分析规划回归：“至理数学”视域下的复习课教学研究与实践——以“多边形的面积整理与练习”为例

江苏南京市金陵小学广志路校区（210046） 张桂香

江苏南京市栖霞区教师发展中心（210028） 张明红

《义务教育课程方案（2022年版）》明确要求学科课程标准制订必须坚持以核心素养为导向，其课程内容组织重点之一就是加强课程内容的内在联系，突出课程内容的结构化。落实到数学学科，素养导向下的教学设计要比以往更加注重知识的结构化、整体性。与新授课、练习课相比，复习课更有利于学生从整体出发，构建完整的知识结构和逻辑体系。

苏教版教材编排了31个单元“整理与练习”和12个期末复习，共计135课时。这些复习课不仅可以引领学生自主整理知识脉络，还能指导学生对单元或教材内容的学习情况进行反思、评价，进而达到自我调整和提升综合素养的目的。然而，我们曾对区域教师复习课教学情况做过专项调查，很多教师明确表示“我不会上复习课”，把复习课上成“练习课”“做试卷课”的比比皆是，每个单元或学期末的机动课时也大多被用来讲题目。为了探寻复习课的教学路径，我们团队以苏教版教材五年级上册第二单元“多边形的面积整理与练习”为种子单元，进行区域实践和放样。

一、整体分析，厘清知识体系

复习课的功能之一就是引导学生把所学的知识条理化和系统化，使零散的知识结构化，点状的知识整体化，从而对所学知识有新的、更深的认识，并在此过程中感悟知识间的内在联系，领悟知识中蕴含的数学思想方法。

为了准确定位“多边形的面积”，我们将苏教版教材平面图形、立体图形内容中与之相关的单元做了简单整理（如表1）。

表1 与面积相关的平面图形、立体图形单元分布

由表1可知，教材是遵循从平面图形的面积到立体图形的表面积、体积的顺序编排的，其中计算平面图形的面积从长方形、正方形到平行四边形，再到三角形、梯形和圆，知识脉络清晰，层层推进，螺旋上升。从知识内在联系来看，长方形面积计算是“根”，其他图形面积计算都可以与之建立联系，因此它是一节重要的种子课；平行四边形的面积也是一节重要的种子课，其研究方法、转化思想都为学生的后续学习埋下伏笔。

长方形的面积、平行四边形的面积被确定为新授课的种子课是有据可依的，“多边形的面积整理与练习”也有足够的理由成为复习课的种子单元。

其一，知识结构化。本单元编排的“整理与练习”旨在通过系统整理单元知识，凸显面积公式推导的共通点，沟通平行四边形、三角形、梯形面积公式之间的联系，将零碎的知识结构化。

其二，认知结构化。通过本单元的“整理与练习”，学生梳理在零碎的知识点中建立的本单元内知识及内外知识之间的结构关系，形成对已学平面图形认知思路的结构化认知，并将其迁移到圆的学习中。

其三，思维结构化。如果能厘清平面图形的知识脉络，就能将其思维模式正向迁移至立体图形逻辑结构的学习中，因为二者虽然自成体系，但思维本质相通相连。

二、合理规划，凸显课时要素

苏教版教材本单元“整理与练习”分为回顾与整理、练习与应用、探索与实践、评价与反思四大板块。整理与复习课不仅要梳理知识，将过去零散的、不同时段的知识结构化和系统化，还要查漏补缺，通过学生自主整理、共学评学完善认知，弄懂易错点，衍生新的生长点，呈现新的认知结构，更要在原来新授课、练习课的基础上拓展提升、排查疑惑，让学习进阶。因此，根据教材内容与现实学情可将本单元复习课分成三课时：第一课时，以系统整理和基本练习为主；第二课时，复习组合图形的面积计算；第三课时，实践应用，解决现实情境中的问题。供学生使用的理学单如表2、表3、表4所示。

