Python在微积分教学中的应用

刘加菊

（湖南电气职业技术学院）

在信息技术被运用到教育领域后，“教与学”的形式均有所改变。线上教学不断普及下，学生对于课程选择与知识记忆方面有明显的需求。常规课堂教学也不再局限在板书上，为满足学生高效吸收知识的需要，教师应当通过各种方法优化授课效率。而Python可提供绘图功能，将各类定理、几何意义以动态图像的形式呈现出来，便于学生提炼知识，加强理解。

一、Python

（一）Python语言

Python在1991年诞生，时至今日已经成为一种主流编程语言，被用到爬虫与数据处理等方面。Python属于面向目标的解释性语言，便于维护、拓展、读取，并具有较强的可移植性。其分成2.x与3.x版本，直至2020年，前者已经不再维护，所以在教学实践中都要选择3.x版本。Python应用优势具体表现在标准库，覆盖范围广，而且支持跨平台运行。该标准库能够进行不同功能模块与函数运行，新内容也被保存在标准库中，让Python实际功能愈发强大。同时，Python是通过缩进方式将程序块结构进行分层处理，编写代码规格标准，便于读取使用[1]。

（二）Matplotlib

Matplotlib为Python中 的二维绘图库，工具相对齐全，包含等高线图、散点图、线图与柱状图等许多绘图函数，而且能生成图形动画等更加高端的绘制内容。另外，该绘图库也具备交互功能，支持动态调整绘图参数，这便于在教学过程中使用。而且此绘图库中还设有坐标轴与图例等多个子模块，可以给教师提供多种绘图样式。在面对三维绘图需要中，Python中在此绘图库的基础上，搭配mpl_tookits工具包，在不用设置大量代码的前提下，就能绘制出所需的三维图像。同时，此绘图库还设有Python图像用户界面的接口，能够与pyqt单元整合运用。选择Matplotlib生成图像，随后利用pyqt完成前端展示，这是Python实现可视化的主要方式。

（三）和微积分有关的Python库

首先，内置函数。Python中的内置函数，很多是为支持某个系统功能，实施逻辑判断以及类型转换。其在Python启动过程中一同加载，教师能直接应用。其次，math模块。例如三角函数、指数函数等众多符号运算、数值计算的函数，均未被归纳到内置函数范围内，直接保存在math库里。调取math库的函数中，教师能提前利用下达系统命令完成加载，随后以“math.函数名”实现调用。另外，也能直接提出“from math import *”的指令，完成math库的加载，之后便可编辑函数名称实现调用。而在实际应用中，如果进行同时加载，会令运行中的第三方库数量偏多，容易面临函数重名的情况，不利于精确使用。最后，sympy（数学符号函数库）。在利用Python开展符号运算教学中，应当要加载sympy函数库，其可以让Python转化成代数系统。值得注意的是，微积分符号运算教学中，要提前定义会遇到的全部代数字母。此环节能借助“symbols()”辅助定义数个字母，过程中要关注字母大小写的问题。

二、微积分教学中Python主要运用

（一）函数可视化生成

1.任意指定性质函数

（1）随机函数。随机属于概率学领域的概念之一，随机也是数学讨论的主要方向，同时在密码学中也有涉及。随机数能分成真与伪两类，前者一般是通过物理过程，如量子效应；后者按照特定数学算法形成，自身存在一定规律性，只不过由于循环周期过长，将其视为随机，相关算法有很多，如RAND、线性与非线性同余法[2]。此处利用Python把随机数形成过程以可视化的方式呈现出来，实质上是伪随机数，但在微积分教学下，足够让学生了解随机数。把随机数与函数整合起来，确认x定义域和待生成点的数量（n），设置映射值域，借助Python中random函数便能得到n个通过随机算法形成的yi。定义域选择在[-5,5]，而值域是[-2,2]，按照点对（xi,yi），便能生成相应的散点图以及折线图。该过程完全是随机的，所有（xi,yi）函数值均为随机赋予，这会令生成图像比较杂乱。在微积分教学中，利用Python可视化生成任意随机函数相应的操作程序为：自建动图、新函数、新增随机函数、任意函数，随后选择定义域与值域，“确定”后返回操作主页面开始“运行”，直接能得出函数图像结果。

（2）连续函数。绘制任意连续函数（y=f(x)）图像中，仅需在任意随机函数的基础上，调整y的取值方式即可。按照连续表达如下：

所以随机形成第一个点，之后的函数点便可按照以上方法形成点对。借助Python中的对应函数，能够按照指定区间，形成满足均匀分布的点，继而产生y。微积分教学中，因为计算机既有限制以及Python按点绘线的特征，应当提前设置与，而二者能直接选取较小值，这样能提高绘制曲线的平滑度。

