数学史融入课堂：高品质教学的实践路径

摘要：高品质数学教学是教师践行学科育人、培育学生核心素养的重要实践路径之一。数学史作为人类历史智慧的结晶，亦是数学文化的有机组成部分，在思考其融入数学课堂教学的价值意蕴与基本现状基础上，通过精准选择、丰富形式、古今贯通等融入策略，进一步探讨数学史内涵解读及内容选择、运用方式与融入指向，把握数学认知历史发展走向，为促进学生数学关键能力、必备品格及正确价值观念的全面发展带来新的增长点。

关键词：数学史;高品质教学;小学数学教学

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2022）07B-0065-05

高品质数学课堂意味着教学能充分、有力彰显学科的文化与育人价值，意味着学生对数学学习的积极态度、灵性思维、个性情感的和谐共生与自然张扬，意味着学生的数学核心素养与关键能力能够于最近发展区内得以显著提升与有效拓展。由此可见，高品质数学课堂教学具有“课程内容充满文化意蕴，教师教学充满文化意趣，学生学习充满文化意境”等基本特征[1]。数学史不仅呈现出知识发生、发展的历程卷轴，还有蕴含其中的思想、方法、影响等文化层面的不断演进。正是由于数学史的数学特质、文化内涵与高品质数学课堂基本特征的高度吻合，越来越多的小学数学教师尝试将数学史运用于课堂教学中。

一、数学史融入课堂教学的价值

数学史是数学学科在特定文化背景与生活环境下伴随着人类进步而产生的历史结晶，是前人在不同历史阶段对数学持续探索与研究的过程性累积。作为数学知识、思想与方法的重要载体与实现学科育人的基本抓手，需要以全新视角对数学史融入课堂教学的价值予以审视。

（一）彰显人类文明，培植文化情怀

数学史是人类文明史、文化史、发展史的重要组成篇章，它给予人类的不仅仅是认知满足与社会需求（不通），更多的还是其所蕴含的人类精神、文化特质及数学应用于生产实践的产物等，彰显着人类文明发展历程中的众多璀璨瑰宝。在小学数学课堂教学中融入数学史，利于学生深度感受数学在人类文明发展历程中的角色地位，亦可借助人类数学历史与显著成果折射出的巨大魅力，逐步培植学生的文化自信力与民族认同感。

（二）厘清发展脉络，培育数学素养

将数学史融入课堂教学，能够还原复现数学知识、思想与方法的发生、发展全程，利于学生了解数学知识的源头、缘起，有助于学生将新知置于更宏大的文化背景中予以考量，有助于学生提升数学认知眼界，扩大思维边界，从而对相关知识、数学思想形成更加厚重、深刻的认识体验，为后续学习埋下种子，为培育与提升学生的数学素养提供史学资源及路径支撑。

（三）拓宽成长路径，构筑研究基点

数学史融入教学将会产生强劲的倒推力，对于提升教师的学科素养、完善教学观念及学科育人行为具有明显的促进作用，促使教师不断提升个人数学史素养，“是什么、为什么、从哪里来、怎样运用”正逐步成为数学史领域中的研究基点。数学史与数学教育研究者通过教师培训、现场教学、创办专题期刊、课题研究、团队辐射等常规途径传播研究成果，发布最新动态，提升数学史素养已显然成为教师专业成长与发展的又一路径。

（四）触及数学本质，活化教师教学

教师对数学史料的选择、解读与关联性构建是数学史融入课堂教学的基本前提，否则将难以解决在哪里融入以及如何融入的问题。在与数学史对话过程中，教师能够更好地从中了解知识点的起源及发展脉络，在明了知识本质、历史逻辑的同时，还能聚焦至数学知识在特定发展节点中的困难或阻碍，这往往也是学生学习数学的难点所在。从这一维度上看，数学史除给予教学知识原型外，还可为教学难点突破、寻迹理解证据提供近距离参照。

二、数学史融入课堂教学的现状

现行数学课程标准对数学史的要求与教材中的数学史内容存有脱节现象，使得数学史料在当下教材中处于可有可无的状态。目前，小学生数学史的应用意识及工具意识培养还没有真正起步，学生的数学史素养更是极度匮乏。除此之外，当前数学史融入小学课堂的教学实践还存有诸多问题有待分析、值得思考。

