反馈线性化解耦的PMSM新型滑模控制方法*

田艳丰, 王健宇, 王 哲, 吴宋林

(沈阳工业大学 电气工程学院,辽宁 沈阳 110870)

0 引 言

永磁同步电机(PMSM)具有较高的工作效率、功率密度以及较好的转矩惯性比等特点，在众多工业领域中得到了广泛的应用。PMSM控制系统是非线性系统，很难对其进行高精度控制[1]。传统的矢量控制方法是将定子电流分为d轴励磁电流和q轴转矩电流，并分别单独控制。然而该控制策略控制性能有限，不能将电流完全解耦[2]。在PMSM的实际控制中，参数摄动、模型误差和外界干扰等因素，会对其控制效果造成一定的影响，导致系统性能下降，影响系统稳定性，使实际应用中的系统精确控制变得更加困难[3]。文献[4]将电压前馈的补偿环节加入矢量控制，使d、q轴电流解耦，但是在负载突然变化时，仍不能彻底解耦。

近年来，为了解决PMSM的解耦问题，国内外众多学者在矢量控制系统中加入了一些非线性控制技术[5]，如滑模变结构控制[6]、反步控制[7]、自抗扰控制[8]、反馈线性控制[9-10]等。文献[11]提出了一种扩张状态观测器，用于扰动的估算，并对实际运行的系统去除抖振，但此方法不能有效提高系统动态响应性能。文献[12]提出了一种结合反馈线性化解耦的PI控制器来控制PMSM转速，但是在实践中，反馈线性化控制(FLC)不能在系统非稳态的状态下实现快速响应。

FLC是一种非线性控制方法，在非线性系统解耦方面其有着显著的优越性。此方法基于微分几何学，通过对数学模型的分析，得出该系统的线性控制规律[13]，能准确解耦被控对象的数学模型，实现系统的线性化。PMSM因其非线性和强耦合的特性，需要利用反馈线性化方法进行解耦，使其获得矢量控制所不能达到的控制精度。文献[14]提出将FLC应用于线性伺服系统，实现永磁直线电机解耦。文献[15]提出了基于反馈线性化的永磁直线同步电机自适应动态滑模控制，采用反馈线性化理论，将永磁直线同步电机d、q轴电流完全解耦，把PMSM控制系统划分成两个相互独立的线性子系统，但系统对参数变动敏感，鲁棒性降低。由此可见反馈线性化解耦需要与其他控制方法结合使用，以实现高性能控制。

滑模变结构控制具有响应速度快、抗扰能力强与易于控制等特点，已成为广泛使用的控制策略[16]。但为保证系统的抗扰性和稳定性，在常规的滑模控制中，开关增益必须设置得足够大，以消除系统的干扰，而开关增益越大，系统越容易产生高频抖振。为了减少系统抖振，文献[17]采用改进传统趋近律的方法设计出滑模控制器，试验结果表明，虽然新型滑模控制器能够减少系统产生的抖振，但系统的抗干扰能力下降，响应时间加长。

综上所述，本文将反馈线性化解耦理论与滑模控制相结合，以表贴式PMSM为研究对象，将输入-输出反馈线性化方法作为解耦策略应用于PMSM，实现非线性系统向线性系统的转换。运用微分几何工具将PMSM分解为转速和激励电流两个线性化子系统。然后结合滑模控制的思想，在传统滑模趋近率的基础上，提出了一种改进的滑模控制方法，将其与FLC相结合，设计出系统控制器作用于PMSM，以获得更好的控制效果。最后通过仿真平台进行分析，检验系统可行性。

1 PMSM反馈线性化

本文研究表贴式PMSM，以d、q轴电流和转速参数作为状态变量。忽略磁阻转矩，d-q旋转坐标系中的数学模型如下：

(1)

式中：id、iq和ud、uq分别为d、q轴定子电流和电压;Rs为定子电阻;L为定子电感;Ψr为永磁磁通;B为黏滞摩擦系数;J为转动惯量;p为极对数;ωr为转子转速;Tl为负载转矩。

定义系统状态变量[18]：x=[x1,x2,x3]T=[id,iq,ωr]T，定义系统输入变量：u=[u1,u2]T=[ud,uq]T，将式(1)改写为标准的仿射非线性系统的形式：

(2)

根据微分几何理论[19-20]定理1：若仿射非线性方程式(2)在x0的一个邻域内满足：

(3)

并且m×m维矩阵：

(4)

为非奇异矩阵，则在x0处，非线性方程式(2)有一个向量关系度r=[r1,r2,…,rm]，也就是指在x0的附近，可以用非线性方程式(2)来实现输入和输出的解耦。

在FLC过程中，首先要解决的问题就是确定系统的相对阶。根据式(2)，确定了r1=1，r2=2的相对阶数。则系统的总相对阶r=r1+r2=3。

对式(2)求李导数并计算D(x),b(x)和z：

(5)

由于Lgh1(x)≠0,Lg2Lfh2(x)≠0，则该系统不存在零动态问题，并满足反馈线性化条件。引入新的线性虚拟控制量：

(6)

系统解耦合后的结构形式如图1所示。

图1 解耦后的 PMSM 数学模型

式(2)反馈变换得：

(7)