表2 “多边形面积整理与练习”第一课时理学单

表3 “多边形的面积整理与练习”第二课时理学单

表4 “多边形面积整理与练习”第三课时理学单

其中，第一课时为复习已经学过的多边形面积计算。本课时目标定位为系统整理、沟通关联，即以梳理为主、基本练习为辅。教学活动主要分为以下三个步骤：研究1-1借助学生课前自主整理的个性化作品，引导学生在展示、交流中梳理已经学过的平面图形的面积公式，并对整理的形式和方法进行提炼；研究1-2借助师生对话、生生交流，围绕问题“哪种图形是最基本的”展开辨析和说理，在回顾各种图形面积公式推导过程的同时，沟通推导方法之间的关联，进而构建平面图形关系网络图；研究2-1和研究2-2则是安排图形面积计算和画图形的学习活动，激发学生边理边练，练中不断理，实现“理”的应有价值。

第二课时为组合图形的面积计算复习。本课时目标定位为变式训练，拓展提升。在“整理与练习”课中，知识的“理”和习题的“练”好似莫比乌斯带的两面，相辅相成，融为一体。适当的“练”能帮助学生巩固“四基”，发展“四能”。当然，和练习课的“练”相比，复习课的“练”要求更高，不仅形式上要有创新，功能也更加聚焦。为了有效达成复习课的“重点突出”“难点突破”“查漏补缺”目标，研究2-2采用好题分享的形式，即推荐一道好题并说明理由。学生在推荐的基础上，围绕“谁推荐的好题跟这题有关联”“哪些题的解答方法和这题相似”等问题进行分析，引发具有相同思考过程的学生的共鸣，使他们感受到学习成果受到重视，进而增强学习数学的信心。这也是“至理数学”教学主张对儿童立场的彰显，即关注每一个人、发展每一个人。除了学生的推荐与分享，教师也要精心选择和推荐一些好题或易错题，供学生分析和训练，以帮助学生进一步厘清知识本质、感悟知识的整体性和思想方法的一致性。

第三课时内容为真实问题情境下的实践应用，解决问题。本节课是围绕本校生态园里不规则图形或较复杂的多边形面积的估算展开综合性实践研究，并引导学生对自己的学习情况进行评价。复习分四个层次不同的任务进行：研究1-1，用估算的方法解决问题“学校生态园每块菜地的面积大约是多少？多少块这样的菜地面积大约是1公顷？”，分享“估一估、算一算，比一比、说一说的研究过程，体会由小估大”的价值和意义；研究1-2，研究“长方形→平行四边形”的变与不变之处，在估计、测量、比较、说理、联想中深化认知；研究2-1，旨在通过画、数、算等活动，让学生再度理解面积的概念；研究2-2，小组先交流“对本单元的学习还存在的困惑”，教师再组织学生从知识建构、方法获得、情感体验等方面进行多维自评，从而促进学生认知结构化和评价多元化。

三、回归本源，达成复习功能

1.系统整理，提炼方法

课前，学生都已经对本单元的知识进行了整理，每一份整理单都代表着他们对“多边形的面积”这个单元的个性化理解。整理单是教师对学情的调研手段，也是生生对话、师生交流的载体。

课始，学生围绕“我整理了什么？我是怎么整理的？”进行小组交流，后面如果想法有改变的可以用红笔修改，这样可以留下同伴交流的痕迹，展现组内共学的效果。全班交流时，教师选择三份具有代表性的学生作品（如图1、图2、图3），由学生自己介绍和邀请他人评价。

图1

图2

图3

对于作品一（如图1），让作品主人分享自己的想法，并通过核心问题“谁来评价”引导其他学生关注整理内容——不仅要整理本学期学习的平面图形的面积公式，还要整理之前学习的长方形和正方形的面积公式，体现内容全面性。

