棵，这两种花各有多少棵”，再求“如果月季有120棵，玫瑰有多少棵”。看上去和第6题相似，但仔细分析会发现：第一个120棵是玫瑰和月季的棵数总和，求的是两个部分量；第二个120棵是月季的棵数，求的是另一个量。这样的对比练习有助于学生从整体上把握按比例分配实际问题的结构特点，形成分析、推理、比较等思维习惯。

与前几题相比，第8题的现实性和综合性更强，本题分三小题：（1）这种混凝土的三种材料是按怎样的比配制的？（2）要配置120吨这样的混凝土，三种材料各需要多少吨？（3）如果这三种材料各有18吨，配置这种混凝土，当黄沙全部用完时，水泥还剩多少吨？石子已经增加了多少吨？第（1）题和第（2）题是基本题，相对容易，第（3）题中三种材料都有18吨，学生可能会弄不清18吨对应的究竟是2份、3份，还是5份。这样的对比练习，对培养学生分析、推理、比较等思维和综合解决问题能力也大有益处。

二、设计：理学案怎样编制

理学案是“至理数学”教学主张落地的课堂教学载体，一份完整的理学案包括教材分析、学情调研、理学目标、理学历程四个核心要素。其中理学历程是记录教师“怎么教”、学生“怎么学”的档案，也是理学案编制中难度最大、综合程度最强的部分，特别是“主题研究”，作为专供学生自主研究的学习单（通常叫作理学单），它不仅要提供由理学目标分解、提炼而来的研究任务，而且要准确记录学生自主学习过程中的所思、所想、所为。

根据“至理数学”要求，每个课时的理学单通常要根据教学内容设计出四个研究任务，引领学生寻本质、讲道理，会关联、能应用。按比例分配的实际问题练习课也是如此（如表1），它以两大主题研究带领学生逐步逼近按比例分配的实际问题的本质。学生在分析问题的过程中逐渐明确按比例分配实际问题的思路，归纳不同问题的相同本质，概括出解决问题的方法，从而会关联和应用。

表1 “按比例分配的实际问题”练习理学单设计

由表1可知，研究1-1的设计原型就是教材中的第4题。第（1）题虽然只保留了“母鸡和公鸡只数的比是4∶3”这一个条件，但留给学生的思考空间更加广阔，学生可以关联分数和比之间的关系，也可以突破公鸡和母鸡两种量之间的关系，思维的“触角”延伸到总量和差量。第（2）题是让学生自己补充一个条件计算公鸡的只数，体现了对学生个体差异的尊重，让不同层次的学生根据自己能力水平选择不同层次的解题思路，这是“至理数学”儿童立场的回归。研究1-1是对教材习题进行了改头换面，研究1-2则是尊重教材，采用了教材的第5～7原题，只是在解决要求上有所调整。因为这几道习题本身就非常好，特别是在训练学生认真审题和灵活把握按比例分配实际问题的数量关系方面，考查得细致且全面。研究2-1是以课前收集的好题、易错题为研究对象，要求学生分组讨论这些习题好在哪里、哪里易错。显然，这样的处理方式和研究1-2类似，不要求学生逐题完整计算和解答，但对辨析、说理的要求更高。研究2-2是根据教材第8题改编而来，舍去第一小题，保留第二小题，改编第三小题，增加了一个小题，给学生提供了选择学习材料的机会。

本课中，四个不同的“主题研究”任务按照“寻找方法—尝试转化—拓展应用”的思路由浅入深，层层推进：“寻本质·讲道理”侧重新知的探索、建构，“会关联·能运用”更关注知识的关联、运用以及学生的思维是否得到进阶。

在理学历程中，学习活动要有层次、有梯度，不同的主题研究任务，以及同一主题内的新知建构任务和关联运用任务，都必须遵循学生的认知规律，循序渐进、螺旋上升。

三、实施：既定目标是否达成

“至理数学”要求理学目标应在教材分析、学情调研的基础上拟定，理学目标是研究任务设计的依据，也是在学生经历学习活动后检验目标是否达成的标准。

1.讲清道理，巩固所学

讲清数学道理是学习数学的重要方法，它贯穿学习全过程，适用于所有的课型。练习课中，教师要善于设计直击数学学科本质的练习任务，帮助学生进一步领会、巩固、理解新学知识和技能，提高分析问题和解决问题的能力。以下是本课研究1-1的教学片段。

