几类非常规不等式的解法探究

孙经国

(山东省枣庄市第一中学)

在高中数学中,解不等式主要以一元二次不等式和简单的分式不等式为主,但有时也会遇到特殊的不等式,如高次不等式、含有绝对值符号的不等式、与抽象函数有关的不等式等,本文对如何求解这些不等式进行探究.

1 高次不等式的解法

所谓高次不等式,就是指未知数的次数大于2的整式不等式,一般采用“数轴穿根法”求解,其步骤如下.令关于x的表达式为f(x),所求不等式为f(x)＞0或f(x)＜0,求解时,先求出f(x)＝0的根x1,x2,x3,…,在数轴上依次标出根,再从数轴的右上方开始,从右向左画,如同穿针引线穿过每一个根,最后先仔细观察图像,通过f(x)＞0寻找图像在x轴上方的自变量的取值范围,通过f(x)＜0 寻找图像在x轴下方的自变量的取值范围.当高次不等式因式分解后出现偶次项的因式时,可以依据它的非负性直接除去.但是需要注意的是要验证这个偶次项的根是否满足不等式.

例1解下列高次不等式:

(1)(x－1)(x－2)(x－3)＞0;

(2)(x＋1)(x－2)2(x－3)＜0.

解析(1)令f(x)＝(x－

1)(x－2)(x－3),则f(x)＝0 的根为x1＝1,x2＝2,x3＝3.结合图1 可得1＜x＜2 或x＞3,所以不等式的解集为(1,2)∪(3,＋∞).

图1

(2)因为(x－2)2≥0,所以原不等式等价于解得－1＜x＜3且x≠2,所以不等式的解集为(－1,2)∪(2,3).

点评在解高次不等式时,穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉,在穿根前可先将不等式的最高次的系数化为正数,则位于横轴上方图像对应的自变量的取值范围是f(x)＞0 的解集,位于横轴下方的图像对应的自变量的取值范围是f(x)＜0的解集.

2 含有绝对值的不等式

对含有绝对值符号的不等式,求解的关键是去掉绝对值符号,将其转化为一般的不等式.去掉绝对值符号的方法主要有两种:一是定义法(分类讨论),二是两边平方法.

例2解下列不等式:

解析(1)所解不等式可转化为－3x≤x2＋x≤3x,即解得0≤x≤2.

(2)根据实数的性质“当一个数的绝对值大于它自身时,这个数是负数”得＜0,解得0＜x＜2,所以这个不等式的解集为(0,2).

(3)本题含有两个绝对值符号,一般采用零点讨论法,即对绝对值的零点分三种情况讨论.

当x＞1时,不等式可转化为x－1＋x＋2＜5,解得x＜2,所以1＜x＜2.

当－2＜x≤1 时,不等式可转化为1－x＋x＋2＜5,即3＜5,所以－2＜x≤1.

当x≤－2时,不等式可转化为1－x－x－2＜5,解得x＞－3,所以－3＜x≤－2.

综上,不等式的解集为(－3,2).

点评绝对值不等式千变万化,一定要注意它的特点,然后选择合理的解法.当含有两个绝对值符号时,一般采用零点讨论法,有时也可依据绝对值的几何意义从数轴上直接找到解集.

3 指数不等式与对数不等式

指数不等式一般指指数中含有未知数的不等式,而对数不等式一般指对数的真数部分含有未知数.无论是指数不等式还是对数不等式,解答的原则是脱离底数的束缚,转化为一般的不等式,转化时需用到指数函数或对数函数的单调性.对于对数不等式,还需特别考虑真数为正数,这一点往往是学生的易错点.例3解下列不等式:

点评本例中的两个不等式,由于底数不确定,导致所对应的指数函数或对数函数的单调性不确定,所以必须对底数分类讨论,进而将原不等式转化为不等式组来解.

4 与函数性质有关的不等式

这类不等式一般不可以直接求解,需要先从题目的实际出发构造函数,并证明该函数的单调性,再利用函数的单调性将原不等式转化为一般的不等式,由于这类问题条件分散,还涉及导数的应用,所以难度较大,主要考查学生的观察能力、联想能力与解决问题的能力.

点评这类问题的共同特点是依据题中的不等式和所要解的不等式构造函数.难点在于找到题中的不等式和所要解的不等式之间的联系,而这个联系就是所构造的这个函数以及它的单调性.

不等式其实是由方程演变而来的,而方程与函数是可以相互转化的,所以无论是哪种非常规的不等式,最终研究的落脚点是方程的根或函数的性质.

(完)