2021年高考数学全国Ⅰ卷第22题评析

山东省滕州市教育和体育局 张 彬 277599

2021 年高考已硝烟散尽，但是关于2021 年高考数学全国新课标Ⅰ卷的讨论却没有停息，作为全卷压轴的导数题更是引人关注，不同的老师有不同的看法.本文拟以此题作为研究对象，首先对问题的解题思路与方法进行分析，然后对问题进行深入探究，指出其命题根源之所在.

1 试题

已知函数f(x)=x(1-lnx).（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）设a，b为两个不相等的正实数，且blna-alnb=a-b，证 明：2 ＜+＜e.（2021 年高考数学全国新课标1 卷第22题）

2 解法分析

问题（Ⅰ）：由题意可知f′(x)=-lnx，故当x∈(0,1)时，f′(x)＞0 ，f(x)单调递增，故当x∈(1,+∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，对于问题（Ⅰ）我们不再赘述，着重分析问题（Ⅱ）.我们把问题（Ⅱ）分为＞2和＜e两个问题，分别证明.

解法一：（对称化构造）

证明：由blna-alnb=a-b，可得(1+lna)=(1+lnb)，设=x1，=x2则f(x1)=f(x2) ，不妨设x1＜x2，又f(0)=0 ，f(e)=0 ，由（Ⅰ）知0 ＜x1＜1 ＜x2＜e.①若x2≥2，x1+x2＞2，即＞2 必成立.②若1 ＜x2＜2，构造g(x)=f(x)-f(2-x)，1 ＜x＜2 则g′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln(2x-x2)＞0 故g(x)在(1,2)上单调递增，所以g(x)＞g(1)=0，故f(x2)＞f(2-x2)，故f(x1)=f(x2)＞f(2-x2)又0 ＜x1＜1，0 ＜2-x2＜1，而函数f(x)=x(1-lnx)在(0,1)上单调递增，故x1＞2-x2，即x1+x2＞2，也就是＞2.

注：从前面的解题过程可以看到，我们采用构造函数的方式，证明了x1＞2-x2，从而得到x1+x2＞2 的结论.事实上，我们也可以采用构造函数的方式先证明x2＞2-x1，从而得到x1+x2＞2 的结论.请读者自证，并体会两种方式的细微差别.

2.1.2 分析二：从代数层面来看，问题的实质可以认为是在等量条件f(x1)=f(x2)约束下，寻求二元函数G(x1,x2)=x1+x2的最值问题.能否通过减元的方式，将二元函数转化为一元函数来研究，进而寻求其最值呢？答案是肯定的！

解法二：（比值代换）

解法三：（构造函数）

解法一（对称化构造）：

解法二：（比值代换）

2.2.3 分析三：微积分中有一种重要思想，以直代曲.分析此函数的图像（图1），当x2距离点(e,0) 处较近时x1+x2较大，此时我们可以利用点(e,0)处的切线g(x)=e-x来代替点(e,0)曲线，对x2对应的函数值进行放缩.

图1

解法三：（切线放缩）

2.2.4 分析四：在处理函数中的不等关系时，我们还常常用到一些函数不等式，如ex≥x+1 ，lnx≤x-1(x＞0) ，x＞sinx(x＞0)等等，借助于这些不等式研究其它函数中的不等关系，常常事半功倍.

解法四：（常用不等式放缩）

3 问题根源

如图2，二次函数图像是比较典型的轴对称，当x1和x2对应的函数值相等时，显然有x1+x2=2x0（x0是二次函数的一个极值点）.

图2

但是二次函数仅是我们的研究对象中的一种特殊函数，其图像是轴对称图形.大部分函数不是这个情况.比如本题中涉及到的函数，观察其图像（图3）可以发现：在极值点x0的左侧，函数单调递增，增长速度较快；在极值点x0的右侧，函数单调递减，减少速度较慢；此时必然造成极值点x0处于x1，x2的中点的右侧，这种情况，我们称为：极值点右偏.在这种情况下，显然x1+x2＞2x0，对于我们研究的函数f(x)=x(1-lnx)来讲，极值点x0=1，所以有x1+x2＞2.

图3

同样我们可以分析：当x2距离极值点x0=1 较近时，x1距离极值点x0=1 也较近，此时x1+x2的值与2 比较接近；而当x2距离点(e,0)较近时，x1距离点(0,0)较近，此时x1+x2的值与e比较接近.且x2由x0向点(e,0)运动的速度显然要比x1向点(0,0)动的速度要快，这就不难理解为什么有x1+x2＜e了.基于以上分析，我们认为2 ＜x1+x2＜e，即 2 ＜＜e的 根 源 就 在 于 函 数f(x)=x(1-lnx)在其极值点x0=1 左右两边的变化速度不一致造成的.

当然，我们分析的是函数图像开口向下的情况，此种情况下函数中极值点右偏的情况与左偏类似，不再赘述.函数图像开口向上的情况下，也存在极值点偏移的情况，也不再一一分析.

4 小结

基于以上分析，笔者认为2021 年高考数学全国新课标1卷第22题，题干部分没有冗繁的文字描述，十分简洁，能让考生把注意力很快集中到数学问题的本质上.

试题的第一问，考查利用导数判断函数单调性的方法，立足基础，起点低、入口宽，面向全体学生，注重通性通法和对数学思想的考查，淡化了特殊方法、技巧解题，这对高中数学的教学有积极的导向作用.

试题的第二问，需对条件blna-alnb=a-b进行转化，发现f()=f()，才可以认清问题的实质是“极值点偏移”问题.在保持高考试题稳定的基础上，问题的情境有创新.在blna-alnb=a-b条件下，要求考生完成不等式2 ＜＜e的证明，凸显了本题对考生的数学抽象、逻辑推理，数学建模、数学运算等核心素养的考查，可以使不同层次的学生有不同的表现，很好的体现了高考试题服务选拔的功能.