非局部的对流Cahn-Hilliard方程

徐 婷,蒲志林

(四川师范大学 数学科学学院,四川成都 610066)

§1 引言

Cahn-Hilliard方程

是Cahn和Hilliard提出的一类重要的高阶非线性反应扩散方程[1],用于描述二元合金在不稳定状态时的相分离.在过去的几十年中,国内外众多的学者对这种类型的方程进行了广泛的研究[1-5],如在[5]中,Cholewa和Dlotko研究了方程(1.1)初边值问题的全局吸引子等.

含有对流项的如下形式的方程

称为对流Cahn-Hilliard方程,其中∇·g(u)称为对流项.它描述了许多的物理现象,例如热力学不稳定晶面的生长和在外域上相分离系统中的合金分离等.在描述晶体生长时平面和角的形成中,u(x,t)表示界面的斜率,对流项∇·g(u)来源于具有独立参数的动能.对于方程(1.2)的研究很多,如在[6]中Eden和Kalantarov研究了具有周期边界条件的对流Cahn-Hilliard方程的紧吸引子的存在性;在[7]中Zhao研究了n维对流Cahn-Hilliard方程Cauchy问题的全局适定性,它们都是对流Cahn-Hilliard方程的局部形式.

为了更加准确地描述一些物理现象以及材料科学的需要,Bates等人提出并研究了非局部的Cahn-Hilliard方程[8-9]

其中(1.7)称为Dirichlet边界条件,(1.8)称为Neumann边界条件.本文将考虑非局部的对流Cahn-Hilliard方程连同Neumann边界条件解的最大值估计,将借助[10]的方法获得本文的主要结果.而本文与参考文献[10]相比多了非线性对流项,因此如何处理非局部项和对流项是本文的主要困难.除此之外,该模型的能量泛函难以找到,因而比较原理也就不适用于研究该模型.为了克服这些困难,本文参考[10]中特殊的迭代技巧来得到一些先验估计,从而得到主要结果.

将方程(1.6)-(1.9)改写为

§2 主要结果及其证明