多目标优化问题在金融投资中的有效运用分析

仉 涛 李佳林

（1.中国社会科学院研究生院，北京 100871；2.河北地质大学，山东 济南 250101）

一、前言

投资者一直在寻找从投资中获得收入的途径。近年来，人们做出了许多努力，引导投资者以适当的方式进行投资，并提供了许多模式。投资组合优化和多样化已成为发展和理解金融市场和金融决策的工具，投资组合是为投资而持有的不同股票的组合。在金融市场上，投资者最关心的问题之一是如何选择投资组合，使风险最小化、收益最大化。股票收益率在不同时期存在差异，不存在稳定过程。投资是有风险的，因为股票未来收益的不确定性，所以一般来说，风险是根据收益的方差来衡量的。选择最优投资组合的精确方法是低效的，因此需要考虑元启发式算法来解决这个问题。降低投资组合风险的最重要方法之一是进行多元化投资，并持续监控投资组合中包括的股票和其他证券的状态。这意味着，投资者总是检查影响股票价格和其他类型证券的因素，并分析投资组合中的一家公司股票是否仍有未来增长的可能性，或者是否应该出售股票并购买另一家具有更好增长机会和盈利能力的公司股票。

投资组合是投资者购买的股票或其他资产的正确组合。任何自然人或法人的投资组合的金钱价值为投资组合价值。对在证券交易所上市的投资公司进行定价的最重要因素是公司的投资组合价值。投资者投资组合的目的是容忍风险，获得最大的回报。最优投资组合选择（OPS）是金融科学和投资领域最重要的问题之一，在金融规划和决策中有着广泛的应用。Harry Markowitz的投资组合选择理论是这方面最主要也是最重要的成功。自从Markowitz提出了他的模型版本以来，人们对投资和投资组合的看法产生了许多变化和改进，并被用作投资组合优化的有效工具。马科维茨建议投资者既要考虑风险，也要考虑收益，并在这两个因素相互作用的基础上，选择各种投资机会之间的资本配置。然而，马科维茨投资组合理论为资本配置提供了唯一的解决方案。在资本市场上，有数百种不同类型的资本质量，从非常好到非常差，投资者面临着信息涌入，因此很难选择最好的。Markowitz模型通过使用数学规划模型进行求解，但当现实世界中的约束（如大量资产、股票限制等）添加到模型中时，搜索空间变得很大且不连续，使用数学模型几乎是不可能的。根据目标函数的个数和优化准则，将优化问题分为两类，第一类包括单目标优化问题，第二组包括多目标优化问题。在第一组中，目标是解决单个性能指标的改进问题，其最小值和最大值完全反映解决方案的质量。然而，有时不能依靠一个指标来为优化问题的假设解决方案打分。在这种情况下，我们必须定义多个目标函数或性能指标，并同时对其进行优化。多目标优化是优化问题中应用最广泛的研究技术之一。当前问题的目标是最大化回报率和最小化风险。人们提出了许多方法来解决这些问题。一般可分为经典方法和进化方法，第一种方法通常将多目标问题简化为单目标问题，第二种方法以真正的多目标方式解决多目标优化问题。

二、多目标投资组合优化问题

现实世界中的许多决策问题都有多个目标，往往相互冲突，并且可以归结为多目标优化。解决多目标优化问题的方法很多。在大多数情况下，目标结果是一组帕累托最优解。然而，通常寻找整个帕累托集的理论问题（例如，在帕累托集的连续基数的情况下）无法通过算法解决，因此该问题被重新表述为帕累托集的适当近似的算法构造。在过去的几十年中，进化算法因其处理单目标和多目标优化问题（包括财务优化问题）的内在能力而备受关注。参考文献[3]中讨论了另一种称为模拟退火的方法。禁忌搜索方法构成了多目标优化问题的第三大类启发式程序。Chang等人对用于解决单准则投资组合选择问题的不同启发式技术的性能进行了比较。最近提出的进化多准则算法性能的类似比较分析尚未报道。风险在现代金融中扮演着重要的角色，包括风险管理、资本资产定价和投资组合优化。投资组合选择的目的是找到一个在多个证券（投资）之间分配财富的最佳策略，并获得最佳的风险收益权衡。根据目标函数的选择、决策变量的定义以及特定情况下的特定约束条件，投资组合优化问题可以以各种方式表述。除了预期收益和收益方差外，如Markowitz投资组合模型，额外的目标函数可以包括投资组合中的证券数量、营业额、卖空金额、股息、流动性、超过基准随机变量的超额收益和其他。在银行投资组合管理中，可以考虑其他标准，如最优惠利率、处理成本、预期违约率、意外损失概率、长期和短期数量。例如，多目标投资组合选择问题可以包括以下目标：（待最大化）投资组合回报、股息、销售增长、流动性、投资组合回报高于基准，以及（待最小化）与资产配置百分比、投资组合中证券数量、营业额的偏差（即调整成本），最大投资比例权重，卖空金额。我们考虑了两个多目标投资组合问题。第一个问题基于一个简单的两目标投资组合模型，包括收益率的标准差和收益率的平均值，其中收益率Ri是股票i的一个月收益率，收益率是指百分比变化in值。第二个问题包括三个目标，其中年度股息收益率加在上述两个目标上。

