从直接度量走向间接度量
——《长方形和正方形的面积》教学设计
2022-12-28成艳斌
文 成艳斌 刘 敬
【教学内容】
苏教版三年级下册第66～68页。
【教学过程】
一、项目实践，发现关系
1.回顾旧知，唤醒经验。
师：下面两幅图的面积各是多少？说明理由。
生：图1 包含8 个1cm2，它的面积是8cm2；图2 是长方形，每行摆了5 个1dm2，能摆3 行，面积是15dm2。
图1
图2
师：测量图形的面积时，可以用面积单位满铺，也可以铺一部分，总之，一个图形的面积有多大，要看它包含有多少个面积单位。
2.提出问题，激发需求。
生活中比篮球场地更大的长方形还有很多，有什么简便方法能得到它们的面积呢？
3.目标引领，成果分享。
师：大家课前进行了分组实践，也带来了丰硕的成果，和大家分享一下吧。
生1：我们组是用1 个1m2的正方形摆的。先沿着篮球场的长边摆，摆一次，做个记号，再摆一次，再做个记号……最后发现长边能摆28 个；用同样的方法沿篮球场的宽边摆，一共能摆15 个。因为每行摆28 个，能摆15 行，所以28×15=420（个），篮球场的面积包含420 个1m2，就是420m2。
生2：我们组和他们一样，一开始也是这么摆的，但我们觉得比较麻烦，反正要做标记，索性就找体育老师借来了卷尺，先测出篮球场的长是28m，也就是28 个1m，每个1m 可以放一个1m2的正方形，说明能摆28 个1m2。再测量篮球场的宽是15m，就是15 个1m，说明能摆15 行。一共28×15=420（个），篮球场的面积也是420m2。
4.优化方法，引发猜想。
师：观察这两种方法，有什么相同，有什么不同？
生：计算方法相同，都找到了每行摆28 个,能摆15 行，都用每行的个数乘行数计算了面积单位的总个数。不同在操作过程，一个是摆的，一个是量的。
师：如果再测量一个更大的长方形面积，你选择哪种方法？为什么？
生：我选“量”。因为测量出长，就能推想出一行的单位个数；测量出宽，就能推想出行数。面积单位的总个数不一定非得靠“摆”，也可以“推想”。
师：通过测量长方形的长和宽，间接推想长方形包含有多少个面积单位，这种方法固然简单，但在测量别的长方形面积时是不是也适用，我们还要继续探究。
二、小心求证，总结规律
1.自主探索，间接度量。
（1）独立思考。
教师出示《学习单》，提出操作要求：
第一，量一量、摆一摆。先测量给定长方形的长和宽，再摆一摆、填一填。
第二，画一画、数一数。在方格纸上任意画一个长方形，再次求证。
（学生独立操作，自主思考，完成《学习单》）
（2）交流分享。
生1：我先测量了长方形的长是3cm，宽是2cm，然后用1cm2的单位去铺，每行摆了3 个，摆了2行。我发现长方形的长与每行摆的个数相等，宽与行数相等。一共有6 个1cm2，总面积是6cm2。
生2：不需要全摆满，只摆一行一列，也能知道每行摆3 个，摆2 行。
生3：我画了一个长6cm、宽4cm 的长方形，数了数格子，每行有6 个1cm2，有4 行，面积是24cm2。
生4：我也是用长乘宽计算的，我画的长方形长8cm、宽4cm，每行8 个，有4 行，面积是32cm2，也符合规律。
师：看来大家已经开始发现规律了。
（3）解决冲突。
生：我画的就不符合规律（如图）。长方形的长是4cm，每行有3个单位；宽是3cm，却有4 行。
（教师组织学生讨论，解决问题）
生：不矛盾，把你画的长方形横过来，就对应了。
生：也可以这么想，宽是3cm，对应每行有3 个单位；长是4cm，对应有4 行，总数量也没变，也符合规律。
师：通过测量长方形的长和宽，间接推想长方形包含有多少个面积单位，这种方法是不是具有普遍性，你心里有答案了吗？
生：这种方法适用于所有的长方形。即使是刚才的特殊情况，这种规律也成立。
师：今天，我们在实际的面积测量中，主动沟通了长度单位和面积单位之间的联系，每量出一个1m，就对应了1 个1m2，看似测量了两个长度，实则是在推想面积单位的个数！这就是新旧知识之间的衔接，也是大家的活学活用。
2.抽象概括，得出结论。
师：既然我们已经发现了普遍规律，那你们能试着说说长方形的面积怎样计算吗？
（学生小组讨论，有理有据地推理）
生：长方形的面积就是看长方形包含多少个面积单位。测量出长，就能推想出每行摆几个面积单位；测量出宽，就能推想出摆这样的几行；用每行个数乘行数就能知道它的面积。长方形竖起来的情况也符合这个规律，所以，不管长方形怎么摆，长方形的面积都可以用长×宽来计算。
师：如果用S 表示长方形的面积，用a 和b 分别表示长方形的长和宽，公式怎么简写呢？
生：S=a×b。
3. 联系衔接，整体建构。
师：还记得上节课我们学面积单位，用1dm2测量数学书封面的面积时，并不能正好铺满，结果取了一个近似值。可是把这个问题放在今天这节课，你是否产生了新的疑问，用长乘宽计算长方形的面积，这种方法真的正确吗？
（学生先小组讨论，再集体反馈）
生：用1dm2不能铺满，就换1cm2来铺。我们沿着宽摆了18 个1cm2，沿着长摆了24 个1cm2，最后还是可以用长乘宽计算。
生：我用尺子测出数学书的封面长24cm、宽18cm，就可以推想出和刚才那个组一样的摆法，还是可以用24×18 来计算面积。
师：看来，大一些的面积单位不能铺满，不代表其他面积单位也不能铺满，换个小一点的面积单位就可以了，如果还不行，那就换个再小一点的面积单位……这样我们总能找到长对应的每行个数、宽对应的行数。
三、分层练习，巩固迁移
1.基础练习。
（学生先自己独立解决，再全班反馈。反馈时，重点放在正方形的面积计算）
师：第三个图形是一个正方形，怎么计算它的面积？
生：还是长乘宽，只不过它稍微特殊一些，长和宽都等于6。
生：边长×边长，一个边长可以推想出每行的个数，另一个边长推想出行数。
师：大家能利用长方形的面
积计算公式，推理出正方形的面积计算公式，真好！看起来一样的
两个乘数6，其实表示的意义是不一样的。如果用S 表示正方形的面积，用a 表示正方形的边长，公式又可以怎样简写呢？
生：S=a×a。
2.解决问题。
师：生活中有很多长方形的面积，并不是画好了图形等我们来算的。比如，你能从以下这个题组中找到长方形，并计算它的面积吗？
（1）一辆洒水车，洒水的宽度是8 米，每分钟行驶60 米。洒水车每分钟洒水的面积是多少？
（2）压路机前轮轮宽2 米，这种压路机前轮滚动一周大约可前进4 米。压路机前轮滚动一周压过路面的面积是多少？
（学生独立思考，小组交流，集体反馈。教师在适当的时机辅以动画演示，帮助学生理解“图形运动”背景下的长方形面积计算）