（一）史料的选择与解读浮于表面

学习就是对已有知识和经验的重组与改造，学习前学生的认知存有一段潜在距离，数学史的融入与价值发挥往往也浮于表面。事实上，很多教师仅仅局限于教材中的“你知道吗”“数学阅读”等显性史料的只言片语，且多以读一读、说一说的方式予以浅层处理，教材中一些隐性渗透的数学史料根本没有引起教师的广泛关注与足够重视。即便是少数教师能够针对教学主题选择相应的数学史料，可因选择缺少针对性、切合性，解读与构建缺乏关联和逻辑，势必会造成史料的堆砌、无序、晦涩，数学史的运用反而会增加学生的认知与理解难度。

（二）史料与目标达成难以相互融通

在小学数学课堂教学中融入数学史料并非易事，不是让学生接触更多的数学史料而增加学业负担，而是将其与课堂教学活动有机融为一体，引导学生理解抽象的数学概念、攻克学习难点，深度体会数学思想与基本方法，在更大空间范围内对数学知识予以认知与构建，在达成目标的同时引发学生对知识渊源的探寻及对民族文化的敬畏。数学史融入课堂教学的实践活动中，由于很多教师没有真正找到教学主题与数学史料的融合点，导致教学活动与数学史料不能融会贯通、相得益彰。如“圆的认识”的教学，教师一般都会引入“圆，一中同长也”（《墨子·经上》）这一名言，却不能组织、利用概念同化等教学活动引导学生深度理解圆的基本特征，使得数学史料服务于教学的功能与教学目标达成处于各自独立与割裂的状态。

（三）史料融入教学活动的形式单一

从一般意义上思考，将数学史料融入小学课堂教学应该基于两者间的衔接点及史料本身的价值，对教学组织与逻辑结构予以重新审视和建构。事实上，由于囿于传统教学的逻辑，不少教师依然沿用传统教学模式，将数学史料简单地附加在教学内容之后。这种简单的附加式融入没有从根本上改变教学活动逻辑结构，自然就难以激活数学史融入课堂教学的教育价值，难免会产生“加与不加史料都无妨”的尴尬局面。除了数学史料的附加式融入，还有内容重构、教学顺应、复制运用等多种融入形式。这些方法无一例外地都在提醒我们，必须遵循数学史融入课堂教学的核心要义，必须摆脱传统教学设计逻辑的窠臼，以史料与教学活动互融互通的视角建构教学序列与认知逻辑。

三、数学史融入课堂教学的策略

在当下小学数学课堂教学融入数学史的实践中分析现状、聚焦问题，实际是在探寻数学史融入课堂的用力靶向，以期融入策略、基本路径更具适切性。数学史融入课程是有规律的，可以在主题模块中融入，也可针对某一节课融入与运用，本文谈及的数学史融入实践策略是针对后者而言的。

（一）精准选择，深入解读内涵

基于数学课程标准的基本要求与学生当下的认知水平及现状，综合分析数学史与数学教育最新动态及相关研究成果，可以从中发现、筛选、梳理数学史料的一般思路：“基于教学改进需要并针对核心知识点检索数学史研究资料，从历史中挖掘教育价值，寻求结合点，进而形成教学设计，付诸课堂实践。”[2]以此为路径去挖掘、寻取数学史料，可以有效增强数学史料与主题内容的关联度，真正让史料成为课堂教学内容的有机组成，而不是可有可无的认知鸡肋。

教师对数学史的解读实质上是在解决“数学史是什么”的问题。一般既要立足于数学史料的演进过程，纵向思考人类数学知识原型经由怎样的样态、人物、事件、障碍或创新变成现在这样，又要从横向对比切入，思考数学在不同历史阶段的本质与基本演进规律，更要关注知识间的重要差异及造成差异的历史背景、文化背景，因为此为数学发展之“源”。

（二）丰富形式，明确融入指向

华东师范大学汪晓勤教授基于实践层面提出“附加式、复制式、顺应式、重构式”四种将数学史融入课堂教学的基本方式[3]，为一线小学数学教师相对科学合理地将数学史料运用至课堂教学指明了实践方向。