作品二（如图2），以“你能看懂吗？他是怎样整理的？”“谁想和他交流？”引领学生将整理视线从内容延伸到方法——不仅整理得全面，还用列表的方法呈现，条理清晰。

作品三（如图3），重在展示不同的整理方法，追问学生“你又看懂了什么？”，让学生在视觉冲击、问题叩问的双重引领下，自动将思维与前学习建立关联，并感受到画图整理的优点。

最后将三份共性与个性并存的作品进行比较，让学生从个体化表征走向群体化学习，并以问题“复习时我们可以怎样整理？你会提醒大家注意什么？”驱动学生思考，让学生经历从点到面的贯通、从法到理的再构，感受到单元整理时内容应该全面、方法可以多样。

2.查漏补缺，沟通关联

“至理数学”认为数学学习不仅要知其然，更要知其所以然。对于本单元来说，则是不仅要知道面积公式是什么，还要知道这些公式的来龙去脉。借助课前整理单，教师可以摸清学生学习起点，找到学生的困难点，紧扣复习难点，展开查漏补缺，沟通关联。

（1）补内容。课前整理单显示，后进生大多只能关注到之前学习的一个个点状知识。课上呈现不同层次的作品让学生观察与评价，可以有效唤醒学生的已有经验，帮助后进生整体建构知识，构建大单元视角。

（2）补过程。课前整理单有一个特点，那就是重公式记忆、轻过程推导。不仅是学生，包括家长，甚至很多教师也会认为只要熟练记忆公式，会套用公式计算即可。其实不然，形成过程和数学结果同样重要。课上，有必要以“回忆一下，平行四边形的面积公式是怎么推导的”“平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导过程有什么相同点”等问题，引领学生在头脑中再现推导过程，以便完善知识结构，为后续学习其他平面图形的面积或立体图形的体积打下坚实基础。

（3）补关系。分析学生课前的整理作品后还发现，关注和梳理图形之间关系的学生少之又少。然而，数学是研究数量和数量关系、图形和图形关系的学科。因此，整理内容不仅要关注知识的全面性，还要引导学生围绕“在已经学习过的平面图形中，哪种图形是最基本的？为什么？”展开辨析、说明，以理解长方形的面积公式是“根”，平行四边形的面积公式是“枝”，三角形和梯形的面积公式是“叶”，再用思维导图表示它们之间的关系，继而猜想：圆的面积公式也能用“转化”吗？

3.拓展提升，进阶思维

练习是“理”的延伸。有效扎实的练习能促进学生深化理解，建构属于自己的知识网络，实现多途径思维进阶。

（1）基础中变式。表2的研究2-1，先算再想。练习虽基础，但要考虑底与高对应关系、单位换算、多余条件等因素，十分考验学生思维的严谨性。

（2）画图中勾连。表2的研究2-2，学生独立画出面积是12平方厘米的平行四边形、三角形和梯形。

教师选择三幅具有代表性的学生作品（如图4、图5、图6）分层展示。层次一：出示图4，引导学生观察作品，计算验证是否正确。层次二：出示图5，围绕“仔细观察画出的平行四边形和三角形，比一比，你有什么发现？”展开讨论与交流，发现两者面积与底、高之间的关系，由此及彼进行直观联想，即面积不变，高不变，三角形的底是平行四边底的2倍。层次三：出示图6，围绕“画出的两个平行四边形有什么相同之处？”“观察第一行的平行四边形、三角形、梯形，你有什么发现？（三个图形高一样）”“想一想，梯形的面积公式适用于长方形、正方形的面积计算吗？”等问题，说明“等底等高的两个平行四边形面积相等，形状不一定相同”“梯形的面积公式适用于平行四边形、三角形、长方形”等。

图4

图5

图6

综上所述，“至理数学”视域下复习课的种子课从大单元视角将单元内外零散的、碎片化的平面图形知识串联起来，以其共有的本质特征，帮助学生从知识结构化走向认知结构化，进而构建紧密关联的知识群。我们认为，用结构化的教与学可以有效推动数学学习的持续优化以及核心素养培养的落地，也让单元复习呈现“理”“练”融通的别样色彩。