式(7)对PMSM系统进行了反馈线性化，引用新的线性变量解决系统耦合问题,然后根据滑模变结构理论进行控制器的设计。

2 控制器设计

采用反馈线性化原理，可以将PMSM的ωr和id进行解耦，但该方法会使系统抗干扰能力下降。为此设计改进趋近律的滑模控制器分别对ωr和id进行控制，以提升系统性能。其系统结构如图2所示。

图2 PMSM系统框图

2.1 改进指数趋近律

文献[21]阐述了终端吸引子的概念，并将其应用于神经网络算法。文献[22]在此基础上，将终端吸引子引入传统的指数趋近律并应用于电机，给出了一种无开关函数的滑模趋近律，形式如下：

(8)

式(8)共分为两个部分。由方程的第一部分可知该系统的状态反馈是基于指数函数的，且其渐近过程会随状态变量的持续改变而发生改变，故称变指数趋近律。后一项既加入了终端吸引子模型，又将其作为一个幂函数来表示，因此成为末端吸引趋近律。这样既保证了系统状态轨迹远离原点时系统状态会有更快的运动轨迹，提高系统的快速性，又能提高系统状态在趋近率的作用下系统的稳定性，最终使其状态量收敛。

下面分析其稳定性，通过Lyapunov第二方法来分析式(8)的滑模控制下系统的稳定性问题。

定义Lyapunov函数为

(9)

V正定，且存在一阶连续偏导数：

(10)

由于参数ε、k、p、q均大于零，a、b为非负数，且p、q之和为偶数，因此：

(11)

根据Lyapunov稳定性判据，采用趋近律式(8)的滑模控制满足稳定性和可达性，系统的原点处于平衡状态，即系统是稳定的。一旦系统状态到达滑模面，其可以沿着滑模面移动，并不断接近平衡点。

2.2 电流环控制器设计

在对系统的电流环进行反馈线性化解耦后，可以将输入和输出之间的关系简化为v1通过积分环节得到id，如图1(a)所示。本系统采用了一种滑动模态控制器。设计方式如下：

选取被控对象：

(12)

由跟踪误差选取状态变量：

(13)

由式(13)确定系统状态方程：

(14)

(15)

定义滑模面为

s=cx1+x2

(16)

式中：c>0。

对式(16)求导有：

(17)

采用趋近律式(8)，得到下式：

(18)

令X=x1，得到控制器：

(19)

2.3 速度环控制器设计

在对转速环进行反馈线性化准确解耦后，输入v2与输出ωr的关系可由二次积分得到，如图1(b)所示。该控制方法与电流回路相似，但其控制目标的数学模型稍有差异。控制目标的速度回路数学模型如下：

(20)

同时，直接给出了系统转速环控制器：

(21)

3 仿真分析

在MATLAB/Simulink平台进行仿真，按照图2所示的PMSM系统搭建模型，验证本文推导出的新型反馈线性化滑模控制器性能，并将该控制策略与传统PI控制策略进行对比。PMSM仿真的主要参数如表1所示。

表1 PMSM仿真参数

3.1 空载运行

图3 空载转速波形

图4 空载电流波形

图4分别为采用传统PI控制策略与新型反馈线性化滑模控制策略进行仿真得到的PMSM空载电流响应。如图4 (a)所示，采用传统 PI 控制策略时，id和iq不能完全解耦控制，且波动较大。如图4(b)所示，采用反馈线性化滑模控制策略时，iq动态响应快，稳态几乎无波动，电流响应快速性远优于PI控制器，动、静态控制性能与PI控制相比显著提高。

3.2 负载运行

在t=0.1 s时给电机加10 N·m负载，PMSM系统速度波形如图5所示。传统PI控制策略下，电机转速在50 ms时达到稳定，并且超调明显。而反馈线性化滑模控制策略下，电机转速在15 ms时达到稳定，快速性提升，并持续跟踪给定速度，系统响应速度快且稳态无超调。在突加负载后，反馈线性化滑模控制系统的速度下降了44 r/min，在10 ms后重新实现了对给定转速的跟踪，其动态、静态性能均比传统PI控制优越。

图5 负载转速波形

图6 负载电流波形

图6(a)为传统PI控制器下的电流闭环特性曲线。曲线波动较大、快速性差、超调严重。负载突变时id、iq均出现大幅度波动，有明显超调，动态响应慢；而且到达稳态时iq也存在0.5 A的稳态误差。图6(b)为反馈线性化滑模控制策略下的PMSM电流跟踪响应曲线。id和iq都跟随给定值，系统抖振和稳态误差均较小，iq动态响应快，稳态无波动，iq始终保持在0 A，负载变化时也无明显波动，电流动、静态控制性能与传统PI控制相比显著提高。

4 结 语

对于传统控制策略不能将PMSM的d、q轴电流完全解耦的问题，将输入-输出反馈线性化方法应用到PMSM系统中，通过微分运算和反馈线性化理论，实现电流和转速的完全解耦并得到其数学模型。并在此基础上，结合滑模控制理论，分别对速度二阶子系统和电流一阶子系统设计出新型滑模控制器。仿真结果表明，反馈线性化方法可以有效地简化非线性系统控制律设计，减少模型误差，新型控制策略具有良好的跟踪性能，抗干扰能力强，动态响应快，与传统PI控制方式比较，其优势明显。