1.附加式融入：超越史实与故事，指向意义与兴趣

史料的附加式融入是当下小学数学教学中极为常见的运用方式，多为介绍数学史实、展示相关人物图片、讲述数学故事等。运用附加式融入并不是对数学史料的搬运，而是立足于教学需要予以适度加工，引导学生将思考聚焦至核心数学问题上。同时，还要透过数学史料探寻、挖掘其中的数学意义，用来还原数学知识成为现在样态的发展历程。如学生第一次认识乘法时，教师可以依据教材中的“你知道吗”介绍乘号的历史：“300多年前，英国数学家首先提出用‘×’表示相乘。后来，又有数学家提出用‘·’表示相乘。”也可以这样介绍：“300多年前，英国数学家首先提出用‘×’表示相乘，由于乘法是用来表示求几个相同加数和的简便形式，把表示相加的‘+’进行适当倾斜后变成‘×’来表示相乘。后来，又有数学家提出用‘·’表示相乘。”两种介绍方法看似没有差异，实则体现了两种不同的教学理念，后者更能凸显乘法的来源与实质，更利于学生对数学知识的认知和理解。

裹挟着情感投入产生内驱力的学习才是可持续发展的学习，数学史在这方面有着诸多优势，教师可以结合教学内容特点与学生需求，择机讲述与数学家相关的故事或数学知识发展过程中的逸闻趣事[4]，以此为学生的数学探索增添色彩、动力与兴趣。

2.复制式融入：复制经典与方法，指向勾连与本质

复制式融入就是把数学史上的典型问题或思想方法，作为教学内容的有机组成部分直接予以运用。如教学“两位数乘两位数的笔算乘法”一课，引导学生利用“格子乘法”计算两位数乘两位数就是典型的复制式运用，但个中要义与操作也绝非如此简单。教师首先按照竖式模式组织教学，然后经由学习“格子乘法”阅读材料、集体讨论“格子乘法”的基本算法与算理、举例模仿验证等认知过程组织学生全方位认识“格子乘法”。随后将探究重点聚焦至“竖式乘法”与“格子乘法”两者在算理与算法上的异同比较，让学生真正明白“格子算法”实际上就是竖式算法的另一种表征形式（如图1）。

例如计算：46×39=1794

上述数学史复制运用过程是在更为宽泛的层面上进行知识间的勾连，经历算法模型建构的基本过程，从而全面理解和把握笔算乘法算理的本质属性。这样的课堂教学无疑是高品质的，自然距离数学本源和数学学科核心素养也会更近一些。

3.顺应式融入：基于编制与改造，指向认知与思考

以数学史料为知识原型编制数学问题，或对数学在发展历程中呈现出来的思想方法予以改编是数学史顺应式运用的基本手段，主要用来顺应当前教学的需要。如“公倍数与最小公倍数”的教学，在认知公倍数概念后，教师出示《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”教师先是帮助学生理解题意，然后引领学生交流个人想法，最终发现此题跟公倍数密切相关。在接下来的教学中，教师放手学生解决将“物不知数”史料予以改编后的问题：“棋罐中有若干枚围棋子，三个三个地数剩2个，四个四个地数差2个，六个六个地数也剩2个，请问：共有多少枚棋子？”学生利用列举这一“笨”方法展开探究思考，发现答案不唯一而产生了困惑，教师顺势引出最小公倍数的概念。在上述教学过程中，教师复制式运用“物不知数”问题，关联“公倍数”概念认知后将之予以改编，在学习过程思考与认知顿悟基础上提出另一概念，顺应了课堂教学的基本需要。

顺应式运用还需要教师对众多数学史料的合理化改造，特别考验教师的甄别水平、创造能力与教学智慧。在年、月、日教学中，可以运用的数学史料特别多，如罗马时代的朱理亚历及奥古斯都历，农历闰月的由来，公历、农历、阳历、阴历等历法概念等，虽然这些内容能够促进学生对年、月、日的学习认知，但基本没有触及知识的认知本源与内在规律，难以揭示人类对年、月、日认识的周期性刻画，往往会使得学生陷入只知其然却不明其理的僵局，这需要对相关数学史料予以逻辑改造或结构重组，以满足、顺应当前教学需要。教学时，可以借助太阳的东升西落感受白天、黑夜往复交替，由此形成对“日”这一时间概念的认识，同时根据四季变换轮回周期性规律揭示对“年”的认识，让学生从中体会、感悟到年与日的自然性形成过程、规律及蕴含其中的思想方法。另外，依据月亮圆缺更替的周期性规律揭示阴历“月”这一概念，同时借助朱理亚历及奥古斯都历的史料微课，向学生揭示公历“月”的时间乃人为规定，正是由于规定每月天数的不同，才有了大月、小月与平月、闰月之说。从概念构建与数学文化渗透的维度看，上述基于数学史料改造与重组的顺应式运用教学，转变了学生对“年、月、日”知识的认知方式，变陈述性、事实性知识为数学化、建构性理解，在比较、推理等数学思维活动中厘清了其数学本源，数学思考与学生认知由此自然、真实发生，此为数学史的能力之助。