三、算法选择的正当性

1.FastPGA

FastPGA 是Eskandari和Geiger提出的名为快速帕累托遗传算法的框架，该框架为多目标优化问题引入了一种新的适应度分配和解决方案排序策略，其中每个解决方案的评估在计算上相对昂贵。新的排名策略基于根据优势度将解决方案分为两个不同的类别。第一级非支配解的适应度是通过将每个非支配解相互比较并指定使用拥挤距离计算的适应度值来计算的。考虑到支配解和支配解的数量，为第二秩中的每个支配解分配一个适应值。引入了新的搜索算子，提高了算法的收敛性，减少了计算量。引入种群调节算子，根据需要动态调整种群大小，直到用户指定的最大种群大小，即非支配解集的大小。FastPGA能够在搜索的早期保存大量的解决方案评估，并在以后的几代中以更有效的方式利用这些评估。特点：FastPGA中采用的调节算子提高了其快速收敛、接近帕累托最优前沿和解决方案多样性维护的性能。MOCeLL-Nebro等人提出了MOCeLL，这是一种基于GAs细胞模型的多目标算法，其中大量使用了小邻域的概念，即种群成员只能在繁殖循环中与其邻近的邻域进行交互。MOCell使用一个外部存档来存储在算法执行期间发现的非支配解，然而，MOCell的主要特征是，许多解从存档移回种群，替换随机选择的现有种群成员。这样做的目的是希望利用搜索经验，找到具有良好收敛性和扩展性的帕累托前沿。MOCell首先创建一个空的帕累托前沿。帕累托前沿只是一个额外的群体（外部档案），由许多非主导的解决方案组成。种群成员被安排在一个二维环形网格中，遗传算子被依次应用于它们，直到满足终止条件。因此，对于每个种群成员，该算法包括从其邻域中选择两个双亲，重组它们以获得后代，对其进行变异，评估产生的种群成员，并将其插入辅助种群（如果它不受当前种群成员支配）和帕累托前沿。最后，在每一代之后，旧的种群将被辅助种群替换，并调用一个反馈过程，用存档中的解决方案替换固定数量的随机选择的种群成员。为了管理帕累托前沿的解插入，以获得不同的集合，使用了基于拥挤距离的密度估计器。此措施还用于在解决方案已满时从存档中删除解决方案。特征：该算法使用外部存档来存储搜索过程中发现的非支配群体成员；与其他多目标优化的细胞方法相比，MOCeLL最显著的特点是成员从档案到群体的反馈。

2.AbYSS

Nebro等人引入了AbYSS，它基于分散搜索，使用一个称为参考集的小群体，将其群体成员组合起来构造新的解决方案。此外，可以通过应用局部搜索方法来改进这些新的群体成员。对于局部搜索，使用一种简单的（1+1）进化策略，该策略基于变异算子和帕累托优势检验。参考集由分散解组成的初始总体初始化，并通过考虑局部搜索改进产生的解进行更新。深渊结合了三种最先进的进化算法的思想，用于多目标优化。一方面，按照帕累托存档进化策略（PAES）采用的方案，使用外部存档来存储搜索期间发现的非支配解决方案，但使用NSGA-II的拥挤距离作为小生境度量，而不是PAES使用的自适应网格；另一方面，从初始集选择解决方案以构建参考集时，采用了强度帕累托进化算法2（SPEA2）。使用的密度估计。特点：它使用外部档案存储搜索期间发现的非支配群体成员；深渊的显著特征是，在分散搜索的重新启动阶段，人口成员从档案中反馈到初始集，以及在搜索的不同部分组合两种不同的密度估计器。