师：根据“母鸡和公鸡只数的比是4∶3”，你能想到哪些比或分数？

生1：公鸡和母鸡只数的比是3∶4，公鸡的只数是母鸡的

生2：母鸡只数和总只数的比是4∶7，公鸡只数和总只数的比是3∶7。

生3：母鸡比公鸡多的只数是公鸡的公鸡比母鸡少的只数是母鸡的也可以用比表示，母鸡比公鸡多的只数和公鸡的只数比是1∶3，公鸡比母鸡少的只数和母鸡只数的比是1∶4。

生4：母鸡比公鸡多的只数是总只数的

师：我们刚刚想到的分数或比，分别表示哪些量之间的关系？

生5：3∶4和都是母鸡只数和公鸡只数这两个量之间的关系。

生6：4∶7，3∶7，7∶3，7∶4等，表示母鸡或公鸡其中一个量和总量之间的关系。

生7：1∶3，1∶4等，表示母鸡与公鸡的差和其中一个量之间的关系是母鸡与公鸡的差和总量之间的关系。

没有了原题中给定问题的束缚，学生思维可以突破“两种量”“分数关系”，自由地向着“多种量”“多种关系”延伸。因为这些分数和比都是学生自主思考所得，所以他们在给出数据的同时会自然而然地做出解释。我们认为，这种解释就是对“用数学的语言表达现实世界”的最好诠释。

2.加深理解，形成策略

山东师范大学杨泽中教授做过一项关于数学理解的调查研究，他认为数学理解的过程起始于积极主动的探索，关键在于新旧知识之间的纵向联系和横向联系。“至理数学”教学主张特别注重将儿童置于恰当的学习情境中，使其借助已有知识和经验，通过自主研究，主动建构新知，加深数学理解。仍以本课研究1-1的教学片段为例。

师：根据“母鸡和公鸡只数的比是4∶3”，补充一个条件，算出公鸡的只数。

生1：我补充“一共有70只鸡”。用70÷7×3算出公鸡有30只。

生2：我补充“母鸡有20只”。母鸡是4份，用20÷4×3算出公鸡有15只。

生3：我补充“母鸡比公鸡多30只”。用30÷（4-3）×3，算出公鸡有90只。

师：能把你们补充的条件分分类吗？

……

与教材相比，此设计是做了加法，旨在让学生将前面梳理的数量关系与解决问题迅速关联。虽然补充条件、解决问题、方法归类等任务均有一定的开放性或挑战性，但根据已有经验，学生能很容易想到补充两种鸡的总只数、母鸡只数或两种鸡的相差数，而根据补充条件对解决方法进行归类，也在学生能力范围之内，所以整个学习过程不仅加深了学生对按比例分配的理解，还让解决按比例分配实际问题的方法策略水到渠成。

3.发展理性，开拓思维

美国数学家克莱因认为数学是一种理性。追求数学理性有助于学生感受理性思维的力量，提高思维的抽象性、概括性、严谨性、深刻性、批判性。培养数学理性不仅要关注学生的数学抽象和推理能力，还应重视其质疑能力的养成，特别是遇到困惑或似是而非的问题时，鼓励学生敢批判、勇质疑。以本课研究2-1教学片段为例。

师：这几道题是易错题吗？如果是，是哪里容易出错？

生1：第①题是易错题。因为看到长方体的棱长总和是120厘米，长、宽、高的比是5∶3∶2，很多同学会直接用棱长总和除以长、宽、高的份数和。其实长方体的棱长总和包含了4条长、4条宽、4条高，应先用120÷4得到1条长、1条宽、1条高的和，再按5∶3∶2的比例分配。

生2：第③题也是易错题。等腰三角形相邻两条边的长度比是2∶5，会让人误以为三角形三条边的长度比是2∶2∶5，就用腰长10厘米除以2再乘总份数9去算周长。这样是忽略了“三角形两边之和大于第三边”的性质，所以三条边的长度比应该是2∶5∶5，腰是5份，用腰长10厘米除以5再乘总份数12，得到的数才是正确的周长。

生3：第②题也是易错题，这道题很容易找错20千米对应的份数。两辆车在距离中点20千米处相遇，说明两车的路程相差2个20千米，所以应该用40千米除以对应的份数先算出一份是多少，再乘总份数，得到两地的距离。

……

上述片段中，学生分析的易错题极有可能就是他们自己遇到过或出过错的，再次回顾和分析“哪里易错”“怎样改正”，是学生完成自我纠错、防错的绝佳时机。分析这些题目的易错点犹如在和过去的自己对话，不论是提醒他人还是告诫自己，都让学生的高阶思维在自然而然中获得良好发展。

可见，练习课不只是练，隐藏在解决问题背后的理性思考更重要。学生经历了一段时间的练习后，需要暂停做题脚步，进行适度的整理和反思，如回看相关问题哪里易错，应该怎样解决，还可以怎样解决等。唯有方向正确、思路清晰，理性思维才能得以发展，核心素养的培养也才能落实。

综上所述，“至理数学”视域下的练习课坚守儿童立场，回归学科本质，通过解读、设计、实施三个步骤引领学生讲清道理、加深理解、发展理性，让“练”“思”交融、“习”“表”相映，促进学生核心素养的发展。