4.重构式融入：重构发生与发展，指向过程与创造

重构式运用重在结合教学主题基本特征与学生的认知发展规律，将数学史料的运用有机嵌入探究学习中，重构知识的发生、发展过程，引导学生经历“再创造”的数学化，体悟古代数学家分析与解决问题的心路历程。如“三角形的面积”的教学，教师以数学史料的梳理与内涵挖掘为基础，重构了相关知识的发生、发展历程，设计思路完全指向了教学目标特别是学生创造能力的达成。教学以古埃及尼罗河水泛滥后需重新丈量与分配土地的几何学起源引入，以古希腊“等底等高的平行四边形与三角形面积间的关系”为原型编制数学问题：要想知道这样两块土地（如图2）的面积，需要测量什么？然后，引导学生借助 “由特殊到一般”基本策略，利用割补法、倍拼法探究直角三角形面积，由此及彼，用同样方法探究出锐角、钝角三角形面积计算公式。

在随后的教学中，教师先是勾连引入环节中古埃及土地面积的测量问题，引发学生对两者面积关系的思考，进而融入古希腊数学家欧几里得相似研究成果与我国伟大数学家刘徽在《九章算术注》中记载的三角形面积计算方法-“以盈补虚法”（也称“出入相补法”）。在厘清此法原理的基础上，教师引导学生回头再度探索三角形面积割补法的其他情形。教学到此，学生已经通过创造、再创造的方式推动了三角形面积计算方法的发生与发展过程，学生从中真正感悟到了思想方法的数学价值。

可教学没有结束，教师另以附加式融入的方式介绍了“海伦-秦九韶公式”，引领学生在原有认知的基础上，明确由三条边长度计算三角形面积的方法，三角形面积计算方法在此进一步得到扩充与发展，让学生感受到了知识之谐、探究之乐与方法之美。

（三）古今贯通，朝向求真至简

教师引领学生历经数学历史的探究之旅，带给学生的不仅是清晰有序的认知脉络与数学知识结构，还有学生数学核心素养的提升及课堂宽度的延展。素养导向的课程目标与结构化的课程内容更需要教师在教学实践过程中，带领他们从中体会和思考知识发展与演变的历史走向，即数学表达一直所追求的简洁美与必然性。

如“竖式乘法”的教学，就可以“竖式乘法”的发展脉络为主线组织教学，结合学生的认知序列与数学史料的逻辑序列，探究古埃及倍乘法、中国算筹计算、印度的格栅算法（传至中国后被称为“铺地锦”）、12世纪意大利斐波那契的对角线法及帕乔利著作《算术、几何、比及比例概要》提出的具有竖式形式的“分解乘数法”，通过乘法理解与算理纵横向比较，引导学生“创造”更为通用、更为简洁的竖式形式，同时引发学生思考现在的竖式乘法步骤可否进一步压缩、简化，以及如何压缩与简化，让学生感悟到数学探究始终在探寻对问题解决一般化、最优化策略，这就是数学向前发展的动力之流。

基于数学史融入的高品质课堂教学实践，关键是结合学生的认知发展规律及教学目标达成需要，在系统梳理的基础上深度挖掘数学史文化内涵及教学应用价值，采取数学史的“四种”基本运用方式将其背后的数学思想、数学方法、数学精神等文化意蕴融入课堂实践，引领学生从中体会历史与现实的碰撞、数学与人文的互融，从而引发数学的深度学习，促进学生个人的整体发展。

参考文献：

[1]李铁安.文化何以育人——高品质数学文化课的塑造[J].教学月刊·小学版（数学），2021（3）：4.

[2]曹培英.民族文化促进数学理解例谈——兼议HPM的实践探索[J].小学数学教师，2021（2）：11.

[3]汪晓勤.HPM视角下的小学数学教学[J].小学数学教师，2017（7/8）：80-81.

[4]顾宇恒，蔡宏圣.基于数学史实施深度学习[J].教学月刊·小学版（数学），2021（6）：19.

责任编辑：贾凌燕