立足点线面关系,解答立体几何习题

李俊青

(济南市章丘区第五中学)

点线面之间的关系是高中数学立体几何内容的基础知识.为加深学生对知识的理解,提高学生的解题能力,教师应结合教学进度,做好例题讲解,通过解题过程的展示,给学生带来解题启发,使其更好地掌握解题方法,进一步提升解题能力.

1 直线与直线的位置关系

不重合的直线与直线的位置关系包括共面和异面,其中共面直线进一步细分为相交直线和平行直线两种类型.

例1若点E为正方形ABCD的中心,M为平面ABCD外一点,△MAB为等腰直角三角形,且∠MAB＝90°,若线段MB的中点为F,则( ).

A.ME≠DF,直线ME,DF为相交直线

B.ME＝DF,直线ME,DF为相交直线

C.ME≠DF,直线ME,DF为异面直线

D.ME＝DF,直线ME,DF为异面直线

解析由ABCD为正方形,可知AB⊥AD,由∠MAB＝90°且△MAB为等腰直角三角形,可得BM＝BD,如图1 所示,点E,F分别为BD和BM的中点,则FE∥MD,且FE＝DE,即四边形FMDE为等腰梯形,ME＝DF,直线ME,DF为相交直线,故选B.

图1

例2如图2所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长与侧棱长相等,∠BAA1＝∠CAA1＝60°,则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为( ).

图2

图3

2 直线与平面位置关系

直线与平面的位置关系主要包括直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.应注重列举实例加深学生对这三种位置关系的认识与理解.

例3如图4所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,其中E为B1C1的中点,过AE的截面和棱BB1,A1C1分别交于点F,G.若四棱锥A1-AGEF的体积为,求直线AG和平面ABB1A1所成角的余弦值.

图4

图5

例4在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB,BC,CC1的中点分别为E,F,G,P为底面ABCD内一动点,若直线D1P和平面EFG没有公共点,则△PBB1面积的最小值为( ).

解析如图6 所示,点H,Q,R分别为C1D1,A1D1,AA1的中点,则平面FEGHQR∥平面D1AC,即点P在平面D1AC内. 要 想△PBB1的面积最小,即点P到BB1的距离最短,易得当点P和点O重合时,距离最短,则BO＝,则

图6

故选D.

3 平面与平面位置关系

不重合的平面与平面的位置关系主要有两类:平行和相交.解题时需灵活运用几何图形性质,构建线段之间的空间关系.

例5如图7所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1和CC1的中点分别为点E,F.证明:平面AEC1∥平面BDF.

图7

解析由于DD1和CC1

的中点分别为点E,F,故EDFC1,则四边形EDFC1为平行四边形,EC1∥DF.又EFDC,而ABCD,则EFAB,四边形ABFE为平行四边形,故AE∥BF,AE∩EC1＝E,DF∩BF＝F,即平面AEC1∥平面BDF.

例6如图8所示,矩形A1B1BA和矩形A1ADD1所在平面和梯形ABCD所在平面分别交于直线AB,AD,其中AB∥CD,AB＝BC＝BB1＝＝1,∠ABC＝60°,求几何体A1B1D1-ABCD的体积.

图8

解析因为AA1⊥AB,AA1⊥AD,AB∩AD＝A,所以AA1⊥平面ABCD,则两个矩形均和平面ABCD垂直.因为AB＝BC,∠ABC＝60°,所以△ABC为等边三角形,取点E为AB的中点,连接CE,则CE⊥AB,而BB1⊥平面ABCD,故BB1⊥CE,CE⊥平面A1B1BA,由AB＝BC＝AC＝1,易得;而∠ACD＝120°－60°＝60°,由余弦定理可求得AD＝,则由勾股定理的逆定理知∠CAD＝90°,AC⊥AD.又 由AC⊥AA1,所以AC⊥平面A1ADD1,结合∠B1A1D1＝∠BAD＝150°,则

(完)