3.NSGA-II

将累积距离定义为适应度共享等方法的替代功能，使用二进制竞赛选择运算保存和归档在前面的算法步骤（elitism）中获得的非支配解NSGA-II的组件如下：（1）创建初始总体并根据控制条件对其进行排序；（2）计算适应度标准；（3）计算群距离；（4）进行交叉和变异以产生新的子代；（5）将初始种群交叉和变异，得到的种群相结合。即首先用前一步组合的群体中的最佳成员替换父群体，低阶成员替换先前的父群体，然后根据群距离对其进行排序。对初始总体和结果总体进行排序。然后删除总体的较低阶部分。在下一步中，将根据群距离对剩余种群进行排序。在这里，排序是在立面内执行的。迭代所有这些步骤，直到获得所需的生成（或最佳条件）。NSGAⅡ算法的伪代码本文提出的算法基本指令是对金融投资的各种不同项目进行选择，以洪水般的资本作为投资者投资于不同类型的资本。投资组合提供多样化的风险敞口，以最小化风险，同时最大限度地提高效率。许多方法可以用来解决投资组合优化问题。其中一种方法是将多目标优化问题转化为单目标优化问题。该方法可分为两个子类型。第一种方法选择最重要的准则之一作为目标函数进行优化，而其余的函数定义为狭义条件。第二种方法仅根据多个标准创建一个评估函数。第一种方法由Markowitz定义，称为标准均值-方差模型。在这个模型中，被定义为目标函数和平均资本收益的组合风险的大小被认为是可以制定如下的约束条件。

四、多目标优化问题在金融投资中的有效运用

现代投资组合理论是一种完善的投资组合管理方法，它提供了如何选择具有最优可行预期收益的投资组合。均值-方差模型是现代投资组合理论的基石，其中风险定义为预期投资组合收益的可能变化。然后，在此模型基础上提出了绝对偏差投资组合优化模型，半绝对偏差投资组合优化模型，均值-var模型，均值-cvar模型，多期半方差模型和非线性期货套期保值模型。在库存和增加资产方面，建立了基于库存和增量贷款总组合风险最小化的贷款优化决策模型。以库存组合和增量组合的总收益最大化为目标，构建了贷款决策优化模型。建立了基于最大收益概率的增量投资组合最优决策模型，通过建立银行净值变化、增量资产负债和股票资产负债期限之间的函数关系，可以实现所有资产负债组合风险免疫利率管理的最佳条件。而构建了动态多目标优化调度的一般模型，并将该模型应用于优化调度。为了解决投资组合优化问题，提出并可以使用各种工具和算法，包括经典优化算法和智能优化算法（元启发式）。近几十年来，股票投资组合问题一直是工业工程、计算机、金融、运筹学领域的许多研究人员关注的问题，并且几乎是通过met启发式算法解决的经典问题，如遗传、粒子群、蜂群、蚁群和模因学。此外，投资组合优化的元启发式方法，其中遗传算法使用不同的股票投资组合，其风险以不同的方式计算。目标函数是多函数的，约束是非线性的，与遗传算法和粒子群算法相比，该算法具有更好的解。此外，在使用TOPSIS应用方法解决了相同的问题。问题设计投资组合优化就是选择一种金融资产组合，使风险最小化，使投资收益最大化。

风险成分和资本收益是最优投资组合中的两个重要问题。最佳资本的选择通常是通过风险和回报之间的交换来完成的，如果资本的风险更大，投资者将期望更高的回报。投资组合中出现的问题涉及到形成有利可图的投资组合的各种因素。投资者为了避免利润中的风险，主要建议在投资组合中使用几股而不是一股，因为在这种情况下，可以通过另一股的利润来降低风险并弥补一股的损失。选择投资组合应考虑多种因素，但还有其他重要因素：投资目标和投资条件。这意味着投资者在形成每个投资组合之前必须确定风险偏好的程度。这个程度可以改变股票的命运。同时，投资者的目的和投入资金的数量也非常重要。投资组合选择是将投资者的资本最优地分配给若干候选证券，传统上，通过Markowitz均值-方差模型，该问题被公式化为一个优化问题。在这个模型中，平均值被用来衡量投资回报，方差被用来衡量风险。一旦给出了每种证券的预期单位收益及其协方差矩阵，如果平均值和风险的权重给定，则投资组合选择问题可以表述为一个受线性约束的二次优化问题。因此，在建立方差模型之前，需要估计输入参数，包括每个证券的预期单位收益和协方差矩阵；确定均值和方差的权重。在实践中，输入参数通常通过经验观察或主观研究进行估计。然而，输入参数的小扰动可能会导致所选投资组合绩效的大偏差。

此外，如何确定均值和方差的权重也是一个挑战。将该问题转化为一个组合优化问题，并提出了一种遗传算法来求解该问题。使用基数约束进一步讨论了最小交易批次，其中基数约束是约束要选择的投资组合数量。该问题也被表述为一个混合整数优化问题，并引入了一个定制的遗传算法来解决该问题。