经历探究过程建立数学模型——《植树问题》教学设计与意图

文|朱 欢

【教学内容】

人教版五年级上册第106、107 页及相关练习。

【教学过程】

一、创设情境，引入新课

师：生活中处处有数学，伸出你们的一只手，张开手指，用数学的眼光观察一下，你看到数字几？

生：数字5。

师：5 个？

生：手指。

师：除了看到数字5，还看到了数字几？

生：数字4。

师：4 个？

生：4 个手指缝。

师：手指缝，在数学上我们可以把它叫作间隔。那么，5 个手指之间有几个间隔？4 个手指之间有几个间隔呢？3 个手指呢？2 个手指呢？

生：4 个、3 个、2 个、1 个。

师：通过刚刚的学习过程，你有什么发现？生：间隔数比手指数少1。

师：在数学上，我们把这种和间隔数有关的问题，统称为植树问题。（板书课题：植树问题）

二、自主探究，构建模型

1.出示问题，引出三种不同的情况。

课件出示：同学们要在全长100 米的小路一边植树，每隔5 米栽一棵，一共要栽多少棵树？

师：请看大屏幕。自己读一读，说一说找到了哪些有用的数学信息？要解决的问题是什么？

生1：小路长100 米，每隔5米栽一棵树。

生2：是在小路的一边植树。

生3：要解决的问题是“一共要栽多少棵树”。

师：“一边植树”是什么意思？

生：小路有两边，我们只要在一边植树就可以了。

师：“每隔5 米栽一棵”，你们是怎么理解的？

生1：栽一棵树，隔5 米再栽一棵树。

生2：两棵树之间的距离是5米。

师：同学们理解得真到位。猜一猜，100 米的小路一边植树，每隔5 米栽一棵，一共要栽多少棵树？

生：20 棵、21 棵、19 棵。

师：有三种不同的答案，怎么办？

生：动手画一画。

师：好主意。接下来，请同学们在草稿纸上画一画，看看到底能栽几棵树？

师：照这样一棵一棵地画下去，感觉怎么样？

生：太麻烦了。

师：是啊！一节课的时间有限，这么长的路我们可不可以——

生：取其中的一部分。

师：取多长为好呢？

生：10 米、20 米、30 米……

师：10 米太短了，30 米又有点长，那就选20 米吧。像这样从简单的情况入手，在数学上叫作“化繁为简”。（板书：化繁为简）

课件出示：在20 米的小路一边植树，每隔5 米栽一棵，一共要栽多少棵树？

师：同学们能不能试着在纸上画一画或是算一算，然后再与你的同桌说一说。

教师巡视，适时参与学生的讨论与交流，选择三位同学的作品展示在黑板上。

师：仔细观察这三位同学的作品，它们有什么相同的地方？

生1：他们都是每隔5 米栽一棵树。

生2：都是4 个间隔。

师：你们知道这4 个间隔是怎么算出来的吗？

生：20÷5=4（个）。

［板书：20÷5=4（个）］

师：20 表示？5 是？4 是？

生：20 表示小路长20 米，5表示每5 米栽一棵，4 表示4 个间隔。

师：刚才我们比较了相同的地方，现在我们来比较不同的地方。

生1：第一位同学种了5 棵树，第二位同学种了4 棵树，第三位同学种了3 棵树。（板书：5 棵、4棵、3 棵）

生2：第一位学生两头都种了树，第二位同学只在一端种了树，第三位同学两端都没种。

师：为什么第二位同学只在一端种了树，第三位同学两端都没种呢？他们可能遇到了什么情况？

生：可能有房子或障碍物。

师：是的，当一端或两端有房子的时候，还能种下树吗？

生：不能。

师：我们能不能给这三位同学种树的情况想一个名字？

生：第一位学生两端都栽，第二位同学只栽一端，第三位同学两端不栽。（板书：两端都栽、只栽一端、两端不栽）

2.发现棵树与间隔数的规律。

师：4 个间隔5 棵树、4 个间隔4 棵树、4 个间隔3 棵树，棵树与间隔数如此的接近，看来棵树和间隔数之间一定有联系，你能找出来吗？

生：两端都栽的情况：棵树=间隔数+1；只栽一端的情况：棵树=间隔数；两端不栽的情况：棵树=间隔数-1。（板书）

师：除了看数字之间的关系，还可以从哪里看出来？

生：从图中看出来。

师：一棵树对应一个间隔，在数学上叫作：一一对应。（板书：一一对应）下面我们就用一一对应的方法来看一看其他的两种情况。

师：好了，现在咱们回到开始要解决的问题：要在全长100 米的小路一边植树，每隔5 米栽一棵，一共要栽多少棵树？同学们说一说：栽21 棵是怎么来的？

生：先 求 间 隔：100÷5=20（个），再用20＋1=21（棵）。

师：这是属于植树问题的哪种情况？

生：两端都栽的情况。

师：那你们知道20 棵和19棵分别属于植树问题的哪种情况吗？

生：只栽一端和两端不栽的情况。

三、分层练习，形成能力

1.基础题。

（1）工人们正在架设电线杆，相邻两根间的距离是200m。在总长为1000m 的笔直路上，一共要架设多少根电线杆（两端都架设）？

（2）迷你马拉松比赛全程约12km，平均每3km 设置一处饮水服务点（起点不设，终点设），全程一共有多少处这样的服务点？

（3）一根木头长8m，每2m 锯一段，需要锯几次？

2.拓展题。

找一找生活中类似植树问题的情况。

3.拔高题。

四、课堂小结，拓展延伸

师：说一说，这节课你有什么收获？