（3）可导函数。针对该类函数的绘制，考虑到Python仅能以离散点作为目标进行绘图，因而实际教学中可运用的绘图程序为：第一步，设置与，两者能对y与x数值间隔进行调整，同时还可以设置定义域。第二步，基于定义域左端，随机选出函数第一个点，即（x1,y1）。第三步，形成第二个点，其横坐标是x2，令x2-x1=，符合领域标准。根据连续性要求，形成f(x2)，让前两个点符合连续性。第四步，形成第三个点x3坐标，令x3-x2=，根据可导要求得到f(x3)。第五步，重复上一步操作，借助前两个点得出后面的可导点，直至达到定义域的右端点。通过把微积分内容利用Python进行可视化处理，让学生直接看到可导函数图像，并且在不设置限制条件的情况下，可导函数能形成“趋势”，结果和该函数基本特征一致。

2.微积分重要定义

（1）导数定义。在微积分学科中，导数是极为关键的概念，学生如若要快速使用导数解出问题，应当先明确导数概念与几何意义[3]。为可以动态化显示出其定义，用几何形式呈现，先要在曲线上确认点x0，以此为基础画出切线。在x0周边选出x1点，画出二者对应割线，而后调整x1取值，让其不断靠近x0，将该过程中的割线情况进行动态呈现。这样能够使学生以比较直观的状态，体会从割线变为切线的几何规律，继而形成对导数定义的认识。实践教学演示期间，为便于课上演示操作，教师应当把导数定义直接当成案例保存在资料库内，按照“自建动图”“趣味案例”“导数的几何意义”完成参数设置。随后教师能直接选择现有的函数形式图像与默认第一个点x0，或是自定义函数，在相应定义域中选择x0，“确定”后便能立即获得相应的几何动态演示。

（2）极限定义。在讲解“极限”部分的知识中，为让学生可以清楚地认识道“极限”概念，大多数教师倾向于用“割圆术”为例子展开讲解。相关数学原理为：算出圆形正n边形的面积，视为圆形面积近似值，在n的取值持续加大中，正n边形实际面积也就更接近圆形面积，但不可能相等，这就能体现出“极限”概念。在运用Python进行动态化教学中，也能直接绘制“割圆术”，当作一个趣味案例保存下来。在微积分领域中，“极限”一般是研究函数与数列，考虑到数列理解难度较低，此处选择数列作为分析对象。以下述数列为例，n是横坐标，而数列值是纵坐标，借助基于Python构成的可视化程序，动态呈现数列数值持续接近极限的过程，呈现出“极限”表述内容。

在n持续提高中，函数值始终处于“O”周围，而且持续接近“O”。通过散点图呈现出x轴上点列，并且为了更清楚地反映出“逼近”的情况，把n当成动态变化要素，持续性提高其取值，这样就能呈现出数列“延伸”的状态。

（3）微分定义。对于一元微积分来说，“可微”相当于“可导”，即：

f(x)函数上，随意选择一点L（x0,y0）和其周围一点L'（x0+△x,y0+△y），穿过二者作一条和x轴平行的虚线，基于L点作此切线，并过（x0,0）与（x0+△x,0）分别与x轴虚线及切线相交，用△y表示。因为f’(x)为切线与x轴夹角对应正切值，加之一元微积分特点，所以，函数f(x)在点L的微分，能够用其切线纵坐标的增量代表。运用Python可视化处理工具绘制出函数图像。微分和导数的几何意义图像比较接近，教师也可以直接将其保存在相应案例资料库中，相关操作流程也可参考导数定义的方法。

3.自定义表达式函数

（1）直角坐标函数。在直角坐标函数中，比较多见的形式是y=f(x)。绘制该基础函数图像中，教师仅用确认函数的定义域，假设需要绘制出动态的图像，就应额外设置变化参数[4]。比如，在讲解y=sin(x)中，教师直接选择在基于Python的可视化系统上，进入到“自建动图”模块，点击“新函数”，便能输入所需的函数参数，确认新增与输入表达式函数，设置区域是[-5,5]，不设定可变参数。完成上述操作并“确定”后，启动运行就能得到完整的直角坐标函数。

（2）极坐标函数。极坐标方程的基本形式是p=f(θ)，鉴于在实际教学中录入“θ”存在一些不便之处，因而改用“r”作为自变量。比如，在绘制从0至2π区间内的阿基米德螺线，此时极坐标方程能用p=r/6代表。教师操作系统中，同样通过“自建动图”模块中的“新函数”，完成相关的参数录入操作。

（3）参数方程。微积分教学中，为便于操作应用，方程参数直接选定“t”，比如在“参数方程画圆”讲解中，参数方程是：

参数t的取值范围为[0,2π]。按照上述操作流程，新建函数即可，通过动态图像观察到的结论，和参数方程基本规律、性质相同。

（二）重要定理可视化

1.连续与极限

（1）介值定理。对于闭区间的连续函数，该定理是其主要性质，其被运用在迭代法求根等类似的“逼近”算法上。为了让学生以比较直接的形式感受介值定理，可视化处理应当是最有效的方法。教学实践中，基于任意闭区间，绘制出连续函数f在其中的图像，同时要确认函数端点数值。在闭区间[f(a),f(b)]内，由ξ动态取遍全部值，但因为绘图形式约束，取值存在间隔，能根据连续定义确认间隔。各个ξ在函数上均有与之相等的点。

（2）零点定理。和上一个定理比较接近，需要先确定合适的“a”与“b”，在[a,b]区间内绘制出f函数图像，让f(a)与f(b）是异号状态。下一步则是使ξ=a，并绘制出此处切线。让后使ξ取遍此闭区间内的全部值，观察该过程中ξ对应切线斜率等于零的情况下，ξ的对应点。

（3）数列极限性质。一方面，有界性，即假设{xn}数列是收敛的，则意味着其一定有界。微积分教学期间，教师可以利用图像呈现出收敛数列性质。以下述震荡数列为例：

该序列极限是3，n是横坐标，而纵坐标是数列值，动态表现出该数列在n数值提高中的变化状态。通过Python绘制，得到的证明结果和收敛序列性质相同。另一方面，单调有界必有极限。针对该准则，此处主要从几何意义角度讨论加以证明。在单调数列（{xn}）中，数列值仅能基于数轴进行正方向与负方向上的运动，并且只能向一侧移动。假设数列值朝着负方向移动，此时单调数列取值只会出现两种现象，分别是：数列趋于“-∞”；趋于某个固定值。如果单调数列有界，则前者不成立，也就是数列有极限。经过动态图像讲解的方法，发现单调递减数列的数值是无限逼近某个固定值，这意味着此数列的极限就是该值。

2.导数定理

在微积分课程中，关于极限的单元，具体讨论数列与函数极限具备有界性、子列收敛、唯一性、保号性，并包含“夹逼准则”与“单调有界必有极限”[5]。因为定理和性质本身存在明显的特殊性，所以教学讲解证明大多是理论推导，很少会用到图像。但如果在课上教师能够灵活运用Python，实现直观化教学，更容易让学生理解。

（1）罗尔中值定理。其在微积分课程中占据重要定位，通过对其进行动态化处理，可以直接在（a,b）中锁定ξ点，对此应当建立符合相应要求的函数曲线。在连续可导函数（f(x)）中，选择[a,b]区间，让f(a)与f(b)相等。在绘制图像中应标记出图像端点，并通过虚线连接。使ξ由a至b移动，显示出ξ对应切线，锁定切线斜率为0的取值，由此可以反映出该中值定理的几何意义。实践教学中，为提高课堂上演示过程的便利性，把此中值定理与其他相关定理都当成教学例子集中保存，相应的调用操作流程和前文关于导数几何意义的处理方式一致。

（2）拉格朗日。此项中值定理描述了在闭区间中，可导函数的导数改变与其端点割线斜率的联系。在讲解其几何以一种，同样要先绘制出原始函数图像，设置端点。使ξ由a至b完成取值，绘制相应切线，在此期间确认其和割线相互平行的点。通过运用Python绘制动态图的方式，将中值定理呈现出来，使学生可以直观理解定理描述的关系。

3.积分定理

（1）不等式。微积分课程的众多不等式中，积分不等式属于比较重要的抑制，其是解出微分方程的重要工具，具体有闽可夫斯基与杨不等式等。例如，在讲解杨不等式中，对其进行几何意义分析。教师先要绘制函数图像，区间为[0,a]，标出端点与对应虚线。在纵坐标轴上选择一点b，使其动态移动。由此形成两个多边形，在b不等于f(a)的情况下，两个多边形的面积和大于ab。

（2）积分中值定理。其包含一重积分与二重积分两种，前者还能细分成积分第一与第二中值定理。以积分第一中值定理为例，这是由于其在实质上和二重积分中值定理比较接近，所以，更具分析代表性。该定理的基本描述为：假设在[a,b]区间上，f(x)函数是连续的，则在该区间中至少有一点ε符合以下条件：

在函数定义域内，等于曲线和x轴构成一个面积，则在积分第一中值定理对应几何意义为：定义域作为图形的底，曲线上某个点是高，由此形成的矩形面积就是曲线积分值。而该几何分析过程能根据介值定理得出。相应的分析推导思路为：假设在[a,b]区间上，函数最大值是M，最小值是N，在以二者为高形成的矩形面积中，会存在下述结果：

按照介值定理，便能确认在此区间中，函数上至少有一点ε符合要求。

三、结束语

微积分知识本身的理解难度较大，而且各类定理、定义较多，倘若仅依靠理论推导，可能容易导致学生理解偏差以及混淆等问题出现。而借助Python绘图功能，可以按照设定条件直接生成函数图像，并支持动态演化，这样有利于学生掌握定理描述本质，灵活运用解出数学问题。